miércoles, 26 de febrero de 2014

Metales imaginarios

No, no voy a hablaros de química, sino de matemáticas ¿de qué si no?
Cota de malla...¿de mithril?

Hace unos días me topé con el siguiente tuit:

"¡Anda! qué curioso, me dije. Así que cogí lápiz y papel... y comprobé el resultado. Poco después me topé con la entrada Imaginary gold en la que básicamente hacían lo mismo, pero en los comentarios de post sugerían extender esta igualdad a los números metálicos. Y eso es lo que vamos a hacer en esta entrada.


En primer lugar, veamos la igualdad original; y para ello lo primero que observamos es que estamos tratando de calcular el seno de un número complejo (ya vimos algo parecido cuando hablamos del Teorema de Liouville). Así que recordemos que, en el campo de los complejos se tiene que

[;{\rm sen}(z)= \frac{e^{\imath z}-e^{-\imath z}}{2\imath};].

Pero... ¿de dónde sale esta fórmula? Recordemos que la Fórmula de Euler nos decía que si [;x\in{\mathbb R};]  entonces [;e^{\imath x}=\cos(x)+\imath{\rm sen}(x);]. Si ahora tomamos conjugados (es decir, si tomamos [;-x;]), tendremos que [;e^{-\imath x}=\cos(-x)+\imath{\rm sen}(-x)=\cos(x)-\imath{\rm sen}(x);]. Si ahora restamos ambas igualdades, resulta que [;e^{\imath x}-e^{-\imath x}=2 \imath {\rm sen}(x);] de donde se tiene la misma expresión anterior, pero para cualquier número real [;x;], por lo que si nuestra intención es definir el seno de un número complejo, basta con usar la expresión que ya tenemos para los reales.

Bien,  ahora aplicamos nuestra fórmula y, recordando que [;\imath^2=-1;], que [;-\ln x=\ln(1/x);] y que [;e^{\ln x}=x;], obtenemos lo siguiente:

[;2{\rm sen}(\imath \ln \phi)=\frac{1}{\imath}\left(e^{-\ln\phi}-e^{\ln\phi}\right) =-\imath\left(\frac{1}{\phi}-\phi\right)\qquad\qquad\qquad(1);]

Hasta ahora, en las cuentas que hemos hecho no hemos usado para nada que [;\phi;] es el número de oro. Recordad esto para dentro de poco.

Pero resulta que [;\phi;] es el número áureo, es decir, la solución positiva de la ecuación  [;x^2-x-1=0;], vamos, que el número de oro cumple que [;\phi^2-\phi-1=0;] Si ahora dividimos esta expresión entre [;\phi;] y reordenamos obtenemos que   [;{1}/{\phi}-\phi=-1;], lo que concluye nuestra demostración.

Pero si de metales hablamos, no sólo hay oro en el mundo, sino plata, bronce y toda una amplia variedad. Los números metálicos son una generalización natural del número áureo. Fijado [;m\in{\mathbb N};] se define el [;m;]-ésimo número metálico, [;\sigma_m;] como la solución positiva de la ecuación [;x^2-mx-1=0;].

Si [;m=1;], tenemos que [;\sigma_1=\phi;]. Si [;m=2;], se demuestra que [;\sigma_2=1+\sqrt{2};]; a este número se le conoce como número de plata y se denota, habitualmente, como [;\sigma_{ag};]. Si [;m=3;], de forma análoga, obtenemos el número de bronce: [;\sigma_{br}=\sigma_3=(3+\sqrt{13})/2;]. En general, no es difícil comprobar que [;\sigma_m=(m+\sqrt{m^2+4})/2;].

Pero lo más importante es que, al igual que el número de oro, el número [;\sigma_m;] satisface la ecuación [;\sigma_m^2-m\sigma_m-1=0;]; y si ahora dividimos entre [;\sigma_m;] y reordenamos, obtenemos que [;1/\sigma_m-\sigma_m=-m;].

Y ahora recordad. Recordad que que la cuenta [;(1);], era independiente del número que pusiéramos dentro del logaritmo. Así que si ponemos nuestro número metálico, se tiene que [;2\,{\rm sen}(\imath\ln\sigma_m)=-\imath(1/\sigma_m-\sigma_m);]. Pero aplicando la propiedad que hemos encontrado sobre los números metálicos se demuestra el siguiente teoremilla:

Teorma: Para cada [;m\in{\mathbb N};], si [;\sigma_m;] denota al [;m;]-esimo número metálico, se tiene que
[;2\,{\rm sen}(\imath\ln\sigma_m)=m\,\imath;]

Bonito, ¿verdad? Pues con esto os dejo, para que ahora os imaginéis los metales de otra forma muy diferente.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 5.1: Rey Pastor del Carnaval de Matemáticas que alberga este mismo blog Tito Eliatron Dixit.  

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