miércoles, 12 de octubre de 2011

Encontrando el centro

Si uno ve el dibujo de una circunferencia... ¿sabría indicar cual es exactamente el centro? Uf, eso es como acertar en una diana... exactamente en el punto central. Estadísticamente, tiene probabilidad 0, o lo que es lo mismo, a mano alzada puede ser, cuando menos, complicado. Pero con un poco de técnica y algunos enseres de dibujo técnico se puede determinar. En el presente artículo vamos a ver dos de ellos; en uno utilizaremos regla y compás y el otro sólo una escuadra o un cartabón.
Para el primero de los métodos vamos a utilizar la definición pura y dura de la circunferencia: el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan del centro.
Así, elegimos 2 puntos y de la circunferencia y trazamos el segmento que los une.
Seguidamente, con un compás, haciendo centro en , trazo arcos de circunferencias con radio algo mayor que la mitad del segmento; y lo mismo, haciendo centro en (y con el mismo radio). Los dos puntos de corte definen la mediatriz del segmento , es decir, la recta formada por todos los puntos que están a la misma distancia de ambos.
Ahora tomamos un tercer punto , trazamos el segmento y calculamos la mediatriz de este segmento por el mismo procedimiento anterior.

Entonces el punto de corte de ambas mediatrices, es decir, será el centro de la circunferencia.
En efecto, este punto está a la misma distancia de , y y, además, es el único (pues dos rectas que se cortan lo hacen en un único punto. Por lo tanto, ese punto ha de ser el centro de la circunferencia en la que están contenidos.
Además, como corolario de esta construcción, se deduce que por 3 puntos no alineados pasa una única circunferncia.



Bien, este método es el clásico, en el sentido que sólo se precisan como aparejos de cálculo una regla (para trazar rectas) y un compás (para trazar circunferencias de centro y radio dados). Sin embargo, vamos a ofrecer otro método que sólo precisa de una única herramienta y que, además, hace uso de una curiosa propiedad de las circunferencias.

La herramienta que vamos a usar es una escuadra (o un cartabón, que eso va a dar igual). En realidad, basta utilizar un simple ángulo recto.

En primer lugar, partimos de un punto de la circunferencia y ponemos el vértice del ángulo recto de la escuadra sobre él (realmente, da igual la inclinación), lo importante es que los lados del ángulo recto corten a nuestra circunferencia.


Seguidamente, nos fijamos en los puntos de corte de los lados que forman el ángulo recto con la circunferencia y les ponemos nombre: y .
Ahora elijo otro punto de la circunferencia y repito el proceso anterior, llamando ahora y a los puntos de corte
Ahora si trazamos los segmentos y , éstos se cortarán en un punto $$O$$. Ese punto es el centro de la circunferencia.
Vale, Tito, ese es el centro... porque tú lo dices, ¿no? Pues no, no lo digo yo, sino una propiedad que es el Arco Capaz. Si tenemos un ángulo inscrito en la circunferencia (es decir, un ángulo cuyo vértice está en la circunferencia), éste la cortará en dos puntos; si ahora trazamos el ángulo que tiene como vértice el centro de la circunferencia y pasa por los dos puntos anteriores, la medida de este ángulo es el doble que el original. Mejor míralo en este dibujo:
Bueno, pues ¿qué hemos hecho nosotros? trazar ángulos inscritos de 90º, con lo que los cortes con la circunferencia definen un ángulo de 180º. Total, que los segmentos y son, en realidad, diámetros de la circunferencia. Y es, entonces, obvio que la intersección de dos diámetros es el centro de nuestra circunferencia.


Para finalizar, si algún día vais a un bar (ejem) y os encontráis con un posavasos, de esos de papel, circular. ¿Cómo calcularías su centro? Claro, ahora no tienes nada a mano (no, chicas, el pintalabios no vale en este caso; no, el pintalabios de tu novia, tampoco ¬¬). Así que tendremos que utilizar otro método. Por ejemplo, puedes tratar de doblar (a ojo) el posavasos de forma que obtengas medio círculo. Entonces el doblez será un diámetro. Si repites el proceso, pero doblando en otra dirección, construyes un segundo diámetro y el punto donde ambos dobleces se encuentren será, más o menos, el centro de tu posavasos.

Hala, ya tienes de qué hablar en un bar.

Por cierto, ya que estamos, os querría pedir un favor. ¿Se os ocurren algunas otras construcciones, esencialmente diferentes a las aquí explicadas, para obtener el centro de una circunferencia dada? ¿Y para hallar el centro del posavasos?


