Cómo hacerse rico: el método lógico

Cuentan las malas lenguas que hubo un tiempo en que se leía un curioso anuncio en los periódicos locales. El anuncio era de una empresa desconocida que decía lo siguiente:

Hazte rico fácilmente. Envíanos 1 Euro y te diremos cómo hacerlo.

Y adjuntaban la dirección.

Alguien envió ese euro a la dirección indicada y recibió una curiosa respuesta, aunque, si lo pensamos, absolutamente lógica:

Haz como nosotros.

Digamos que esto sería una estafa autorreferente.

Moraleja, no te fíes de los anuncios que ofrecen hacerte rico porque, a veces, sólo es cuestión de aplicar la lógica.

Tito Eliatron Dixit.


Extraído del libro Ajá! Paradojas, de Martin Gardner.

Porcentajes y pendientes: el seno o la tangente

Cualquier persona que se haya sacado el carnet de conducir, o incluso alguien que circule por carretera y tenga un mínimo de curiosidad, sabrá perfectamente el significado de las señales de tráfico que abren este artículo. ¿Seguro que lo saben? ¿Y tú, lector, estás seguro de conocer el significado de esta señal?

Según la D.G.T. se trata de subida y bajada con fuerte pendiente respectivamente (la cifra indica la pendiente en porcentaje). Y ahora llega el punto central de este artículo ¿qué significa "pendiente"? o mejor dicho ¿cómo se calcula la pendiente?

Matemáticamente hablando (que para eso esto es un blog de matemáticas) la pendiente de una recta es la razón (cociente) que existe entre la distancia vertical recorrida y la distancia horizontal. Si pensamos en un triángulo como el de la imagen siguiente
la pendiente será p=v/c, o lo que es lo mismo, p=tan(α). De todas formas, es mucho más corriente, para cuestiones topográficas, expresar la pendiente de una carretera en forma de porcentaje. En este caso, la pendiente será p=(v/c)·100, y el número resultante se expresará en tanto por ciento. Y aquí es donde comienzan los problemas.

Estamos habituados a que un porcentaje suele ser un valor entre 0 y 100, donde 100% representa el máximo posible. Pero en este caso y según esta definición, ¿qué significa una pendiente del 100%? ¿una recta vertical? No. Una pendiente del 100%, según la definición, es aquélla en donde la distancia vertical recorrida coincide con la distancia horizontal, en definitiva, una pendiente de 45º. ¿Y cómo se representa una recta vertical? Estrictamente hablando, en una recta vertical, la distancia horizontal es 0, mientras que la vertical es la que sea; por lo que p=100 v/0, y podemos entender que se corresponde con una pendiente ∞%.

Así que ya sabemos lo que significa, matemáticamente hablando, el numerito (en porcentaje) que aparece en las señales de grandes pendientes. Otra cosa es cómo se calcula es número, porque el método puede resultar complicado. Pensemos que para calcular una pendiente vamos a necesitar la distancia vertical y la horizontal, pero... ¿cómo calculamos la horizontal? ¿atravesamos el suelo? porque el porblema es que nosotros sólo podemos movernos por la carretera, es decir, por la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Así que en la práctica (obviando la utilización de la moderna tecnología de los GPS, y aplicando métodos manuales) sólo podemos calcular la distancia verctical y la distancia total recorrida, es decir, en el triángulo rectángulo de antes (lo vuelvo a poner) sólo podremos conocer v y d. Por lo tanto, y repito de nuevo, en la práctica vamos a calcular la pendiente utilizando la fórmula p=v/d=sen(α).

Pero claro, esta forma de proceder provoca errores. Sin embargo, para ángulos pequeños, estos errores son también muy pequeños, dado que cerca del 0, el x y sen(x) son tremendamente parecidos, tanto que lim_x->0sen(x)/x=1. ¿Y cómo de pequeños han de ser los ángulos para que el error sea también pequeño? Pues aquí debajo os dejo una pequeña hoja de cálculo en la que tenéis los ángulos desde 0º a 90º, la pendiente (usando la tangente) y la aproximación (usando el seno).


