III Conferencia Amazings: ¿Se puede hacer Matemáticas a través de un blog?

Primero vino la Química, después la Física y ahora.... la reina de todas ellas, la reina de las ciencias: Las Matemáticas.

El próximo martes 5 de Abril a las 17:00 horas en el Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, el crack mundial, Miguel Ángel Morales (más conocido como ^DiAmOnD^), editor del Boletín de la Real Sociedad Matemática Española, autor de Gaussianos y colaborador de Amazings, nos deleitará con una magnífica charla titulada ¿Se puede "hacer" matemáticas a través de un blog?.

La aparición del "fenómeno blog" y la gran expansión del mismo en los últimos años ha supuesto una evolución en la manera en que usamos Internet. ¿Se puede usar este concepto para "hacer" Matemáticas? Daremos razones sobre por qué hacerlo y opciones sobre cómo hacerlo. Hablaremos también sobre mi propia experiencia y presentaremos a muchos de los que "hacen" Matemáticas a través de blogs. Todo ello aderazado con pinceladas matemáticas planteadas en forma de cursiosidad.

Esta conferencia, como podéis leer en el cartel de aquí al lado, se enmarca (y se financia) dentro del Programa de Actividades que año tras año viene promoviendo la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla. DE hecho, en este año 2011, han querido hacer especial hincapié en proyectos que fomenten bien las salidas profesionales de los recién egresados en Matemáticas, bien la divulgación de las Matemáticas, bien el uso de las Nuevas Tecnologías. Es evidente que esta conferencia abarca las dos últimas líneas y por eso ha sido seleccionada.

La organización de este evento corre a cargo de el que les escribe junto con la profesora María del Carmen Calderón Moreno, amiga, compañera de Departamento y paciente directora que fué de mi tesis doctoral.

En principio, esta charla va destinada a estudiantes de la Facultad de Matemáticas (matemáticos, estadísticos, másteres...), recién egresados y, en general, cualquier persona a la que le interese el mundillo de las Matemáticas.

Si el martes estás por Sevilla y quieres pasar un buen rato, estás invitado a venir a esta conferencia que, sin duda, te sorprenderá. Pero si no vas a estar en Sevilla... no pasa nada, al igual que se hizo con las últimas Conferencias Amazings de Sergio Palacios y César Tomé, esta charla va a ser emitida en riguroso directo y en streaming a través de Amazings, gracias a la colaboración de @Raven_neo y su equipo de colaboradores.

En resumen, una magnífica ocasión para ver a uno de los autores de blogs científicos más reputados de toda la blogosfera española (y no me refiero a mí) y escuchar todo lo que tiene que deciros sobre si se puede "hacer" Matemáticas a través de un blog.


Tito Eliatron Dixit

Una hormiga amenzada, una hormiga sin salvación

Como muchos ya sabréis, desde el diario El País, están publicando una serie de Desafíos Matemáticos con motivo del centenario de la Real Sociedad Matemática Española.

El pasado viernes, se publicó el segundo desafío a cargo del Profesor Fernando Blasco (autor del blog Mastemáticas, colaborador del Carnaval de Matemáticas), que llevaba por título Una Hormiga Amenazada (click en la imagen para abrir el video en una nueva ventana/pestaña):







El problema consistía en determinar si una hormiga que se mueve por las aristas de un cubo (como el de la imagen) y que parte del vértice formado por 2 aristas verdes y una amarilla, morirá o no a causa del insecticida que se ha aplicado a los vértices de la arista amarilla horizontal. Bueno, mejor que veáis el vídeo, que el amigo Fernando lo explica mejor.

Hoy mismo acaban de publicar también el vídeo con una solución muy simple (basada en simetrías, elementos básicos e intuitivos de probabilidad y la resolución de un sistema de ecuaciones) y que llega a la conclusión que La Hormiga no tiene salvación (click en la imagen para abrir el video en una nueva ventana/pestaña):








Si queréis saber lo que ocurre, la hormiga nunca podrá sobrevivir, morirá en el vértice 8 con probabilidad 4/7 y en el vértice 7 con probabilidad 3/7.

Yo llegué a la misma conclusión, pero por un método más complicado, utilizando matrices (al fin y al cabo es el mismo método, pero trabajando con todas la posibles ecuaciones, y no solo con las que Fernando utiliza). Como es complicado de escribir, lo envié en formato PDF y os lo dejo aquí para que lo veáis.




