Acertijo de Navidad

En estas fechas tan entrañables... qué mejor que un acertijo para que Tito Eliatron os desee Feliz Navidad.

En la imagen de aquí abajo, escribid los números del 1 al 9 en las bolas del árbol y la estrella, de tal forma que en cada lado del árbol (base incluída) las cifras sumen lo mismo.


Ya sé que no es muy complicado, pero es que tras las copitas de esta noche, no creo que estemos para pensar demasiado.

Feliz Navidad a Todos.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Acertijo extraído de About.com: Mathematics, obra de Deb Russell.

Vacaciones de Navidad

Sólo unas líneas para comentar que el Tito Eliatron se va a tomar unas Navidades sabáticas (o casi) y va a disfrutar de su retoño como buen padre primerizo babeante.

Os espero de vuelta el 8 de Enero, aunque quizás haya alguna mini-sorpresa algún día de estos.

Feliz Navidad a todos.

Tito Eliatron Dixit.

¿Papá Noël? No. ¡π!

... ese misterioso 3,14159... que se cuela por todas las puertas y ventanas, que se desliza por cualquier chimenea...

Anónimo, vía Wikiquote

En estas fechas tan próximas a la Navidad, no me he podido resistir a incluir esta cita, que, no sé por qué, me ha recordado a algún señor gordo vestido de rojo.

Tito Eliatron Dixit.

My paper was rejected again Mi artículo ha sido rechazado otra vez

Hoy, gracias a una buena amiga (y traductora), os traigo hoy algo de música. Se trata del tema My paper was rejected again (MP3), que traducido es Mi artículo fue rechazado otra vez, del grupo The (21st Century) Monads.



Aquí os dejo la letra completa de la canción:

To the editor, please consider
My paper for review
The manuscript has been prepared
So my identity can’t be deduced

Your website says the turnaround time’s four months
But you’ll be four months overdue
And I’ll be feeling so blue.

And then my paper will be rejected once again

The first round was so maddening
The comments were almost laughable
But that was better than the second round
In which I received no comments at all

I waited for eight months
But no explanation was given
Not a single word of
Constructive criticism

And then my paper was rejected once again

Help me through the night,
Tell me when will this process ever come to an end?
I think my paper’s got it right
But should I throw it into the garbage bin?
Revise and submit to another journal
This process sure feels like it is eternal
But I will resend
And then

My paper will be rejected once again

Y su traducción, obra y gracia de @irenuita:

Al editor: por favor considere
someter mi artículo a evaluación.
El manuscrito se presenta
de forma que no pueda deducirse mi identidad.

En su página web pone que contestan en cuatro meses,
pero se retrasarán cuatro meses más
y yo mientras tanto estaré muy triste.

Y entonces volverán a rechazarme el artículo.

La primera ronda fue demencial,
los comentarios eran casi de risa,
pero fue mejor que la segunda,
en la que simplemente no recibí ningún comentario.

Esperé ocho meses,
pero no se me dio ninguna explicación;
ni una sola palabra
de crítica constructiva.

Y entonces volvieron a rechazarme el artículo.

Ayúdeme a sobrellevar la noche,
dígame cuándo tocará este proceso a su fin.
Creo que mi artículo está en lo cierto,
pero ¿debería arrojarlo a la basura?
Revisarlo y presentarlo a otra revista,
este proceso desde luego se hace eterno.
Pero lo volveré a enviar
y entonces

volverán a rechazarme el artículo.

En fin, a los que están en el mundo de la investigación, seguro que esto les suena. A los que no... bueno eso que ganan. Disfruten de la música.

Tito Eliatron Dixit.

Tito Eliatron Dixit en La hoja Volante

A los lectores más asiduos de este blog, les debe sonar La Hoja Volante. Se trata de una publicación que se realiza de forma trimestral, a cargo del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid (en la persona de Carlos Vinuesa), y que versa sobre matemáticas recreativas. En ella puedes encontrar desde artículos curiosos, hasta otros algo más profundos, anuncios, algo de humor, acertijo... vamos, todo lo que querría para Tito Eliatron Dixit.

Pues bien, en el último número (PDF 1,46Mb), aparece una adaptación del artículo La Paradoja del Segundo As, publicado en este blog, junto con algunas modificaciones hechas a partir de los comentarios vuestros. En principio, no será la última aparición, sino que es nuestra intención seguir colaborando con La Hoja Volante, y viceversa, como ya se pudo comprobar con el artículo sobre La Conjetura de Hcabdlog. Es posible que se cree una buena colaboración entre ambas publicaciones.

Disfrutad de ella.

