Números primos y decimales de π

Esta entrada es una Inocentada

Que el número $\pi$ tiene algo especial, ya lo sabemos todos. Que algo extraño pasa con los números primos, también lo sabemos. Pero el que mejor conoce a ambos es el matemático australiano Terry Tao. Y es él quien ha descubierto recientemente una curiosa relación entre ambos.

Dile a tu cuñado esta noche que te ha tocado El Gordo

Se acerca la Noche buena y todos sabemos lo que pasa:

 Así que desde Tito Eliatron Dixit te vamos a dar la solución.

Dile a tu cuñado que te ha tocado El Gordo. 

- Sí, sí, el Gordo de la Lotería, no el señor con sobrepeso que vive en el rellano del Quinto.
- Es que yo soy bueno y no me gusta decir mentiras.
- No pasa nada. Ya te he dicho que desde Tito Eliatron Dixit te vamos a ayudar.

We are the champions

Vale. El título es un poco pretencioso.

Pero es que más de 3 años después, he vuelto a conseguir ganar el Premio al mejor post del Carnaval de Matemáticas en su Edición de Noviembre de 2016 con la entrada

Cuando la inducción no es el camino más corto... y algo más.

Cuando la inducción no es el camino más corto... y algo más.

El Principio de inducción matemática es un método que permite demostrar que una cierta propiedad se cumple para cualquier número natural (o cualquiera, a partir de uno determinado). Ya hemos visto algunas cosas curiosas en este blog usando la inducción.

Cuando uno explica este principio en clase, a menudo los alumnos creen que, a partir de ese momento, todo lo que diga "Prueba esto para cada  $n\in{\mathbb N}$" se hace SIEMPRE por inducción. Afortunadamente, éste no es siempre el caso.

En este artículo vamos a ver dos ejemplos de propiedades que, aunque se pueden demostrar por inducción, pueden probarse de una forma más elegante y corta.

De polar a cartesiana y viceversa

Creo que a día de hoy todos sabemos que las coordenadas cartesianas son perfectas par representar rectángulos y cuadrados, mientras que las coordenadas polares son muy útiles para las circunferencias y rectas que pasan por le origen. Pues bien, si veis el vídeo que os pondré a continuación, quizás ésto no os quede tan claro.

The Scottish Book [Naukas Bilbao 2016]

Como viene siendo habitual, cada mes de septiembre se celebra en Bilbao el, posiblemente, mejor evento de divulgación científica en España. Me refiero a Naukas Bilbao 2016. Y como también viene siendo habitual, un servidor ha participado en dicho evento con una charla sobre matemáticas.

Una demostración "elemental" del problema de Basilea

Como muchos de vosotros sabéis, el Problema de Basilea consistía en calcular cuánto vale la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir, calcular

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$$

La historia que hay detrás de este problema es muy bonita y os recomiendo que leáis el artículo de Gaussianos que enlazo en la primera frase.

Os resumo un poco el final. En la segunda mitad del siglo XVII, ya se conocía que esta suma era finita, pero ninguno de los matemáticos que atacaron el problema (gente como Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli, Leibniz y Wallis, por ejemplo) puedieron con él. Fue, sin embargo el príncipe de las matemáticas, Leonhard Euler quien, con una facilidad asombrosa, no sólo calculó esta suma sino todas las del tipo

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2k}}\ \text{con}\ k\in{\mathbb N}.$$

Por cierto que la solución es $\pi^2/6$.

Sin emabrgo, la prueba de Euler contenía alguna omisión. Esta omisión es lo que hoy en día se conoce como Teorema de Mittag-Leffer y es uno de los resultados duros de un curso de Variable Compleja.

Se conocen varias demostraciones de esta suma. Quizás la más conocida (la que a mi me enseñaron) es la que hace uso del desarrollo en Series de Fourier de la función ${\rm sen}(x)$. Pero tiene como problema que hay que estudiar Series de Fourier, y esto suele darse en un segundo curso del Matemáticas.

A continuación os voy a presentar una demostración "elemental" del Problema de Basilea. Una demostración que está al alcance, incluso, de alumnos de Bachillerato y que tan sólo hace uso del concepto de límite y de integral.