Si no ves nada aquí arriba, consulta el Documento siguiendo el enlace anterior.

Como podéis comprobar, para ángulos de hasta 15º, el error cometido es menor que el 1%. De todas formas, en muy raras ocasiones nos vamos a encontrar con carreteras cuya pendiente sea superior al 20%, en este caso, estaríamos hablando de ángulos de unos 11º o 12º, por lo que el método del seno es una muy buena aproximación.

En resumen, en este artículo hemos aprendido qué es la pendiente de una recta (o carretera), qué significa el porcentaje que aparece en las señales de la DGT, así como el método más rápido para calcular la pendiente de una recta. También nos hemos dado cuenta de que una pendiente del 100% no significa una pendiente vertical, sino un ángulo de 45º (según la definición matemática de pendiente). Así que ya sabéis, incluso en la carretera hay matemáticas.

Tito Eliatron Dixit.

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REFERENCIAS:
Cálculo de la Pendiente, de la web Altimetrías de puertos de montaña.
Métodos de cálculo de la dificultad de un puerto de montaña, de la web Ciclistas Sierra Sur de Jaén.
Grade (Slope), artículo de Wikipedia en Inglés sobre la pendiente.


Imagen inicial editada de originales (descendente y ascendente) extraídos de la Wikipedia (contenido libre).
Resto de imágenes y material creados por el autor.

Hombres como fracciones

Un hombre es como una fracción cuyo numerdor es lo que es y el denominador es lo que él piensa que es. Cuanto más grande es el denominador, más pequeña es la fracción.

León Tolstói, novelista ruso

La egolatría y el egocentrismo, expresado como una fórmula matemática.

¿Se os ocurre alguien a quien aplicársela?

Tito Eliatron Dixit.

El origen de los números irracionales

No, no vamos a hablar de la gran mentira de los números, esa que dice que primero surgieron los números naturales por la necesidad de contar, luego los enteros por la necesidad de restar, etc... Hoy vamos a comentar el origen del término irracional para nombrar a aquellos números reales que no son racionales, es decir, números reales que no se pueden expresar como un cociente de números enteros.

Todo se remonta a la Grecia clásica, en particular, a la época pitagórica. Pitágoras nació en la isla de Samos, en el año 582 a.C. donde completó sus estudios para, posteriormente, crear su famosa escuela pitagórica en Crotona. Aunque más que una escuela, llegó a ser una especie de secta. Pero vamos a ser políticamente correctos y vamos a llamarlos organización. La organización pitagórica tenía como creencia fundamental que todas las cosas son, en esencia, números. O dicho de otro modo, que una vez definida una unidad todo lo que nos rodea es mensurable, es decir, que puede medirse a través de esta unidad. Pero para los pitagóricos el concepto de medir significaba que o bien era un número entero de veces la unidad, o bien un número entero de partes de la unidad (o una mezcla de ambas). En definitiva, cocientes de números enteros.

El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemática racional: todo lo que se salga de su orden de pensamiento, escapa a la razón. Por ello esta escuela entró en crisis. El archiconocido Teorema de Pitágoras fue redescubierto por esta escuela de pensamiento, pero con él llégó el problema, pues como primera aplicación del teorema obtenemos un nuevo número √2. Y resulta que este número no es mensurable con respecto a la unidad.

Como este hecho ponía en serio peligro la filosofía pitagórica y dado que escapaba a su razón, decidieron darle el nombre de Irracional, además de ocultar este descubrimiento a la comunidad filosófico-científica de la época. De hecho, se cuenta que uno de los miembros de esta escuela, Hipaso de Metaponto, fue el que dio con una demostración de la irracionalidad del número √2 (consulta la prueba geométrica, muy similar a la realizada, presuntamente, por Hipaso). Sin embargo, parece ser que Hipaso no cumplió el voto de silencio que pesaba sobre la irracionalidad de √2, por lo que la hermandad pitagórica lo habría expulsado de la escuela y habrían erigido una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto. De hecho, la leyenda cuenta que los propios miembros de la hermandad pitagórica ahogaron a Hipaso.