Tito Eliatron Dixit.

Matemáticas para repartir una pizza entre dos personas de forma justa

Imaginemos que vamos 2 personas a un italiano y pedimos una pizza. Cuando la trae el camarero, nos disponemos a partirla en 8 trozos. Para ello hacemos primero 2 cortes perpendiculares y luego otros 2 por las bisectrices de los cortes anteriores. Justo cuando vamos a empezar a comerla, nos damos cuenta que hemos hecho los cortes... pero no pasan por el centro, y claro, ahora hay trozos más grandes que otros. ¿Se podrá repartir la pizza de forma que cada uno de los 2 comensales coman exactamente la misma cantidad de pizza (sin volver a cortar, claro)?

Esta situación ya no es un problema gracias a los matemáticos Rick Mabry and Paul Deiermann, para quienes eso de calcular el área de cada trozo y sumar era demasiado aburrido y decidieron completar un problema tan común como este.

En primer lugar vamos a establecer las reglas del problema. Tenemos una pizza perfectamente circular a la que le hacemos cortes rectos que van de borde a borde de la pizza (cuerdas de la circunferencia), de forma que todos los cortes pasan por un punto (que vamos a suponer que no es el centro geométrico de la pizza), y, además, nos vamos a asegurar que los ángulos que forman los cortes son todos iguales.


Aunque todo esto pueda parecer una verdadera tomadura de pelo (matemáticamente hablando), la realidad es que el problema viene de antiguo, pues la primera vez que aparece es en 1967 cuando L. J. Upton (Mathematics Magazine 40 (5), p. 163) propone el problema para 4 cortes formando ángulos de 45º.

Pero vayamos a explorar un poco el problema. El caso más sencillo es cuando uno de los cortes pasa exactamente por el centro de la pizza, ya que así es muy fácil comprobar que en este caso, la pizza queda dividida de forma simétrica respecto de dicho corte, por lo que si comenzamos a comer cada uno de los 2 comensales de forma alternativa trozos adyacentes, al final cada uno tomará exactamente la mitad de la pizza, pues así si el primer comensal toma un trozo, el segundo comensal, comerá (en algún momento) el trozo simétrico.

Ahora bien, ¿qué ocurre si ningún corte pasa por el centro de la pizza? (sería el caso del dibujo anterior): esto empieza a ponerse algo serio.

El caso de 1 único corte es el más sencillo y no hace falta ni siquiera explicarlo. Para 2 cortes, podemos ver una demostración gráfica muy muy simple de que el que come el trozo que contenga el centro, comerá más:
En el dibujo se ve cómo los trozos con númetros iguales tienen la misma área, luego el que coma los trozos grises (el más grande de los cuales contiene el centro de la pizza), comerá más.

Para el caso de de 4 cortes, que fue el problema planteado por Upton en 1967, el desafío no duró demasiado, ya que en 1968 Michael Goldberg (y Robert Brennan y Hussein Demir, de forma independiente) lograron resolver el problema, e incluso generalizarlo para el caso en que haya un número par de cortes (cf. Mathematics Magazine 41 p.46).

El resultado de Goldberg nos dice que si se corta la pizza un número par de veces (mayor estricto que 2) de forma que todos los cortes pasen por un punto, que no sea el centro de la pizza y que, además, ningún corte pase por el centro, entonces si vamos tomando trozos adyacentes de forma alternativa, cda comensal comerá exactamente la mitad de la pizza.

Pero... ¿qué pasa si hacemos un número impar de cortes? ¿Ocurrirá lo mismo? En este caso las cosas se complican bastantes. El primer resultado al respecto data de 1994 cuando, de nuevo en Mathematics Magazine (vol 67, p.304), Larry Carter propone el problema para el caso de 3 cortes, indicando que la solución debe ser que el comensal que elija la parte con el centro comerá menos.

Tan complicado ha sido el problema, que no ha sido completamente resuelto hasta Mayo de 2009, cuando los matemáticos Mabry y Deiremann (citados al principio del artículo) publicaron el siguiente artículo: Of Cheese and Crust: A proof of the Pizza Conjecture and other tasty results, American Mathematical Monthly, 116 (5), pp.423-438 (esta revista no es cualquiera, en el área de matemáticas tiene un índice de impacto en 2008 de 0.361 y ocupa la posición 176 de entre las 215 revistas indexadas en el Journal of Citations Report).

