Definición analítica del número π

Todos conocemos el número π, de hecho, en este mismo blog hablamos un poco sobre su historia. La definición de esta constante es meramente geométrica:

razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia

En este artículo vamos a dar lo que se conoce como definición analítica del número π, es decir, a través del cálculo (integral, para más señas).

Partamos de la función . Si derivamos la función, obtenemos que , por lo que podemos comprobar que se trata de una función creciente en el intervalo [0,1) (la derivada es positiva en dicho intervalo).¿Y por qué hacemos todo esto? pues muy sencillo, porque gracias a esta propiedad, sabemos que la función integral está perfectamente definida para cualquier valor de . Más aún, como la función es continua, entonces es derivable y su derivada es, exactamente, ; todo ello gracias al Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Así que partiendo de nuestra función , hemos construido otra . Pero como la primera función no tiene sentido para , la segunda, en principio, tampoco. Aunque todo en esta vida tiene solución. Al igual que antes, como en [0,1), sabemos que es estrictamente creciente en dicho intervalo, por lo tanto, podemos garantizar que existe , pero claro, este límite puede ser un número (positivo) o .

A continuación, vamos a comprobar que dicho límite es, en realidad, un número. Para ello, basta con acotar la función como sigue:
, pero como si , entonces podemos seguir acotando de la siguiente manera:



En resumen, hemos visto que siempre que . Así pues podemos definir y sabemos que .

Ahora ya podemos definir analíticamente el número π de la siguiente forma .

Vale, Tito Eliatron, todo esto está muy bien argumentado y todo lo demás, pero... ¿no habrás definido un nuevo número π?

Pues no. Vamos a comprobar que esta definición de π coincide con el cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia. Vamos a partir de una circunferencia de radio r y vamos a tomar como origen de coordenadas, el centro de la circunferencia. De esta forma, la ecuación será .

Vamos a calcular la longitud de un arco de circunferencia, el que va desde el punto superior, a un punto intermedio del primer cuadrante. Fíjate en el dibujo de aquí abajo, en donde el arco rojo es al que vamos a calcularle la longitud:



Para calcular la longitud (con ) de dicho arco, acudiremos a la fórmula que dice que la longitud de la curva entre los puntos y es .

Así que, si despejando en la ecuación de la circunferencia (y cambiando por ) tendremos que , por lo que . Por consiguiente, la longitud del arco de circunferencia será . Ahora sólo tenemos que dividir en numerador y denominador entre para obtener que . Si hacemos el cambio de variables , entonces , cuando y cuando . Así que , ya que si , entonces y está bien definido el valor .

En resumen, hemos demostrado que para cualquier valor . Como la longitud y la función son continuas, podemos ahora hacer que en la igualdad anterior, para obtener que (dado que tiende a la longitud de 1/4 de circunferencia, que hemos denotado por ). Y como habíamos definido , obtenemos

Por tanto, nuestra definición analítica de π hace que coincida con el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir, la definición clásica del número π.

Bueno, que tras todo este rollo que os he soltado, hemos visto una nueva forma de definir el número π a través de integrales, pero que, en definitiva, vuelve a ser la clásica y geométrica definición de cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium.

---

Referencias:

El número π y las funciones trigonométricas, Freniche Ibáñez F.J., apuntes de Análisis Matemático I del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla.