miércoles, 12 de mayo de 2010

Definición analítica del número π

Todos conocemos el número π, de hecho, en este mismo blog hablamos un poco sobre su historia. La definición de esta constante es meramente geométrica:
razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia
En este artículo vamos a dar lo que se conoce como definición analítica del número π, es decir, a través del cálculo (integral, para más señas).

Partamos de la función . Si derivamos la función, obtenemos que , por lo que podemos comprobar que se trata de una función creciente en el intervalo [0,1) (la derivada es positiva en dicho intervalo).¿Y por qué hacemos todo esto? pues muy sencillo, porque gracias a esta propiedad, sabemos que la función integral está perfectamente definida para cualquier valor de . Más aún, como la función es continua, entonces es derivable y su derivada es, exactamente, ; todo ello gracias al Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Así que partiendo de nuestra función , hemos construido otra . Pero como la primera función no tiene sentido para , la segunda, en principio, tampoco. Aunque todo en esta vida tiene solución. Al igual que antes, como en [0,1), sabemos que es estrictamente creciente en dicho intervalo, por lo tanto, podemos garantizar que existe , pero claro, este límite puede ser un número (positivo) o .

A continuación, vamos a comprobar que dicho límite es, en realidad, un número. Para ello, basta con acotar la función como sigue:
,
pero como si , entonces podemos seguir acotando de la siguiente manera:



En resumen, hemos visto que siempre que . Así pues podemos definir y sabemos que .

Ahora ya podemos definir analíticamente el número π de la siguiente forma .

Vale, Tito Eliatron, todo esto está muy bien argumentado y todo lo demás, pero... ¿no habrás definido un nuevo número π?

Pues no. Vamos a comprobar que esta definición de π coincide con el cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia. Vamos a partir de una circunferencia de radio r y vamos a tomar como origen de coordenadas, el centro de la circunferencia. De esta forma, la ecuación será .

Vamos a calcular la longitud de un arco de circunferencia, el que va desde el punto superior, a un punto intermedio del primer cuadrante. Fíjate en el dibujo de aquí abajo, en donde el arco rojo es al que vamos a calcularle la longitud:



Para calcular la longitud (con ) de dicho arco, acudiremos a la fórmula que dice que la longitud de la curva entre los puntos y es .

Así que, si despejando en la ecuación de la circunferencia (y cambiando por ) tendremos que , por lo que . Por consiguiente, la longitud del arco de circunferencia será . Ahora sólo tenemos que dividir en numerador y denominador entre para obtener que . Si hacemos el cambio de variables , entonces , cuando y cuando . Así que , ya que si , entonces y está bien definido el valor .

En resumen, hemos demostrado que para cualquier valor . Como la longitud y la función son continuas, podemos ahora hacer que en la igualdad anterior, para obtener que (dado que tiende a la longitud de 1/4 de circunferencia, que hemos denotado por ). Y como habíamos definido , obtenemos

Por tanto, nuestra definición analítica de π hace que coincida con el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir, la definición clásica del número π.

Bueno, que tras todo este rollo que os he soltado, hemos visto una nueva forma de definir el número π a través de integrales, pero que, en definitiva, vuelve a ser la clásica y geométrica definición de cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium.


Referencias:

El número π y las funciones trigonométricas, Freniche Ibáñez F.J., apuntes de Análisis Matemático I del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla.

2 comentarios:

  1. Bueno, Tito, lo lamento profundamente. Hice todo lo posible para seguir tus explicaciones pero llegó un momento en el que igual me perdí y continué sin entender mucho más (estoy algo oxidado con las matemáticas asi que espero que me sepas comprender xD) Así que voy a tener que confiar en tu palabra jajaja xD
    Saludos :P

    ResponderEliminar
  2. Tito:

    Había uno famoso de letras que decía: "Cuando entro en una habitación llena de matemáticos me siento como un mendigo que está en compañía de príncipes."

    No puedo definir con más precisión la envidia que me corroe cuando me paso por tu blog.

    Iacobus dixit.

    ResponderEliminar

Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...