Lo que no sé, es si esta vez he ganado o no. Supongo que, como no he recibido notificación alguna, será que no... en fin, otra vez será. A esperar al tercero.

Tito Eliatron Dixit

Las olimpiadas y cosas de niños

El pasado sábado estuve colaborando con la Olimpiada Matemática de 6º de Primaria que todos los años se organiza, por parte de Thales, en la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, junto con la Olimpiada de 2º de ESO (la tradicional de secundaria).

La olimpiada de primaria se celebra por grupos de tres alumnos (72 grupos en total). primero realizan una prueba inicial tipo examen (que es la que yo corrijo, junto con Evaristo y Pepe Muñoz, de Algo más que números), para después pasar a una ghymkana (o como se escriba) por el exterior.

Los chavales, la verdad es que se lo pasan en grande, jugando, corriendo... y haciendo matemáticas. Los colaboradores, también.

Os traigo una anécdota con la que nos encontramos los correctores de la prueba inicial y que es digan de elevar a los altares divulgativos y matemáticos.

Uno de los ejercicios de la prueba inicial era el siguiente crucigrama matemático (click para agrandar):

Si os fijáis bien, el 7 vertical, en su tercera palabra (la de 5 letras) dice Primera máquina de cálculo numérico. Bueno, la respuesta correcta es ábaco, pero hete aquí que, al corregir nos encontramos con lo siguiente:

Primera máquina de cálculo numérico: DEDOS

La carcajada fue espectacular, pero la verdad, es que los chicos tenían toda la razón. La primera máquina para calcular son nuestros propios dedos... antes incluso que las piedrecitas o el ábaco. O si no... ¿por qué creéis que contamos en base 10?

Como ya escribí por aquí hace tiempo

La aritmética es el arte de contar hasta 20 sin quitarte los zapatos

o mejor, os dejo la versión de Mickey Mouse (que bien podría ser atribuida a Lisa Simpson):

La aritmética es el arte de contar hasta 16 sin quitarte los zapatos.

El caso es que todos los años, tenemos anécdotas espectaculares que contar. Si me acuerdo de alguna más, os la pondré por aquí.

Tito Eliatron Dixit

Un tercio

Pero no de cerveza,



sino de siglo.

Ese es el tiempo que ha pasado desde que el que les escribe nació (o dicen que nació). Tal día como hoy de hace exactamente 1/3 de siglo, nada más y nada menos que 33 años... y 4 meses (sí claro, 4 meses, un tercio de año) nació el genio de todos los genios, el tito de todos los titos... el Tito Eliatron. Así que este botella es mi forma de celebrarlo con todos vosotros

Tito Eliatron Dixit

PD: Imagen extraída del blog Coleccionismo Cervecero.

Un Problema sobre Ciudades y Carreteras: propuesta de solución

Como muchos de vosotros ya sabréis, desde la RSEM y El País, y con motivo del centenario de la primera, se ha abierto un concurso de resolución de problemas de matemáticas. El primero de ellos consiste en Un Problemas de Ciudades y Carreteras, propuesto por el Profesor Adolfo Quirós de la Universidad Autónoma de Madrid

El problema en cuestión era el siguiente (click en la imagen para ir al video):





Pues bien, ya se ha cerrado el plazo y el mismo proponente ha dado la solución al problema: No hay solución posible. A continuación, os dejo el vídeo en el que Adolfo da su solución, para mi gusto, muy simple y elegante, basada en el hecho de que el grafo en cuestión se puede colorear con sólo 2 colores (click en la imagen para ir al video):





Bueno, si leéis la noticia en la que se da la solución, veréis que no he sido el agraciado ganador. En cualqueir caso, os dejo a continuación la solución que envié. Básicamente, lo que hice fue ponerme a tratar de construir tal camino, partiendo de una situación inicial, e ir descartando posibilidades. Al estilo de un sudoku, vamos.

Por Reducción al Absurdo, vamos a suponer que ese ciclo SÍ que existe.