En fin, que como habéis podido comprobar, incluso dentro de las matemáticas hay leyendas. Es más, hasta lo más irracional, puede deberse a un hecho completamente racional. E incluso se puede morir, como ya se ha visto otras veces, por un descubrimiento matemático.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN: Esta noticia ha llegado a portada de Meneame.net. Gracias por el meneo, nade.

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Fotografía del busto de Pitágoras extraída de Wikipedia.

Mundos hipotéticos

La matemática se convierte así en el estudio riguroso de mundos hipotéticos. Es la ciencia de lo que podría haber sido o podría ser, así como de lo que es.

Murray Gell-Mann (El quark y el jaguar. Aventuras en lo simple y lo complejo)
Vía Boletín 198 (PDF) de la RSME

De corte parecido a la última cita publicada en el blog, os presento esta otra en la que un físico nos da una definición de las Matemáticas.

¿Estáis de acuerdo con ella?

Tito Eliatron Dixit.

Hechos matemáticos de Chuck Norris

De todos es sabido que Chuck norris puede hacer todo lo que se le ocurra y buena parte de lo que aún no se le ha ocurrido. Y entre todas estas cosas entran las matemáticas. Aquí os dejo una recopilación de hechos matemáticos que Chuck Norris hace, pero el resto de los mortales no.

1. Chuck Norris contó hasta el infinito 2 veces.


2. Chuck Norris no deriva, Chuck Norris desintegra.


3. Chuck Norris puede dividir entre cero cunado le apetece.
   
   
   
   • Los agujeros negros son los sitios del universo en los que Chuck Norris dividió por cero. (Versión mejorada del hecho anterior, cortesía de Ford Perfect)


4. El último dígito de π es Chuck Norris. Él es el final de todo.


5. Chuck Norris puede conseguir que e^x se integre en la fiesta de funciones.


6. En los exámenes de matemáticas de Chuck Norris, la respuesta a todas las preguntas fue "Violencia". Por supusto obtuvo un 10: Para Chuck Norris la violencia es la solución a todos los problemas.


7. Chuck Norris obtuvo la determinante de una matriz m x n x p x q x r x s x t x u.


8. Chuck Norris puede cuadrar el círculo.


9. Chuck Norris puede dibujar un polígono con 2 lados.


10. Los ángulos de un triángulo hecho por Chuck Norris suman más de 180 grados. De hecho pueden medir lo que él quiera.


11. Chuck Norris es capaz de sacar un 2 en un sistema binario.


12. Chuck Norris arrancó la otra cara de la Banda de Moebius tras beberse el líquido que había en la Botella de Klein.


13. Chuck Norris robó el margen del cuaderno de Fermat.


14. Chuck Norris se sabe de memoria la solución de todos los Sudokus.


15. Chuck Norris soluciono el problema de los tres cuerpos.


16. Chuck Norris le sugirió a Riemman su hipótesis, pero nunca le dijo la solución.

¿Conoces algunos más?

Tito Eliatron Dixit.

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Fotografía extraída de la Web oficial de Chuck Norris.


Hechos principalmente extraídos de la Frikipedia.

2+1=3

No, no vamos hoy a hablar de aritmética básica. Hoy pretendo contaros una pequeña anécdota matemática.

El personaje que tenéis en la imagen de aquí al lado es Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, matemático alemán al que se le atribuye, como principal aporte matemático, la moderna definición de función. Estudió en Alemania y Francia, donde tuvo contactos con grandes matemáticos del momento como Fourier. Tras graduarse, fue profesor en Gotinga, donde ocupó la cátedra que el mismísmo Gauss dejó vacante.

