viernes, 22 de mayo de 2009

Probabilidades y la prueba del 9

Hoy viernes toca problema. En la última entrada de este blog, hablamos de La Prueba del 9. Pues bien, a colación de esta entrada se me ha ocurrido el siguiente acertijo probabilístico.
Supongamos que queremos hace la división 9825:65. Si escribimos al azar el cociente y el resto, ¿cual es la probabilidad de que la división pase La Prueba del 9?


Pero pensándolo mejor, quizás se algo más fácil tratar de resolver el problema anterior, suponiendo que tenemos el cociente bien calculado y escribimos el resto al azar o viceversa, tenemos el resto bien y el cociente lo escribimos al azar.

¿Os atrevéis a atacar este problema? Pues ánimo, y a por él.

Tito Eliatron Dixit

1 comentario:

  1. Para un dividendo, divisor, cociente y resto aleatorios mi respuesta es que la prueba del 9 se pasa con probabilidad de 1/9

    Este es mi razonamiento:

    La parte izquierda de la cruz de la prueba del 9 (el Dividendo mod 9) , sería por definición un número aleatorio entre 0 y 8
    Si la parte derecha fuera también un número aleatorio del 0 al 8 no cabe duda de que su coincidencia sería de 1/9.

    Veamos entonces la parte derecha de la cruz: divisor, cociente y resto son por definición números aleatorios, esto hace que automáticamente lo sean también sus respectivos módulos (en este caso módulo 9)

    Queda demostrar que dados tres números aleatorios d9, c9, y r9 (cuyos valores oscilan entre 0 y 8) es también aleatorio d9.c9+r9 mod 9 ...


    Analizamos primero el producto d9.c9:

    Los restos (o módulos) de d9.c9 no son equiprobables. No nos da aleatoriedad debido a que:

    1) cuando uno de los dos es cero el resultado también lo es independientemente del valor de la otra variable... Esto hace que el resto 0 , aparezca más veces de lo normal.

    2) Si descomponemos en factores primos los números que van del uno al ocho observamos que hay un primo que aparece dos veces (el 3) . Debido a que 6 =2x3 . Esto hace que los restos tres y seis aparezcan el doble de veces.

    Por tanto, los restos de d9.c9 no son equiprobables....

    Sin embargo d9.c9+r9 si es equiprobable (da el mismo número de restos) . Para el caso 1) es evidente pues a cada resto cero , le asigna una variable del 0 al 8, que hace al resto aleatorio... Para el caso 2) sucede algo similar aunque quizás menos intuitivo.

    Siento no explicarme de una manera más rigurosa, pero me temo que no domino la aritmética modular.

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