Como se nos pide un ciclo (es decir, un camino cerrado) y que pase por todos los vértices, es indiferente el vértice por el que empecemos a trabajar, ya que a todos y cada uno de los vértices llegarán dos y sólo dos aristas.
Así pues, vamos a comenzar a trabajar por un vértice cualquiera: el número 1. ¿Por qué éste? pues porque, además de estar en el eje horizontal de simetría del grafo, a él sólo llegan 3 aristas (al resto, excepto el número 5, llegan 4).

Como ya hemos dicho, al vértice 1, llegan exactamente tres aristas. Por lo tanto, nuestro ciclo debrerá contener dos de esas tres aristas y, en particular, en nuestro ciclo estará bien la arista 1-8, bien la arista 1-11 (o las dos a la vez). En cualquier caso, por la simetría (respecto del eje que marcan lso vértices 1-2-3-4-5) del grafo, da igual una arista u otra. Así que vamos a suponer que es la 1-8 la que está en nuestro "presunto" ciclo.

Ahora que sabemos que llegamos al vértice 8, tendremos tres opciones diferentes.

OPCIÓN 1: 1-8-6, es decir, de 8 nos vamos a 6.
Como nuestro ciclo ya ha pasado por 8 (ya le han llegado 2 aristas), las aristas 8-7 y 8-5 no puede estar ya en el ciclo (quedan inutilizada).
El vértice 7 se queda con sólo dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 3-7-4.
El vértice 5 se queda con sólo dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 4-5-11.
Uniendo estas dos últimas observaciones, nuestro ciclo tendrá que seguir este camino: 3-7-4-5-11.
Ahora bien, en estas condiciones, nuestro ciclo habrá pasado ya por el vértice 4 (le han llegado 2 aristas), lo que inutiliza la arista 4-10.
El vértice 10 se queda con sólo dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 11-10-3.
Pero entonces nuestro ciclo se cierra, sin pasar por todos los vértices: 3-7-4-5-11-10-3. Por lo tanto llegamos a que la OPCIÓN 1 es imposible.


OPCIÓN 2: 1-8-7, es decir, de 8 nos vamos a 7.
Como nuestro ciclo ha pasdo por 8, eso inutiliza las aristas 8-6 y 8-5.
El vértice 5 se queda con dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 4-5-11.
El vértice 6 se queda con dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 2-6-3.
Al vértice 9 llegan tres aristas, luego el ciclo hamiltoniano debe pasar por dos de ellas. Si se utilizaran 2-9 y 9-3, junto con 2-6-3 (que ya sabemos que debe estar en el ciclo), cerraría el ciclo sin pasar por todos los vértices (2-6-3-9-2). Por lo tanto, la tercera arista que pasa por 9 tiene que estar presente en nuestro ciclo: 11-9.
Como ya teníamos 4-5-11 y ahora 11-9, tenemos seguro que el ciclo pasa por 4-5-11-9 y nuestro ciclo ya ha pasado por 11, por lo que la arista 11-10 queda inutilizada.
El vértice 10 se queda con sólo dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 3-10-4.
Uniendo lo que tenemos hasta ahora, llegamos a que nuestro ciclo debe contener a 1-8-7 por un lado, y a 2-6-3-10-4-5-11-9
Pero entonces, acabamos de dejar al vértice 7 sin salida posible (hemos llegado a él por 8, pero no podremos salir de él (las arista 3-7 queda inutilizada porque el ciclo ya ha pasado por 3 y, análogamente, la arista 4-7 queda inutilizada porque el ciclo ha pasado por 4).
Por lo tanto la OPCIÓN 2 también es imposible.


OPCIÓN 3: 1-8-5, es decir, de 8 nos vamos a 5.
Como nuestro ciclo ha pasado por 8, eso inutiliza las aristas 8-6 y 8-7.
El vértice 6 se queda con dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 2-6-3.
El vértice 7 se queda con dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 3-7-4.
Uniendo estas dos partes, tenemos 2-6-3-7-4. Por lo tanto, el ciclo habrá pasado por el vértice 3, lo que inutiliza las aristas 3-9 y 3-10.
El vértice 9 se queda con dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuetro ciclo: 2-9-11.
El vértice 10 se queda con dos aristas útiles, que forzosamente deberán estar en nuestro ciclo: 4-10-11.
Uniendo ésto último con lo anterior, trendríamos un ciclo cerrado 2-6-3-7-4-10-11-9-2, que no pasaría por todos los vértices.
Por lo tanto, la OPCIÓN 3 también es imposible.