Junto con Legendre, aunque de forma independiente, publicó una demostración de famosísimo Teorema de Fermat para el caso n=5. Teoría de números, series de Fourier, mecánica teórica, teoría de series y funciones reales son sólo algunos de los campos en los que este matemático destacó.

Pero no es una reseña histórica lo que quiero contaros. Sino una anécdota del que fue protagonista. aunque gran mnatemático y muy buen comunicador de esta ciencia, Dirichlet, sin embargo, adolecía de una profunda fobia a demostrar sus propios sentimientos y a escribir cualquier tipo de correspondencia personal. Sin embargo, un día escribió un brevísimo telegrama a su suegro:

2+1=3

Este derroche de palabras no era gratuito. De esta forma anunció Dirichlet a su suegro que acababa de convertirlo en abuelo. Como se suele decir de los matemáticos, el telegrama era, absolutamente exacto y carente de cualquier tipo de sentimientos.

Yo, matemático también, no soy así. De hecho quiero aprovechar esta anécdota para dedicar este artículo a una persona muy importante y que está conmigo desde hace, exactamente 14 días. Se llama Jose, como yo, y es mi primer hijo.

No sé si serás matemático, escritor, músico o albañil. Me da igual. Seas lo que seas, tu padre siempre te apoyará.

Y a vosotros, queridos lectores, no me queda más que anunciaros que a partir de ahora, el Tito Eliatron ya no sólo será Tito: ahora también es Papá. Y decir en voz muy muy alta:

2+1=3

TitoPapá Eliatron Dixit.

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Fotografía extraída de McTutor History of Mathematics.

Anécdota extraída del libro El club de la hipotenusa, de Claudi Alsina.

Irrazonable efectividad

Si las matemáticas se hicieran enteramente a demanda, esclavas de la ciencia, se obtendría el trabajo que se espera de un esclavo: hosco, poco generoso y lento. Si la disciplina estuviera enteramente impulsada por intereses internos, obtendríamos un niño egoísta y malcriado: mimado, egocéntrico y pagado de su propia importancia. Las mejores matemáticas equilibran sus propias necesidades con las del mundo externo. De esto es de donde deriva su irrazonable efectividad.

Ian Stewart, matemático, divulgador y escritor de Ciencia Ficción.
Vía Boletín 195 (PDF) de la RSME

¿Estáis de acuerdo con esta cita? ¿En el punto medio está la virtud? ¿Siempre, nunca, a veces?

Tito Eliatron Dixit

Contradicciones refraneras

Hoy viernes os traigo algo muy ligerito. Se trata de pares de refranes que se contrtadicen entre sí. Por ejemplo, imaginemos la típica situación de un equipo de fútbol que lleva dos partidos seguidos perdidos; entonces, dependiendo de si alguien es optimista o pesimista podrán referenciar uno de los siguientes refranes contradictorios entre sí:

No hay dos sin tres.
A la tercera va la vencida.

Pero también tenemos otro caso. ¿A quién no le gusta estar calentito en la cama por las mañanas? pero sin embargo, a veces hay que salir pitando. Para esta situación también tenemos una pareja de refranes contradictorios:

A quien madruga Dios le ayuda.
No por mucho madrugar, amanece más temprano.

¿A alguno de vosotros se os ocurre algún otro ejemplo de parejas (o ternas, cuaternas...) de refranes contradictorios?

Tito Eliatron Dixit

Las razones de la Ciencia en España

El siguiente artículo se enmarca dentro de la campaña liderada por Javier Peláez (@Irreductible), titulada La ciencia en España no necesita tijeras. Puedes seguir todos los artículos relacionados a través del twitter de la iniciativa @TijerasNo y cualquier información en twitter estará bajo el hashtag #TijerasNo. También puedes unirte al grupo de Facebook, creado para la ocasión.
Aún estás a tiempo de unirte, ¿a qué esperas?