En dicho artículo, utilizando grandes dotes de cálculo y técnicas de series algebraicas y funciones trigonométricas, logran completar el resultado. Así, consiguen demostrar que, en el caso de un número impar de cortes, ocurre lo siguiente:

• Si se realizan 3, 7, 11, 15, ..., 4n-1, ... cortes, y repartimos sectores adyacentes de forma alternativa, el comensal que coma el trozo que contenga el centro, comerá más que el otro (esto también es válido si se realizan exactamente 1 ó 2 cortes).
• Por el contrario, si se corta en 5, 9, 13, 17..., 4n+1, ... cortes, y hacemos el reparto habitual, entonces el comensal que tome la porción que contenga el centro comerá menos que el otro.

En resumen, que el dicho de El que parte y reparte, se lleva la mejor parte se pude hacer realid, siempre que sepas las matemáticas necesarias para comprender el Teorema del reparto equitativo de una pizza.

Sin embargo, éste no es el único problema que tratan Marbry y Deierman en su artículo, sino que estudian algunos porblemas relacionados como ¿Quién comerá más corteza? o ¿quien comerá más queso? o incluso qué ocurriría si en vez de una pizza tuviéramos un calzone.

Espero que, a partir de ahora, cuando vayáis a un italiano con vuestra pareja y pidáis una pizza, os acordéis que una vez, un bloguero matemático os contó el método para poder comer más que ella y parecer todo un caballero.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN 17:00: Gracias a un comentario de emulenews en meneame.net, me he enterado que el artículo original de Mabry y Deiermann está disponible de forma gratuita The Pizza Conjecture y así os lo hago saber, por si queréis echarle un vistazo a los detalles técnicos (y no tan técnicos) que, en algún caso, puede resultar muy interesante para los no especialistas.

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Créditos:
Imagen inicial extraída del Flickr de akuban.
La segunda y tercera imagen son obra mía.

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Referencias:
The perfect way to slice a pizza, de New Scientist.
Mathematics Magazine vol 40 p.163, vol 41 p.46 y vol 67 p.304.
American Mathematical Monthly vol 116 (5) pp.423-438.

Lector avanzado

El lector avanzado que pase por alto partes que le parecen muy elementales podría perderse más que el lector menos avanzado que pase por alto partes que le parecen muy complejas.

George Polya,
Matemáticas y razonamiento plausible.
vía La Hoja Volante nº18

Me ha gustado mucho la reflexión de este gran matemático húngaro, ya que para poder comprender las matemáticas más complejas, debemos saber explicar las más simples. Y os dejo un ejemplo extremo: ¿seríamos capaces de enseñar a sumar a un niño?

Tito Eliatron Dixit.

Símbolos extraños

Hoy viernes os traigo un pequeño acertijo de esos de completar la serie.
Fijáos en el dibujo de aquí abajo:


En él, podéis ver 8 símbolos extraños, pero... ¿qué símbolo debería ir allá donde hay una interrogación? Y lo más importante ¿por qué?

Tito Eliatron Dixit.

PD: La solución, si nadie la encuentra, la publicaré dentro de una semana en los comentarios.

Cifras y letras: El número e

Volvemos hoy a la serie Cifras y Letras dedicada a esas constantes matemáticas que se representan a través de letras. En esta ocasión nos vamos a centrar en, probablemente, el segundo número trascendente más importante tras el archiconocido número π. Me estoy refiriendo al número e.

La definición de este número no es para nada geométrica, sino más bien analítica. Se suele definir el número e como el límite de la sucesión a_n:=(1+1/n)ⁿ, o bien como la suma de los inversos de los factoriales de los naturales, es decir e=1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!+....
Su valor, truncado, es e≅2,7182818284590452353602874713527... y su importancia radica en que es la base natural de los logaritmos, de hecho la función exponencial de base e es la única función cuya derivada es ella misma. Además, es parte fundamental de la Identidad de Euler e^iπ+1=0.

Pero... ¿por qué usar la letra e para denotar este número? Vamos a hablar un poco de su historia. La primera vez que se hace referencia a este número es en 1618, en un apéndice de un trabajo de John Napier donde se observa una tabla en donde se da el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, el valor de esta constante no está explícitamente calculado. Unos años después, en 1624, Henry Briggs dio una aproximación numérica de log₁₀e, aunque sin mencionar ni el número e ni, por supuesto, la notación que hemos utilizado aquí. específicamente en su trabajo.

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent calculó el área bajo una hipérbola rectangular, y este hecho se considera fundamental en el posterior desarrollo del logaritmo natural (en base e), aunque parece que el matemático no se percató en aquel entonces de este hecho.