En conclusión, NO puede exisitr un ciclo hamiltoniano en este grafo.

Creo que no es una solución complicada de entender. tampoco hacen falta grandes conocimientos de matemáticas. Sólo hace falta un poco de organización, lógica y tener las cosas claras.

ACTUALIZACIÓN: Como no parecían verse los vídeos (problemas con el incrustamiento desde El País), he decidido incluir imágenes que la hacer click en ellas, pasas a ver el vídeo directaemnte en su enlace original.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es Gaussianos.

RSME y El País: problemas Matemáticos

Como parte de los actos porpios de las celebraciones del Centenario de la Real Sociedad Matemática Española, el diario El País ha iniciado un concurso de resolución de problemas de Matemáticas.

El concurso, que durará treinta semanas, comenzó el pasado viernes día 18 de marzo con un problema de Ciudades y Carreteras, propuesto, a través de un vídeo, por el Profesor Adolfo Quirós de la Universidad Autónoma de Madrid, en donde yo mismo pasé año y medio de mi vida profesional.

Durante las 30 semanas que dure el concurso, se irán publicando en vídeo, problemas de diferentes +ambitos de las matemáticas. Las soluciones a estos problemas se pueden remitir por e-mail, antes de las 00.00 del martes al correo problemamatematicas@elpais.es, y entre los acertantes se sorteará una colección completa de libros de matemáticas.

No sólo es una magnífica oportunidad para demostrar a los periodistas y a la sociedad en general la realidad compartida de que las Matemáticas interesan mucho al público y que, de esta forma, se consiga una buena disposición de los mismos a la hora de hacer divulgación matemática, sino que se nos presenta a todos el reto de desempolvar nuestras neuronas y tratar de resolver los problemas que seamos capaces.

Es mi intención ir publicando, si es que soy capaz de ello, las soluciones personales a todos y cada uno de los problemas planteados. Así que mañana, os dejaré con mi propuesta de solución del Problema de Ciudades y Puentes.

Tito Eliatron Dixit

Fútbol y matemáticas

El fútbol es un arte, pero también es una ciencia y cada jugador utiliza la geometría, la aerodinámica y la probabilidad de realizar cada acción en el mejor momento. La comprensión de los principios científicos y matemáticos podría valer su peso en oro si desea una carrera en el fútbol.

Ken Bray, vía ZTFNews

Desde luego, el fútbol puede dar mucho de sí apra introducir (y profundizar) en muchos aspectos de las matemáticas, como dinámica de fluídos, trayectorias, probabilidad, azar, teoría de juegos, etc. De hecho, los comentarios de los periodistas a veces pueden dar mucho de sí para sacarle su jugo matemático, pero de eso quizás hablemos en otro momento.

Tito Eliatron Dixit


PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es Gaussianos.

Las matemáticas más sencillas de la dinámica de poblaciones

Las Matemáticas, a pesar de ser probablemente la disciplina más odiada, se ha revelado capaz de modelizar prácticamente cualquier situación que las ciencias experimentales se plantean. En las siguientes líneas vamos a centrarnos en unos modelos sencillos de dinámica de poblaciones de una única especie, los modelos malthusianos y logísticos, y en las sencillas matemáticas que éstos implican: las ecuaciones diferenciales de variables separadas.

Establezcamos unas sencillas bases de trabajo. Supongamos que tenemos una especie sobre la que queremos estudiar el número de individuos. En un instante de tiempo, habrá individuos. Ya que estamos suponiendo, pongamos que tenemos muchísimos individuos... tantos que no nos importará suponer que y que la función es continua y, ya que estamos, derivable. Os recuerdo que estamos modelizando, esto se tiene que parecer a la realidad, no ser exactamente igual a la realidad: digamos que lo que pretendemos es un primer acercamiento a la realidad.

El crecimiento de la población entre dos instantes diferentes será ; mientras que la tasa de crecimiento será . Al igual que con las velocidades en física, si queremos una tasa instantánea de crecimineto o velocidad de crecimiento, basta hacer que y así obtenemos . O dicho de otra forma, la derivada (que para eso hemos supuesto que es derivable) de la función de población , mide la velocidad con que la especie crece o decrece.

