miércoles, 23 de junio de 2010

Series telescópicas

Hoy os traigo una de esas cosas que les cuento a mis propios alumnos. Vamos a hablar de series (no, de LOST, no), me refiero a series matemáticas. En particular, de uno de los tipos de series que se pueden sumar.

Pero comencemos con lo más básico. Comencemos con una una sucesión de números positivos . Para poder sumar esta cantidad infinita de términos, hay que ir poco a poco, así que vamos a ir sumando términos uno a uno y vamos a llamar suma parcial n-ésima a . Así, obtenemos una nueva sucesión de forma que cada término de esta está cada vez más cerca de la suma infinita , que es lo que se pretende conseguir, es decir, podemos decir que . Así, un problema de sumas, lo convertimos, por arte de magiamatemáticas, en un problema de cálculo del límite de una sucesión, que sigue siendo un buen problema, pero que se puede atacar (vaya con el final del párrafo, que de problemas trae).

En fin, que, más o menos, tenemos las nociones básicas de cómo sumar una serie. Ahora vamos a entrar a definir (de forma poco o nada rigurosa) el concepto de serie telescópica. Éstas se caracterizan porque el término general puede escribirse, generalmente, como diferencia entre 2 términos (no necesariamente consecutivos) de otra sucesión, por ejemplo, para cierta otra sucesión . ¿Y por qué se llaman telescópicas? pues porque con esta estructura, es tremendamente fácil calcular el término general de la sucesión de sumas parciales:


es decir, podemos cancelar la mayoría de los sumandos. Así, la convergencia de la serie dependerá exclusivamente de la convergencia de la sucesión .
Por ejemplo, si queremos sumar , basta darse cuenta que , por lo que , por lo que

Realmente, en vez de un tipo específico de serie, se trata de una técnica de sumación, ya que se puede aplicar en otras situaciones. Por ejemplo, si es la diferencia entre 2 términos (no consecutivos) , o, incluso, si hay más de 2 términos como en el siguiente caso .

Pero cuidado, que todo esto sólo vale si lo hacemos con las sumas parciales o, si lo hacemos con la suma infinita, si estamos seguros previamente de su convergencia, ya que en caso contrario podríamos llegar a falacias como la siguiente (visita Zurditorium si quieres ver otras falacias, incluida esta misma):
.

Finalmente, sólo quería comentaros que estas técnicas a veces hasta se usan en cosas importantes, como en una prueba de la que la suma de los recíprocos de los primos diverge (y por tanto debe haber una cantidad infinita de primos), en teoría del punto fijo o en teoría homológica.

En fin, espero no haberos aburrido mucho hoy.

Tito Eliatron Dixit

10 comentarios:

  1. Ese 1=0 lo he visto hace poco por ahí :D
    Bueno, y hace mucho en varios sitios.

    Por cierto, revisa el primer párrafo que tienes un par de fallos de tecleo (uno nada más empezar).


    Saludos

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  2. Muchas gracias @Carlos
    Y sobre lo del 1=0, la verdad, no me acordé de tu entrada (muy buena, por cierto) en cuanto pueda, pongo la referencia.

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  3. Anda, quita la referencia, que esa "demostración" está en tropecientos sitios!!!! Solo te lo comentaba por lo reciente.

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  4. La voy a rediseñar. La verdad es que me gusta enlazar en mis entradas a otras que me han parecido interesantes, como esa. Así que la dejo, pero como típica referencia de ampliación temática.

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  5. ¿Alguien podría aclarar (si es posible con referencias concretas) de donde proviene el adjetivo "telescópico" para estas sumas? Ciertamente son muy atractivas dichas sumas, pero no termino de entender la razón para emplear el adjetivo "telescópico".

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  6. Buena pregunta @Chano, yo mismo estuve buscando infructuosamente la respuesta.

    Yo me imagino que el término viene del tipo de cancelación, como si fuera uno de esos telescopios manuales antiguos (catalejos, como los de los piratas) que va por piezas y cada uno se va metiendo un poco en la anterior para quedarse,a l final, muy corto.

    Pero vamos, que esto es pura adivinación por mi parte.

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  7. Estoy con Tito Eliatron. De hecho fue lo primero que pensé cuando me hablaron de tales series y me pareció tan natural que fuese eso que ni me planteé que pudiese ser otra cosa. Vamos, que pensé en los catalejos extensibles que llevaban en los barcos en antaño.

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  8. será?, que al ser la serie una serie telescópica, consideramos el primer término - y el ultimo término , el cual puede estar ``muy alejado del primero`` y por medio de este ``aparato`` sabremos quien es el ultimo termino...

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