miércoles, 25 de enero de 2012

Un reparto ¿justo?

Imagen extraída del Flickr de fernand0
El otro día, mi santa esposa -sea por siempre bendita y alabada-, profesora de profesión, me comentó que en su clase, había tenido que repartir por sorteo 5 temas para hacer un trabajo, entre 5 grupos de alumnos. Su procedimiento consistió en enumerar los 5 grupos y los 5 temas, introducir papeletas con los números de los temas en una bolsa e ir sacando, por orden, a los grupos para que sacaran un papelito.

Y llegó el problema: al último grupo le tocó el tema que no quería y protestaron porque el sorteo no había sido justo. Decían que ellos no habían tenido opciones, que se habían quedado con el tema que quedó al final.

¿Qué crees tú? ¿Fue el sorteo justo? ¿Hubo discriminación con respecto al último grupo? Mi mujer, como buena (y privilegiada) lectora de este blog, logró dar una explicación: el sorteo, en efecto, había sido justo, aunque la percepción de los alumnos fuese otra. Vamos a comprobarlo.


Para comprobar que el sorteo fue justo, hay que comprobar que todos tenían, a priori, la misma probabilidad de que le tocara un tema en concreto: pongamos el Tema A

A ver, empecemos con lo fácil. ¿qué probabilidad tenía el Grupo 1, el primero en elegir, de que le tocara el Tema A? Muy sencillo, había 5 papeletas, luego 5 casos posibles, de los que sólo 1 es favorable, por lo que la probabilidad es de 1/5 o del 20%.

Bien, vayamos con el Grupo 2, el segundo en elegir. Queremos calcular la probabilidad de que se le asigne el Tema A. Para ello han de ocurrir dos cosas: que el Tema A no lo sacara el Grupo 1 y que lo saque el Grupo 2. La probabilidad de que el Grupo 1 no saque el Tema A es, claramente, 4/5. Ahora, una vez que el Grupo 1 ha sacado un tema (que no es el A), la probabilidad de que el Grupo 2 saque el Tema A es 1/4, ya que quedan 4 temas en la bolsa y sólo 1 es el A. En resumen, la probabilidad de que al Grupo 2 le toque el Tema A es o el 20%.

Prosigamos con el Grupo 3. Para que les toque, de nuevo, el Tema A, necesitan que ni el Grupo 1 ni el Grupo 2 lo saquen y que ellos sí lo hagan en su turno. Como antes, la probabilidad de que el Grupo 1 no saque el Tema A es, claramente, 4/5; ahora, la probabilidad de que el Grupo 2 tampoco saque el Tema A es 3/4 (quedan 4 temas y 3 no son el A); finalmente, la probabilidad de que el Grupo 3 saque el Tema A es 1/3 (1 tema de 3 posibles). En definitiva, la probabilidad será o 20%.

Para el Grupo 4 ya las cosas parecen más claras. Podemos pensarlo como antes: para que se les asigne el Tema A, no deben haberlo sacado ninguno de los grupos precedentes y sí ellos. 4/5 para que el Grupo 1 no saque el tema, 3/4 para que no lo saque el Grupo 2, 2/3 para que no lo sque el Grupo 3... y 1/2 para que sí lo saque el Grupo 4. Resumiendo la probabilidad es , es decir, el 20%.

Finalmente, la probabilidad de que el Tema A sea asignado al Grupo 5, el último en elegir, es claramente 1/5, pues su única opción es que el Tema A sea el que ha sobrevivido a la criba anterior (la de que los grupos anteriores saquen un tema); es decir, independientemente de cómo se haga dicha criba, debe quedar 1 tema de 5 posibles: un 20% vamos.

Como habéis podido ver, a priori (y recalco el a-priori), todos los grupos tienen la misma probabilidad de que les sea asignado un tema en concreto. Y lo mejor de todo, esta probabilidad es independiente de cómo hayamos elegido el orden de los grupos.

