miércoles, 18 de febrero de 2009

Números Metálicos

Todos conocemos los números, sí eso que si son rojos y están en nuestra cuenta corriente nos hace un roto. También conocemos los metales nobles, como el oro, la plata o el bronce. Algún lector avispao habrá automáticamente relacionado ambos conceptos y le habrá venido a la mente el número de oro, φ, la dicina proporción, la proporción áurea... Pues sí, de ello voy a hablaros.

Sobre el número de oro ya se ha hablado mucho. Pero... ¿sabíais que no es un número aislado? ¿Sabíais que tiene familia? Pues sí, el número de oro puede ser parte de una familia de números que se llaman Números Metálicos.

La familia de los números metálicos fue introducida en 1995 por la matemática argentina Vera W. Spinadel por su relación con la arquitectura y sus aplicaciones al arte. En particular, según palabras de la propia autora,
Los números metálicos aparecen desde en los sistemas usados en el diseño de las construcciones por la civilización romana hasta los más recientes trabajos de caracterización de caminos universales al caos.

Pero... ¿cómo se construyen estos números?. Todos sabemos que el número de oro φ=(1+√5)/2, es la raíz positiva de la ecuación x2-x-1=0. ¿Y qué nos impide generalizar un poco esta ecuación? Nada!. De hecho, podemos considerar la nueva ecuación x2-mx-1=0, donde m es un número natural. Todas las raíces positivas de estas ecuaciones son números metálicos:

  • Si m=1, obtenemos φ, el número de oro.

  • Si m=2, obtenemos σag:=1+√2, el número de plata

  • Si m=3, obtenemos σbr:=(3+√13)/2, el número de bronce

  • En general, se obtiene una sucesión σm:=(m+√m2+4)/2



Todos estos números σm tienen varias propiedades en común. Por supuesto, son todos irracionales cuadráticos y su representación en fracciones continuas es de lo más simple: σm:=[m], es decir,


¿Cómo se prueba esto? pues es muy sencillo. Partamos de la ecuación x2-mx-1=0, y quedémosnos con el término cuadrático en el primer miembro, es decir, x2=mx+1. Si ahora dividimos ambos miembros entre x, resulta que x=m+1/x. Ahora basta con sustituir la x del denominador, por el valor de x que tenemos despejado. Pero esto es un proceso infinito que produce una fracción continua infinita y periódica.

Pero aún podemos dar más propiedades, esta vez, geométricas. Todos sabemos de la existencia del Rectángulo de Oro, como aquél cuyos lados guardan la relación 1:φ, es decir, el cociente del lado mayor entre el lado menor es, exactamente, φ. Este rectángulo tiene la propiedad que, si quitamos un cuadrado de lado 1 (o de lado igual al lado menor) de dentro del rectángulo, el mini-rectángulo que queda es proporcional al original, es decir, sus nuevos lados guardan las mismas proporciones que el original. Compruébalo en la siguiente imagen:


De forma análoga, podemos construir el rectángulo de plata con proporciones 1:σag. En este caso, si del rectángulo original quitamos 2 cuadrados de lado 1, el mini-rectángulo que resulta es semejante al original, como se puede comprobar en el dibujo siguiente:

Por cierto, que si del rectángulo de plata tan sólo quitamos 1 cuadrado, lo que nos queda tiene las dimensiones DIN.

En general, podemos construir el emésimo rectángulo metálico con proporciones 1:σm y de forma que si eliminamos m cuadrados de lado 1, el mini-rectángulo que resulta es semejante al original.

En fin, aquí os dejo algunas propiedades de estos números metálico. Ojo!, estos no son todos los números metálicos, sino que hay más. Podríamos considerar ahora las soluciones de la ecuación x2-x-m=0, donde m es un número natural, y obtendríamos más números metálicos. En incluso si vamos más allá y consideramos la ecuación x2-mx-n=0, donde m, n son números naturales, sus soluciones positivas constituyen la familia de los Números Mórficos. Pero todo esto y más os lo dejo para otra ocasión, no sin antes recomendaros que leáis un poco el artículo original de Vera Spinadel que os dejo en la bibliografía.

Tito Eliatron Dixit.


Bibliografía:

(1) SPINADEL, V.: La familia de los números metálicos y el diseño (PDF 157Kb). Centro de Matemática y Diseño MAY DI. Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad de Buenos Aires, 1995.
(2) CONDESSE V. y MINNAARD C.: La familia de los números metálicos y su hijo pródigo: el número de oro (PDF 90Kb). Revista Iberoamericana de Educación, ISSN 1681-5653, Vol. 42, Nº. 2, 2007,

9 comentarios:

  1. En mi comedor tengo una proporción aurea grandota y bien bonita: El hombre de Vitrubio (lo compre en el Ikea y es enooorme).

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  2. Muy interesante Tito, si ser experto en matemáticas me atreví a subir un artículo a mi blog sobre la divina proporción, pero no tenía ni idea de lo de los números metálicos.

    Por si tienes curiosidad : http://javierdiazcarballeira.blogspot.com/2008/10/la-proporcin-urea.html

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  3. usted puso de titulo NUMEROS METALICOS y faltan dos mas.. el numero de plata y el de bronce. Seria de mucha ayuda para mi si puede subir esta informacion que falta.

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  4. No sólo se habla aquí del número de oro, sino del de plata (σ_ag) y del de bronce (σ_br).

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  5. me re sirvio :D graacias .

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  6. sabiendo poco de numeros, si los numeros aureo, de plata y de bronce salen la solucion de la ecuación ^2-px-q=0 (x^2 es X al cuadrado)al sustituir p por 1, 2 y 3 respectivamente siendo q=1. Si sustituimos q por 1, 2, y asi sucesivamente, hallaremos el numero de cobre, el de platino etc.

    Tito, una pregunta que necesito resolver y no se hacerlo. ¿Cual es la relación de los numeros metalicos, en concreto oro plata y bronce, con los angulos de un triangulo?

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  7. Gracias por hacer esto, me has ayudado mucho en mi trabajo de Matemáticas.
    Un saludo.

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  8. no todos los números son irracionales, dado que el de niquel si no me falla la memoria su correspondiente resultado es "2"

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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