Quien sí lo hizo fue Christian Huygens, quien hacia 1661 comprendió la relación existente entre la hiperbola rectangular y el número e: Dada la hipérbola yx=1, el número e es el único número a tal que el área bajo la hipérbola entre 1 y a es exactamente 1 (hoy, basta calcular la sencilla integral ). Incluso el prpopio Huygens, gracias a su función logarítmica (ojo, que no es la actula definición, sino otra) logró calcular 17 decimales exactos de log₁₀e. Sin embargo, en su trabajo aparece como el cálculo de una constante y no es reconocida como el logaritmo de un número.

En 1668, Nicolás Mercator logra obtener el desarrollo en series de potencias de log(1+x). En este trabajo Mercator usa el término logaritmo natural por primera vez para los logaritmos en base e, aunque nuestro protagonista sigue sin aparecer de forma explícita.

Sorprendentemente, la primera vez en que aparece de forma explícita el número e es en un trabajo de Jacob Bernoulli sobre el interés compuesto en 1683, en el que reiteradamente Bernoulli precisó calcular el límite que define al número e (y que vimos más arriba). Bernoulli no calculó el límite, perso sí demostró que existía y que su valor estaba comprendido entre 2 y 3 (su demostración, basada en el binomio de Newton, es la que hoy en día se sigue enseñando en los primeros cursos de cálculo).

La primera referencia escrita a este número es en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690, aunque en la misiva, Leibniz utiliza la notación b para este número.

Finalmente, la notación actual de la letra e se debe a Euler, aunque, contrariamente a lo que se piensa, esta notación no procede de la inicial del apellido del insigne matemático; ni siquiera del término exponencial o exponente. La versión más plausible es la casualidad: e es la segunda vocal tras la a y esta letra estaba ya siendo usada por Euler en sus trabajos.

Independientemente de los motivos, la notación actual aparece por primera vez en 1731 en una carta que Euler escribió a Goldbach. Además de darle el nombre actual, Euler logró demostrar que e es el límite de la sucesión a_n:=(1+1/n)ⁿ así como la serie 1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+...+1/n!+... (en realidad demostró que ambos números debían ser el mismo), incluso dio una aproximación de e con 18 decimales exactos y el desarrollo en fracción continua de e-1 y (e-1)/2.

El problema del cálculo de decimales de e no ha resultado, al parecer, tan interesante como el análogo para el número π. De todas formas, en 1854 William Shanks fue el primero en calcular una gran cantidad de decimales de e, aunque James Whitbread Lee Glaisher hizo notar que sólo los 137 primeros decimales eran correctos y, tras las pertinentes correcciones de Shanks, consiguió 205 decimales exactos. Recientemente, Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo han conseguido más de 200.000.000.000 decimales exactos de e. Aunque nosotros nos vamos a conformar con ver 1 millón de decimales de e.

Sobre e se sabe que es trascendente (probado por Charles Hermite), luego irracional (hecho que parece fue demostrado previamente por Euler). Sin embargo, aún no se sabe si e^e es trascendente o no, aunque parece que o bien e^e, o bien e^e2 es trascendente.

Como colofón, se sabe que e^π (conocida como constante de Gelfond) es trascendente, sin embargo no se conoce si π^e es, si quiera, irracional. De todas formas, sí que hemos aprendido en este blog que π^e<e^π, sin usar la calculadora.

Tito Eliatron Dixit.

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Referencias:

• Artículo de la Wikipedia sobre el número e en Español e Inglés.


• The number e, en The MacTutor History of Mathematics archive y su traducción de Astroseti


• Imagen extraída de la galería Flickr de gail m tang, vía Cocina y Matemáticas.

Las Matemáticas dan la nota: ¿apostamos algo?

Sigo apostando al cinco y cada dos por tres sale seis.

Fito&Fitipaldis, Me equivocaría otra vez (youtube, ca. 2'28'')

¿Estarían Fito y sus amigos jugando a los dados? ¿Es esto el colmo de un matemático, que cada 2 por 3, no salga 6?

Tito Eliatron Dixit.

PD: Con esta cita musical, inauguramos una nueva sección en Tito Eliatron Dixit, que vamos a llamar Las Matemáticas dan la Nota, en la que iremos proponiendo citas extraídas de canciones, que tengan algo que ver con las matemáticas.
Si conocéis alguna más, podéis ir dejándola bien en los comentarios, bien en algún correo electrónico, e irán apareciendo por aquí.

Más hechos matemáticos de Chuck Norris

Ante el apabullante éxito de los Hechos Matemáticos de Chuck Norris y, sobre todo, visto el grado de implicación de todos los lectores, vamos a escribir una recopilación de aquéllos hechos que hayáis dejado en los comentarios y que más me han llamado la atención.