Una prueba alternativa de la derivada del producto

Una de las reglas de derivación que más se utilizan es la derivada de un producto de funciones. Creo que todo estudiante de bachillerato la conoce:

Pero quizás lo que se vea menos es la demostración de esta propiedad. Y quizás la razón es que es poco intuitiva (para un alumno de bachillerato o primer curso de una carrera científico-técnica). La demostración estándar la podéis encontrar en la wikipedia, por ejemplo. Aquí os traigo otra demostración mucho más sencilla e intuitiva que he encontrado a través de Facebook (siento no tener el enlace).

El número π, el principio del palomar... y el caos.

Todos sabemos que es un número irracional y, como tal, posee infinitos decimales no periódicos. De los decimales de se han dicho muchas cosas, como por ejemplo, que en ellos está contenido todo el universo (aunque de esto no estamos aún seguros). Pero lo que sí podemos decir es lo siguiente.

Fíjate en la sucesión de los múltiplos de , es decir, .  Ahora olvídate de la parte entera y quédate solo con sus decimales: .
  Pues bien, vamos a demostrar que la sucesión es densa en todo el intervalo , es decir, que cualquier número de dicho intervalo se puede aproximar tanto como queramos mediante términos de .

Premio #CarnaMat71

Siento el retraso debido a las (merecidas) vacaciones de Semana Santa, pero ya vengo con el fallo del jurado del Premio Carnaval de Matemáticas en su Edición 7.1: Sexto Aniversario.

El ganador, con 16 puntos (4+4+4+2+2) es la entrada

Resumen de la Edición 7.1 (#CarnaMat71) del Carnaval de Matemáticas

21 entradas participantes de 15 blogs diferentes. Estos son los números de la Edición 7.1: Sexto Aniversario del  Carnaval de Matemáticas que finalizó el pasado domingo 28 de febrero (día de Andalucía, mi tierra).

Así que sin más dilación os dejo con todas ellas por orden de publicación:

Calculando la altura de un triangulo conocidos sus lados

Hoy va la cosa de triángulos y la pregunta es sencilla. Dado un triángulo cualquiera ¿cómo calcularías (al menos) una de sus alturas? Vale, vamos a concretar algo más. Suponed que tenéis únicamente los lados de un triángulo y por supuesto, no disponéis de instrumentos de medida (ni reglas ni transportadores de ángulo ni nada que se le parezca). ¿Cómo calculáis una de sus alturas? Pensad un poco antes de continuar.

Edición 7.1: Sexto Aniversario del Carnaval de Matemáticas (22-28 de febrero)

Seis años ya. Y aunque el cansancio aceche, aquí seguimos divulgando las matemáticas una vez al mes.

Seis años ya. Y aunque el anumerismo siga siendo el pan nuestro de cada día, aquí seguimos contando matemáticas.

Seis años ya. Y aunque sea difícil encontrar nuevos retos, aquí seguimos escudriñando los más recónditos lugares de las matemáticas para desvelar sus más íntimos secretos.

Seis años ya. 

Y aquí sigue el Carnaval de Matemáticas en su Edición 7.1.

Pasen y disfruten.

Homenaje (#WomeninSteam #JuevesCientíficas)

Copio y pego de Naukas, a modo de introducción:

La Real Sociedad Española de Física nos ha recordado que el 11 de febrero se celebra el Día de la Mujer en Ciencia y a través de un tuit nos proponía que tuiteásemos nuestra científica favorita, con el hashtag #WomeninStem.

Con esto en mente, desde Tito Eliatron Dixit, participamos en esta convocatoria con este post titulado Homenaje.

En mi vida, tanto personal como profesional, me he visto rodeado por muchos científicos. Pero también por algunas científicas.

Un primo de más de 22 millones de dígitos; descubierto el 49º primo de Mersenne

Marin Mersenne (vía Wikipedia)

El 7 de enero, el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search ) celebraba su vigésimo aniversario. Y lo hizo de la mejor manera posible: anunciando el descubrimiento del nuevo número primo más grande conocido, , número que posee 22338618 dígitos.

Este descubrimiento se ha realizado por el proyecto GIMPS a través del equipo del investigador Curtis Cooper.

Aquí tenéis, en formato txt y luego comprimido en zip, el nuevo número primo más grande del mundo. El anterior primo de Mersenne más grande, , tenía alrededor de 5 millones menos de cifras.