Comencemos pues, con el modelo malthusiano. En éste, se supone que la tasa de variación depende única y exclusivamente de los nacimientos y las defunciones y, además, que éstos son proporcionales al número de individuos de la población. Es decir, se supone que , Así pues, hemos llegado a una ecuación diferencial: , o lo que es lo mismo, lo que nos sugiere que , de donde y, finalmente, obtenemos que . Si ahora suponemos que conocemos el número de individuos al comienzo de nuetras indagaciones, pongamos , es claro, pues que la solución al modelo malthusiano es .
La consecuencia de esto es, por un lado, lo que en su día (allá por 1800) propuso Malthus. Si , es decir, si hay más nacimientos que muertes, entonces la población de esta especie crecería exponencialmente; por otro lado, si , es decir, si hay más defunciones que nacimientos, resulta que la población decrecerá (también exponencialmente) hasta llegar a desaparecer (técnicamente, nunca sería 0, pero como estamos hablando de cantidades discretas que hemos supeusto continuas, podemos decir que para valores muy pequeños, no quedarán individuos); finalmente, si es decir, si los nacimientos y las muertes son las mismas, la población quedaría estacionaria en individuos.
Evidentemente, esta modelización es un inicio, pero para nada describe lo que suele ocurrir en general. En cualquier caso, se suele utilizar para intervalos cortos de tiempo, y se ha usado para el estudio de colonias de bacterias, poblaciones de pequeños mamíferos e incluso
para población humana.

El modelo anterior presenta unas carencias evidentes, y es que omite factores importantes (migraciones, relaciones entre individuos...). En 1836 Pierre François Verhulst propone una alternativa a este modelo básico en el que vamos a centrarnos, el modelo logístico.
El modelo logístico se basa en el malthusiano, pero incluye, además, la competencia entre los individuos de la especie como factor que influye en los nacimientos y las muertes (bien por la lucha por alimentos, bien por la supervivencia ante enfermedades u otra razón diferente). Verhulst supuso razonable pensar que este factor sea proporcional a la cantidad de interacciones que pueda haber entre individuos de la especie. Si tenemos individuos, el número de posibles contactos (esto no es más que el problema de los apretones de manos) será . Así la ecuación logística será de la forma

.

Las constantes que aparecen, tienen un significado importante. La constante , que está en escala temporal, proporciona el intervalo de tiempo en el cual el modelo puede considerarse como una aproximación aceptable al problema real; mientras que recibe el nombre de población límite (veremos ahora la razón).
Pues bien, esta ecuación también es de variables separadas y no es complicada de resolver. Basta escribirla de la siguiente forma (poniendo ): , de donde es fácil concluir que . Parémonos aquí un momento y, al igual que en el modelo malthusiano, impongamos que para , conocemos que . Así, es fácil calcular la constante de integración . Ahora ya sólo queda tomar logaritmos y sustituir el valor de para llegar a la Ecuación Logística:

.

Como ya indicamos, la constante es de tipo temporal, por lo que la asumimos positiva. En estas condiciones, en función de y tendremos un comportamiento u otro. En concreto, si habrá decrecimiento sin bajar del límite poblacional ; si la población permanece constante; si habrá crecimiento sin sobrepasar el límite poblacional , pero el comportamiento difiere ligeramente si o bien si , como podréis comprobar en el dibujo

Lo que se conoce como curva logística, se parece más al último comportamiento, es decir, cuando , en donde se observa al principio un crecimiento rápido para pasar (a través de un punto de inflexión de la curva) a un crecimiento más atenuado para no llegar a sobrepasar el límite .

Como habéis podido ver, son modelos extremadamente sencillos en los que intervienen pocos factores, por lo que no siempre se ajustan a la realidad. Hay otros muchos modelos, más complejos e intrincados, pero cuya resolución ya no es tan sencilla como estos. Los dejaremos para futuras entradas.

PD1: Esta entrada forma parte de la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es Gaussianos.

PD2: Esta entrada forma parte del II Carnaval de Biología cuyo anfitrión es La muerte de un ácaro.


Tito Eliatron Dixit

---

Referencias:
Modelos Matemáticos basados en E.D.O. de Primer Orden I , de M.A. González León.
Modelos matemáticos de Poblaciones, de A. Rodríguez Bellido