Abonos de lotería ¿una buena estrategia?

Vale, creo que todos mis lectores sabrán que la lotería nos es más que puro azar. Pero hoy vamos a incidir un poco más en este hehco y vamos a estudiar algo sobre estrategias.

Imagen extraída del Flickr de fotero.

Es muy habitual, al menos en Lotería Nacional, encontrarse con gente que siempre juega a un mismo número un sorteo tras otro. ¿Qué estrategia creéis que es mejor: jugar siempre al mismo número o ir cambiando en cada sorteo? Y lo más importante: ¿por qué?
Bueno, los que siempre juegan al mismo número (y saben algo de matemáticas o estadística), suelen argumentar usando la Ley de los Grandes Números, vamos, esa que dice que si juegas muchas veces, tarde o temprano saldra tu número.

Bien, esta argumentación cae por dos motivos. El primero es el concepto de "Gran número". La ley nos dice que si se hacen muchos sorteos y medimos la frecuencia de aparición de cada número, ésta coinidirá con su probabilidad. Vamos, que si realizamos un número suficientemente grande de sorteos, muy raro es que no salga el nuestro. La falacia está en que para que sea cierto (nunca habrá certeza absoluta) necesitamos, al menos, tantos sorteos como números entren en el: 100.000 en el caso de la Lotería Nacional. Si suponemos un sorteo diario, necesitaríamos la nada despreciable cifra de 274 años para completar los 100.000 sorteos. Moraleja: un gran número no es un número grande, sino un múltiplo de nuestro número de opciones.

Pero dejando este "pequeño problema" de lado, vamos a estudiar la estrategia. ¿Qué es mejor, jugar siempre al mismo número o ir cambiando? Señores: DA IGUAL. Lo primero es que cada sorteo es independiente del siguiente, luego una vez comprado el número la probabilidad de que salga precisamente el tuyo es .

Pero no queda ahí la cosa. Supongamos que uno PREFIJA una sucesión concreta de números (si queréis elegidos al azar o mediante una tabla de números aleatorios). ¿Cual es la probabilidad de que el número que salga en el primer sorteo coincida con mi primer número? . ¿Cual es la probabilidad de fallar el primer sorteo? . ¿Y la de fallar el segundo? ¿y el tercer? . Vamos a complicar las cosas: ¿cual es la probabilidad de de fallar TODOS los sorteos del primero al n-ésimo? pues ¿Y qué pasa cuando n es muy grande? Que esta probabilidad se hace cada vez más pequeña.

Aquí tenemos algo que podría considerarse una ley de los grandes números: para un número suficientemente grande, dicha probabiliad es tan pequeña como uno desee en un principio. Si la probabilidad es del ; mientras que para ya tenemos una probabilidad del ; finalmente para , la probabilidad es del .

Y ahora viene lo más importante: ¿han influido de alguna manera los números de mi sucesión? es decir, ¿cambia la cosa si elijo una sucesión constante que una arbitraria? La respuesta es un NO como una catedral.

Así que amigos míos, si a pesar de todo os decidís a jugar a la lotería, no os empeñéis en elegir siempre el mismo número, ni en ir cambiando todos los días. Sencillamente da igual.

Lo que es seguro es que siempre toca... tirar el boleto no premiado a la papelera.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.