Como muchos de vosotros ya sabréis estamos en crisis. Y claro, en tiempos de crisis, hay que hacer recortes presupuestarios. Pero no todo recorte es bueno, al menos bajo mi punto de vista.

El gobierno español, en los últimos presupuestos generales, ha decidido que uno de los apartados en donde recortar es en I+D. Pero ¿qué es I+D?

La I es de Investigación, el pilar fundamental en que se apoya la Ciencia. En España hay muchos y muy buenos científicos, sin ir más lejos un español ha sido finalista del premio Nobel de Física 2009. Pero, ¿dónde están los buenos investigadores? En España no. Juan Ignacio Cirac, candidato al Nobel de Física, es director del Instituto Max Planck de Óptica Cuántica en Garching, Alemania. Como él miles de investigadores (jóvenes y veteranos) han tenido que emigrar al extranjero porque en este nuestro país no hay dinero para contratarlos. Pero ahora el futuro se ensombrece ya que si se recorta en I+D, el poco dinero que había para su retorno, probablemente se vea reducido (aún más).

Pero no hay que irse fuera de nuestras fronteras, muchos jóvenes recién licenciados esperan ansiosos una beca de investigación del Ministerio o Gobierno regional. ¿Alguno de vosotros ha leído las cláusulas? Cuando yo solicité la mía, había una pequeña anotación en letra pequeña que decía algo así como "La cuantía de la beca será de 120.000 pts, con cargo a la partida XX de los presupuestos generales" y añadía una apostilla "sujeto a disponibilidad presupuestaria". Es decir, si el presupuesto se agota... no puedes seguir iniciando tu carrera como investigador.

La D es de desarrollo. Eso que hace progresar a un país. ¿Qué hubiese pasado si a alguno de los grandes científicos de hace unos años, no les hubiesen prestado ayuda económica con sus proyectos? Pues que muchas de ls ventajas que hoy en día tenemos, no existirían: desde algo tan simple como un microondas, hasta algo tan importante como las vacunas. ¿Sabías que gracias ainvesigaciones matemáticas en teoría de ondículas, hoy existen aparatos de radiología mucho menos lesivos que los originales? Y eso sólo con las matemáticas... ¿qué me dices de la física, la química o la biología, por ejemplo? La cosa del Desarrollo es, no como un círculo vicioso, sino más bien como una hélice ascendente: Si hay desarrollo, habrá más inversiones, si hay m´s inversiones, habrá más resultados, si hay más resultados, habrá más desarrollo... y vuelta a empezar.

En resumen, un recorte en I+D puede propiciar que grandes investigadores nacionales que quieran regresar a ejercer en España, no puedan hacerlo; además, pone en serio peligro la carrera investigadora de muchos jóvenes que la están iniciando en estos años; y, finalmente, puede truncar el desarrollo científico y económico futuro de un país y, lo que es peor, de todos sus ciudadanos.

¿Que por qué estoy en contra del recorte presupuestario en I+D? Estas razones son sólo una pequeña aportación de un investigador, que puede ver truncada sus ganas de seguir aprendiendo y dando a la humanidad un poquito más de conocimiento.

La Ciencia En España No Necesita Tijeras.
No al recorte del presupuesto en I+D

Tito Eliatron Dixit.

Lo primero

No, no, primero tienes que aprender matemáticas, física y química y tan sólo después puedes venir al laboratorio

Jaroslav Heyrovský, premio Nobel de Química en 1959

Esta frase, según leo en Radio Praha, la dijo el inventor y químico checo Jaroslav Heyrovský a su hijo, ante la insistencia del joven en entrar en el laboratorio. Finalmente logró su objetivo y siguió los pasos científicos de su padre, aunque no haya logrado (al menos por ahora) un premio Nobel.

Esta cita me viene que ni pintada, ahora que se inicia el curso universitario, para hacer ver a todos que sin una mínima base matemática, física o química, no se pude llegar a ser un científico serio.

Tito Eliatron Dixit