Series telescópicas

Hoy os traigo una de esas cosas que les cuento a mis propios alumnos. Vamos a hablar de series (no, de LOST, no), me refiero a series matemáticas. En particular, de uno de los tipos de series que se pueden sumar.

Pero comencemos con lo más básico. Comencemos con una una sucesión de números positivos . Para poder sumar esta cantidad infinita de términos, hay que ir poco a poco, así que vamos a ir sumando términos uno a uno y vamos a llamar suma parcial n-ésima a . Así, obtenemos una nueva sucesión de forma que cada término de esta está cada vez más cerca de la suma infinita , que es lo que se pretende conseguir, es decir, podemos decir que . Así, un problema de sumas, lo convertimos, por arte de magiamatemáticas, en un problema de cálculo del límite de una sucesión, que sigue siendo un buen problema, pero que se puede atacar (vaya con el final del párrafo, que de problemas trae).

En fin, que, más o menos, tenemos las nociones básicas de cómo sumar una serie. Ahora vamos a entrar a definir (de forma poco o nada rigurosa) el concepto de serie telescópica. Éstas se caracterizan porque el término general puede escribirse, generalmente, como diferencia entre 2 términos (no necesariamente consecutivos) de otra sucesión, por ejemplo, para cierta otra sucesión . ¿Y por qué se llaman telescópicas? pues porque con esta estructura, es tremendamente fácil calcular el término general de la sucesión de sumas parciales:


es decir, podemos cancelar la mayoría de los sumandos. Así, la convergencia de la serie dependerá exclusivamente de la convergencia de la sucesión .
Por ejemplo, si queremos sumar , basta darse cuenta que , por lo que , por lo que

Realmente, en vez de un tipo específico de serie, se trata de una técnica de sumación, ya que se puede aplicar en otras situaciones. Por ejemplo, si es la diferencia entre 2 términos (no consecutivos) , o, incluso, si hay más de 2 términos como en el siguiente caso .

Pero cuidado, que todo esto sólo vale si lo hacemos con las sumas parciales o, si lo hacemos con la suma infinita, si estamos seguros previamente de su convergencia, ya que en caso contrario podríamos llegar a falacias como la siguiente (visita Zurditorium si quieres ver otras falacias, incluida esta misma):
.

Finalmente, sólo quería comentaros que estas técnicas a veces hasta se usan en cosas importantes, como en una prueba de la que la suma de los recíprocos de los primos diverge (y por tanto debe haber una cantidad infinita de primos), en teoría del punto fijo o en teoría homológica.

En fin, espero no haberos aburrido mucho hoy.

Tito Eliatron Dixit