Esto no es intrascendente

Hace ya algún tiempo que discutimos en este blog cual de los números ó era mayor. Sin embargo lo que no hablamos es acerca de la trascendencia de ambos números. En esta ocasión vamos a hablar un poco sobre números algebraicos, trascendentes y el Teorema de Gelfond. Veremos algunos ejemplos de todos ellos, encontraremos demostraciones de la trascendencia de algunos números famosos y aplicaremos todo esto para averiguar cual de los dos números del principio seguro que es trascendente. Y ya que estamos, veremos algunas propiedades de las potencias de los irracionales.

Imagen obra de la genial Brown Sharpie

Bien, comencemos por lo básico ¿trascendente? ¿algebraico? ¿qué diablos es eso? Vale. Los números reales se dividen en dos grandes subconjuntos (mutuamente excluyentes). El primero de ellos es el conjunto de los racionales, que son todos aquellos números que se pueden expresar como cociente de números enteros (las fracciones, vamos); en segundo lugar están los irracionales, que son el resto de los números reales.

Pero los reales también se dividen en otros dos grandes grupos: los algebraicos y los trascendentes. Los primeros son aquellos números que son raíces de algún polinomio con coeficientes racionales (por tanto los racionales son siempre algebraicos); el ejemplo más claro es o la raíz cuadrada de cualquier natural (que no sea cuadrado perfecto), ya que es una de las raíces del polinomio . Los trascendentes son aquellos números reales que no son raíces de polinomios con coeficientes enteros y los más conocidos son nuestros viejos amigos y .

Pero lo mejor de todo es que esta definición puede ampliarse a los números complejos. Así un número algebraico es aquel complejo que es raíz de algún polinomio con coeficientes racionales, por ejemplo , que es raíz de . Por tanto, un número trascendente será aquel complejo que NO es algebraico.

Demostrar que un número es trascendente no es tarea fácil. De hecho, el primer trascendente conocido es la Constante de Liouville que data de 1844. El propio Liouville trató de demostrar la trascendencia del número , pero sólo logró demostrar quetanto como no podían ser raíces de un polinomio de segundo grado con coeficientes racionales, lo cual es equivalente a que el segmento de tal longitud no es constructible con regla y compás. Fue Hermite quien finalmente demostró la trascendencia de (y por tanto de ).

La trascendencia de es obra de Lindemann en 1882, aunque lo que realmente pureba es el siguiente resultado.


Teorema de Lindemann: Si es un número algebraico no nulo, entonces es trascendente.

Como corolario a este Teorema, tomando es trivial concluir la trascendencia de .

Para , se procede por reducción al absurdo. Supongamos que es algebraico, entonces como también es algebraico, se concluye que es algebraico; aplicando ahora el Teorema de Lindemann para se deduce que es trascendente; pero que es racional luego algebraico, lo que lleva a contradicción y debe ser trascendente.

¿Pero qué pasa si elevamos un trascendente a otro? ¿Qué ocurre con , ó ? ¿Son todos trascendentes? ¿algebraicos? Responder a alguna de estas preguntas, probablimente lleve consigo la publicación de un buen paper.

Los números algebraicos se sabe que forman un cuerpo con respecto a la suma y el producto, lo que implica que la suma, diferencia, producto y cociente (salvo el 0 en el denominador) de algebraicos vuelve a ser un número algebraico. Sin embargo, los números trascendentes no presentan éstas propiedades. De hehco es muy fácil encontrar 2 números trascendentes cuya suma sea trascendente ( y ) y otros dos trascendentes cuya suma sea algebraica ( y ). Y lo mismo para el producto. Por lo tanto, a priori, ni , ni ni no sabemos si son trascendentes o algebraicos.

Con respecto a las potencias, tenemos el Teorema de Lindemann que habla de potencias de .Pero posteriormente nos encontramos con una generalización que establece la trascendencia de una gran cantidad de números. Este resultado fue probado, independientemente, por Gelfond en 1934 y Schneider en 1935 y dice lo siguiente.

Teorema de Gelfond-Schneider: Si son un números algebraicos con y , entonces es trascendente.

Pues bien, gracias a este Teorema podemos probar que uno de los dos números ó es trascendente. ¿Sabes cuál de los dos? Bueno, la segunda forma de escribirla potencia del Teorema anterior, tendría que darte una buena pista.

Vamos a comprobar que es trascendente. En efecto, , por lo tanto basta aplicar el Teorema de Gelfond-Schneider para (que es algebraico por ser racional) y que es algebraico (es una de las dos raíces de ) y no es racional.

Y antes de que se me echen encima los puristas, un par de comentarios. , pero como estamos en el cuerpo de los complejos, el logaritmo es una aplicación multivaluada, es decir, hay muchos (infinitos) logaritmos complejos. De hecho, con , lo que significa que toma infinitos valores, uno de los cuales es, precisamente, . En cualquier caso, el Teorema de Gelfond-Schneider sigue diciendo lo mismo, cualquier valor de es trascendente.

Ah! y antes de que se me olvide. El otro numerito, , aún no se sabe si es o no trascendente. Y si tú lo sabes, hazmelo saber y lo publicamos enseguida.

Y ya que estamos, vamos a seguir aplicando el Teorema anterior. En 1930, 4 años antes de la aparición del Teorema de Gelfond-Schneider,  Kuzmin probó la trascendencia del número , conocida como la constante de Gelfond-Schneider y cuya trascendencia se deriva inmediatamente del Teorema. Esta constante fue mencinada explícitamente por Hilbert en su famosa conferencia de los 23 problemas para plantear el 7º problema que consistía en demostrar lo que hoy se conoce como el Teorema de Gelfond-Schneider o encontrar un contraejemplo.

Además, el mismo Teorema afirma que el número es trascendente, por lo que debe ser irracional. Y como también es irracional y se tiene que . Por lo tanto deducimos que un irracional elevado a otro irracional, puede dar como resultado un racional.

Bueno, espero no haberos aburrido demasido y que si habéis llegado hasta aquí, hayáis aprendido un poquito más sobre números trascendentes. Ya veis que no es cosa intrascendente.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.1 (2º cumpleaños) del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Scientia potentia est.