Tito Eliatron Dixit

9 comentarios:

  1. Mira que, como estudiante de Dibujo Técnico, he usado cientos de veces el arco capaz. Y jamás lo habia visto con esa utilidad. Si es que...

    A ojímetro, con escuadra y compás, también se podría sacar. A ojímetro dos tangentes a la circunferencia que se corten en un punto de esa circunferencia. Bisectriz del ángulo que forman con el compás: al contener a una circunferencia, en su bisectriz está el centro. Perpendiculares a alguno de los dos lados desde el punto de tangencia, y en el cruce entre la bisectriz y la perpendicular está el centro.

    Es sencillo, pero no tan sencillo como las que has indicado ahí arriba. Además de que si usas el ojímetro, nunca es fiable del todo...

    Para el posavasos no se me ocurre ninguno más que el que tu mismo dictas.

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  2. Con la misma escuadra puedo dibujar cuatro tangentes que formen un cuadrado exterior a la circunferencia y luego uno sus vértices con dos diagonales. Creo que es la forma común. :) Saludos.

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  3. @Delvy... me ha gustado el método. Ahora me gustaría que me demostrases que, realmente, funciona.

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  4. En matemática no soy muy diestro, asi que lo intentaré lo mejor que pueda.

    Supongamos que el cuadrado en vez de estar fuera del circulo esté dentro, es decir, congruente a este pero interno. Pues ahí tenemos cuatro cuerdas y cuatro vértices equidistantes. Y aquí me robo la definición del segundo ejemplo, tengo un vértice (cualquiera de los cuatro), tiene un ánguno de 90º que es el doble del ángulo que forma el centro de la circunferencia con los otros dos puntos. Y que como es una linea recta es de 180º.

    Claro también tiene sentido robarme la idea del primer ejemplo,pues también puede unir en lugar de las diagonales, los puntos de tangencia de los lados del cuadrado y tenemos el caso de las mediatrices del ejemplo primero. Claro, es mas fácil unir las diagonales jeje, además que solo se usa una escuadra. Ahh claro también se puede desmostrar suponiendo que el centro de la circunferencia sea el punto (0,0) y cada vértice delcuadrado un punto, y solo hay que sustituir en la ecuación de la recta y=mx+b y la pendiente la tenemos de anteojito jeje, y pues nos damos cuenta que efectivamente ambas diagonales pasan por (0,0).

    Bueno, hice lo que pude. saludos.

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  5. Para el problema del posavasos, se me ocurre una solución alternativa bastante buena. Simplemente consigo unos cuatro vasos u otros objetos y los coloco alrededor del posavasos, rosándolos pero sin ajustarlos tanto al posavasos, y luego con algún alfiler, aguja u otro objeto punzopenetrante me dedico a tantear el centro, y cuando logre hacer girar el posavasos, pues ese será el centro. Incluso con la definición que arriba colocas bastará con colocar 3 objetos que serían los 3 puntos en cualquier lugar en torno al posavasos y como por estos 3 puntos solo pasa una circunferencia, con un único centro. :)

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  6. Cuando vi esta entrada iba a escribirte un comentario, pero he preferido poder explayarme a gusto y por tanto lo he dejado para una entrada en mi blog para el Carnaval de Matemáticas:

    http://www.zurditorium.com/calculando-el-centro-de-la-circunferencia-en-el-colegio

    En la entrada hablo del método que encontré en el cole y de la lección sobre "la vida" que aprendí de dicha anécdota. El método que explico en mi entrada es prácticamente el primero que pones: a una cuerda le haces la mediatriz y al segmento que queda dentro de la circunferencia le calculas el punto medio.

    Y ya puestos me invento ahora otro. Cojo un punto A de la circunferencia cualquiera, trazo un círculo (de radio menor al diámetro del primero) y me fijo en los puntos de corte con la circunferencia inicial: B y C. Considero el ángulo formado por los segmentos AB y AC y le hago la mediatriz. Esta mediatriz es un diámetro de la circunferencia.

    Saludos

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  7. "Seguidamente, con un compás, haciendo centro en , trazo arcos de circunferencias con radio algo mayor que la mitad del segmento; y lo mismo, haciendo centro en (y con el mismo radio)."
    ¿No se supone que la "gracia" de usar regla y compas está en que la regla es infinita, con un solo lado y sin marcas de medida y que el compás se cierra cada vez que lo separamos del papel?

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  8. puppy, ese que dices es OTRO compás.

    En cualquier caso, con ese tb se puede, sin más que tomar como radio la longitud del segmento.

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  9. ¡Qué velocidad de respuesta!
    Así da gusto hacer comentarios. Gracias y un saludo.

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