miércoles, 13 de mayo de 2009

La esfera cornuda de Alexander

No es lo mismo la Esfera cornuda de Alexander, que la esfera del cornudo de alexander. No. Así que cuidado con lo que leemos. Una vez hecha esta advertencia inicial, veamos que al Tito Eliatron no se le ha ido la cabeza (o sí) y leamos de qué va este artículo.

Hace unos días hemos podido disfrutar en Gaussianos de una entrada sobre El Teorema de la Curva de Jordan. Éste teorema viene a decir que en R2 una curva cerrada, simple (es decir, que no se corta a sí misma), divide al plano en dos componentes conexas (en cada una de las partes, 2 puntos cualesqueira pueden unirse sin levantar el lápiz del papel). Un resultado que parece evidente, pero cuya demostración no es para nada trivial. Pero esto no queda aquí, sino que, además, cada una de las partes es homeomorfas (tiene las mismas propiedades topológicas) a las partes en que la circunferencia divide al plano, es decir, hay una parte de dentro o acotada y una parte de fuera o no acotada, igual que el círculo y el exterior del círculo.

La pregunta es si este mismo resultado, tal cual, es válido en el espacio R3. Es decir, si S es una superficie, cerrada que no se autointersecta, entonces divide al espacio en 2 partes, homemomorfas, respectivamente, a cada una de las partes en que la esfera divide al espacio. Es cierto que una superficie así, divide al espacio en 2 partes: la parte de dentro o parte acotada y la parte de fuera o parte no acotada, como en el caso del plano. Pero... ¿tendrán las mismas propiedades topológicas que las partes correspondientes de la esfera? En este caso la respuesta es NO y el ejemplo es, precisamente, La Esfera Cornuda de Alexander. En particular, este curioso objeto dividirá al epacio en 2 partes, pero la parte exterior no va a tener las propiedades topológicas que el exterior de la esfera. Vamos a concretar esto un poco más y vamos a conocer a este objeto.

La esfera cornuda fue introducida en el mundo matemático por James Alexander (que le cedió su nombre) allá por 1925. Explicado de forma rápida, la Esferea Cornuda de Alexander es una esfera a la que le salen 2 cuernos que quieren pero no se tocan; de los extremos de cada cuerno, salen 2 nuevos cuernos que se entrelazan con los otros. Sí es un poco complejo explicarlo con palabras, por lo que os voy a dejar el siguiente vídeo creado por investigadores de la Universidad de Hannover:


Para que os hagáis una idea global de cómo es este curioso objeto, os dejo también una imagen en la que la esfera es más bien un anillo (pero topológicamente, tienen las mismas propiedades):



Ya conocemos el objeto, pero ¿cómo sabemos que tiene esa extraña propiedad de la que hemos hablado? Vayamos paso a paso. En concreto, vamos a comprobar que el exterior de la esfera tradicional y el exterior de la esfera cornuda no son homeomorfos. En particular ocurre lo siguiente.

Una esfera tradicional podemos rodearla con un lazo y este lazo no atrapa la esfera, es decir, la esfera se escapa del lazo. Comprobadlo en el siguiente dibujo:



Sin embargo, si hacemos lo mismo con la esfera cornuda, teniendo cuidado de pasar el lazo entre los priemros cuernos, entonces la esfera quedará atrapada por el lazo, es decir, jamás podremos sacar la esfera cornuda, sin cortar el lazo:



Se podría decir que el interior (parte acotada) de la esfera cornuda de Alexander, se parece (en realidad es homeomorfo) al interior de la esfera, mientras que el exterior de la esfera cornuda de Alexander se parece más al exterior de un toro:



En resumen, para que el Teorema de la curva de Jordan, enunciado al principio, pueda extenderse a dimensiones superiores (se conoce como Teorema de Jordan-Browder), hace falta que la superficie (hipersuperficie, en general) cumpla alguna condición extra de regularidad, como por ejemplo, ser compacta. Pero esto ya es harina de otro cantar costal.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN: La Esfera Cornuda está en Meneame, gracias al usuario tollendo.


Créditos:
  • Dibujo inicial extraído de MathWorld, original de Simon Fraser, y representa al matemático John H. Conway con una cornamenta semejante a la Esferea Cornuda de Alexander.
  • Imagen de esfrera cornuda de fondo azul (y derivados) extraída de Wikipedia (dominio público)
  • Resto de imágenes creadas por el autor mediante Wolfram Mathematica.

Referencias:

7 comentarios:

  1. Pero la esfera cornuda esta tiene toda la pinta de ser un fractal, ¿no? Seguro que su dimensión Hausdorff-Besicovitch es raruna...

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  2. Sí, en uno de los enlaces de la referencia se ve como, en realidad, es una especie de Conjunto de Cantor Tridimensional, pero en los que los segmentos que van saliendo, se van entrecruzando.

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  3. Gracias Domingo, pero quiero destacar desde aquí uno de los blogs en los que me basé para hacer esta entrada, que es Juegos Topológicos.

    El mérito también para ellos.

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  4. He aquí la propiedad más diabólica de dicha esfera:

    Su grupo fundamental ni tan siquiera es finitamente generado.

    Saludos.

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  5. Muchas gracias T.E por este post; a mi particularmente me ha encantado y te agradezco el trabajo realizado. Tengo que ser humilde y decir que me ha costado comprenderlo... no sé si alguien me puede sacar de este lío, a ver: realmente yo lo que veo es lo siguiente... si rodeamos con un lazo a uno de los cuernos de la esfera cornuda , tenemos un camino para sacarlo, pero lo que hace que jamás podamos sacarlo es que este camino implica sortear infinitos cuernos ¿Alguien me puede confirmar este punto?

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  6. No soy un experto en topología, pero yo lo entiendo como tú.

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
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