¿Qué ocurre? ¿a qué se pudo deber las protestas del último grupo? Pues que lo que hemos calculado (y el motivo por el cual el sorteo es justo) es la probabilidad a priori de que a un Grupo se le asigne un Tema. Otra cosa muy distinta es la probabilidad de que en un momento intermedio del sorteo (en el que ya se han producido extracciones) un Grupo saque un Tema en concreto. Claro, si ese Tema ha salido antes, la probabilidad es 0, pero si aún no ha salido, la probabilidad de sacarlos ellos es mayor que la proabilidad que tuvo el Grupo inmediatamente anterior.

Una curiosa historia, con una curiosa paradoja o malinterpretación de la probabilidad y con una bonita solución, usando simplemente, la archiconocida regla de Laplace (casos favorables entre casos posibles).


Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 2.X del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Resistencia Numantina.

8 comentarios:

  1. Yo les diría a los alumnos que protestaron lo siguiente: "¿acaso el resto de los grupos pudo elegir? ¿ insinuáis que estaban haciendo trampas? Porque si pudieron ELEGIR usando solo el sentido del tacto dentro de una bolsa cerrada es que estaban haciendo trampas." .

    Y es que en este sorteo se trataba de asignar, no de elegir. Bonito post.

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    1. Eso es lo que pretendía transmitir. Se trata de ASIGNAR no de ELEGIR

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  2. Me ha venido de perlas esta explicación. También doy clases (de informática) y salió una cuestión parecida. Tu exposición me sirvió para aclarar a mis alumnos lo que pasaba con los temas a elegir.

    Un saludo. Ramnic.

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  3. Siento disentir, pero esos alumnos tienen razón, se usó el "orden" para los equipos, por lo que se evitó parte del azar en el sorteo, entendiendo que al haber un orden no existe un sorteo limpio ya que el último equipo sólo tiene opción a sacar una papeleta entre una que queda.
    Lo más lógico serían dos sacos en uno los temas y en otro los equipos, al girar las probabilidades en ambos sorteos, es más justo y el azar interviene evitando cualquier lógica matemática o cualquier duda.

    ¿Y si en ver de hacer un orden con los equipos hubiese sido el orden con los temas e ir sacando bolas del equipo afortunado? también sería injusto por los mismos motivos expuestos anteriormente.

    En los juegos de azar, en los que las matemáticas ayudan mucho, está muy claro para los jugadores de lotería que no es lo mismo comprar un número todas las semanas al azar que tener un abono a un número fijo, si depende de la suerte puede que no les toque nunca, si depende de las matemáticas en teoría no influirá en sus posibilidades, pero si sólo dependen del azar, está muy claro que juegan con ventaja sobre el resto de jugadores de lotería, ya que para ellos solamente gira un bombo y para los demás cuentan con el bombo de la lotería y la mano traicionera de la lotera.

    Un abrazo para vos y para tu mujer.

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    1. La probabilidad es INDEPENDIENTE del orden.

      ¿Si NO hubiese permitido abrir la papeleta hasta que todos tuviesen la suya, hubiese sido justo? Piénsalo.

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  4. Entiendo que la probabilidad es independiente del orden, pero también sé que el sentido común a veces es obcecado.
    Recuerdo el problema de Monty Hall, matemáticamente está claro, pero cuesta asimilarlo.
    Es como si a veces la ciencia retara al sentido común.

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  5. Estupenda entrada. Me ha recordado que con mis tres hijos me pasaba algo similar. A la hora de decidir algo por lo que competian, un asiento en el coche o algo similar, les hacia elegir un numero entre uno y tres, y el que acertara el numero que yo habia pensado lo obtenia. Pero siempre encontraba la reclamación de "injusticia estadistica". Un dia lo analicé, les comenté mis resultados y les amenacé con explicarselo. Desde entonces no suelen protestar tanto.

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  6. A mi me passo un caso simiaR omo concejal de educacion. En una guarderia habian 2 plazas para siete niños, con lA condicion que dos eran gemelos y habian de entrar juntos. Encontramos la solucion aunqué la fortuna HiZo q salieran los gemelos! Y los perdedores nos miraron mal.
    Hicimos 14 parejas, en las quales cada niño Estava en cuatro y los gemelos siempre juntos.

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