Algunas propiedades del Conjunto de Cantor [Amazings.es]

Cuando alguien nos habla de conjuntos fractales, se pone a pensar en esos dibujos cuasi-artísticos llenos de autosemejanzas y formas que se asemejan a árboles, rayos, nubes… No andamos desencaminados, pues la principal característica de un fractal es precisamente ésa, la autosemejanza. Sin embargo, hay conjuntos de este tipo extremadamente sencillos: tan sencillos que caben en un simple intervalo. Hoy vamos a ver algunas de las propiedades más sencillas de explicar y curiosas de, quizás, el primer fractal conocido: El Conjunto de Cantor.


Así comienza mi última colaboración en el blog Amazings.es. En ella no solo hablo de la construcción clásica de este primer fractal conocido, sino que aporto una definición alternativa basada en los decimales en base 3. Además, nos preocupamos de calcular su longitud, que resulta ser 0 y de ver que, en realidad, se trata de un conjunto no numerable: se ofrece una demostración propia que, además, prueba que hay tantos puntos en el Conjunto de Cantor como en el propio intervalo ; pero también bosquejo la demostración original de Cantor sobre su no numerabilidad.

Seguidamente, nos adentramos en el cálculo de su verdadera dimensión, gracias al concepto de dimensión fractal. Vemos que, en realidad, su espacio ambiente tiene una dimensión de y que en dicho espacio, su medida (de Hausdorff) es 1, por lo que sería como el intervalo unidad de dicha dimensión.

No queda ahí la cosa, sino que ofrecemos alguna que otra propiedad curiosa más y mostramos que cumple que .

Para finalizar, hablamos un poco de historia. Contamos que la primera aparición de un conjunto similar no es debida a Cantor sino a otro matemático. Pero, además, incluimos una imagen de la primera aparición del conjunto de Cantor (tal cual lo he descrito aquí) en un artículo de Cantor... como simple ejemplo en una nota a pié en uno de sus artículos. Por cierto, que la definición original de Cantor es, en realidad, la definición alternativa que se da en ese artículo del propio conjunto.

Si te interesa el tema, puedes leer el artículo completo Algunas propiedades del Conjunto de Cantor en el blog Amazings.es.

Y ya que estamos, no olvides que en esta semana estamos inmersos en la Edición 2.7 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es La Aventura de la Ciencia. Si quieres usar Twitter para hablar del Carnaval, puedes seguir la cuenta oficial @CarnaMat y utilizar el hashtag #CarnaMat2_7 para cualquier envío relacionado con esta edición.


Tito Eliatron Dixit