1. El viajante del problema visitó a Chuck Norris en primer lugar (Gracias J.H.S.)


2. Para resolver un problema en, Chuck Norris lo piensa en y después simplifica.
   


3. no era tan pequeño antes de toparse de bruces con Chuck Norris.


4. Como Chuck Norris no podía demostrar la conjetura de Goldbach por falta de tiempo, sumó todos los primos dos a dos y la comprobó.


5. Chuck Norris puede hacer poliedros regulares de 3 caras, se llaman ChuckNorrisedros. (Gracias Noxbru)


6. Chuck norris puede recorer el perimetro de un fractal.


7. i se hizo imaginario por miedo a Chuck Norris.


8. Schrödinger utilizo a Chuck Norris para demostrar su paradoja, pero finalmente utilizo un gato por lo inexplicable de los resultados de la primera prueba: al abrir la caja chuck siempre vivia y no habia rastro de los demás elementos.


9. Chuck Norris puede expresar los números irracionales en forma de fracción. (Gracias Rafalillo) Es más, cuando Chuck Norris se enteró de que Hipaso demostró que era irracional, fué él mismo el que lo ahogó y no los Pitagóricos.
   


10. Los agujeros del Conjunto de Cantor son los lugares donde el intervalo [0,1] recibió alguna patada voladora de Chuck norris.

Realmente, y tal y como dijo un comentarista, he preferido obviar aquellos hechos en los que se diga que Chuck Norris es capaz de hacer algo que un determinado Teorema matemático afirma que es imposible. Espero que no les importe.

Tito Eliatron Dixit

Manifiesto en defensa de los derechos fundamentales en Internet

Dado que esto nos atañe a todos los que nos movemos en el mundo de los blogs, desde Tito Eliatron Dixit nos unimos a este gran clamor popular que es el Manifiesto en defensa de los derechos fundamentales en Internet.

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Ante la inclusión en el Anteproyecto de Ley de Economía Sostenible de modificaciones legislativas que afectan al libre ejercicio de las libertades de expresión, información y el derecho de acceso a la cultura a través de Internet, los periodistas, bloggers, usuarios, profesionales y creadores de internet manifestamos nuestra firme oposición al proyecto, y declaramos que:

1. Los derechos de autor no pueden situarse por encima de los derechos fundamentales de los ciudadanos, como el derecho a la privacidad, a la seguridad, a la presunción de inocencia, a la tutela judicial efectiva y a la libertad de expresión.
2. La suspensión de derechos fundamentales es y debe seguir siendo competencia exclusiva del poder judicial. Ni un cierre sin sentencia. Este anteproyecto, en contra de lo establecido en el artículo 20.5 de la Constitución, pone en manos de un órgano no judicial -un organismo dependiente del ministerio de Cultura-, la potestad de impedir a los ciudadanos españoles el acceso a cualquier página web.
3. La nueva legislación creará inseguridad jurídica en todo el sector tecnológico español, perjudicando uno de los pocos campos de desarrollo y futuro de nuestra economía, entorpeciendo la creación de empresas, introduciendo trabas a la libre competencia y ralentizando su proyección internacional.
4. La nueva legislación propuesta amenaza a los nuevos creadores y entorpece la creación cultural. Con Internet y los sucesivos avances tecnológicos se ha democratizado extraordinariamente la creación y emisión de contenidos de todo tipo, que ya no provienen prevalentemente de las industrias culturales tradicionales, sino de multitud de fuentes diferentes.
5. Los autores, como todos los trabajadores, tienen derecho a vivir de su trabajo con nuevas ideas creativas, modelos de negocio y actividades asociadas a sus creaciones. Intentar sostener con cambios legislativos a una industria obsoleta que no sabe adaptarse a este nuevo entorno no es ni justo ni realista. Si su modelo de negocio se basaba en el control de las copias de las obras y en Internet no es posible sin vulnerar derechos fundamentales, deberían buscar otro modelo.
6. Consideramos que las industrias culturales necesitan para sobrevivir alternativas modernas, eficaces, creíbles y asequibles y que se adecuen a los nuevos usos sociales, en lugar de limitaciones tan desproporcionadas como ineficaces para el fin que dicen perseguir.
7. Internet debe funcionar de forma libre y sin interferencias políticas auspiciadas por sectores que pretenden perpetuar obsoletos modelos de negocio e imposibilitar que el saber humano siga siendo libre.
8. Exigimos que el Gobierno garantice por ley la neutralidad de la Red, en España ante cualquier presión que pueda producirse, como marco para el desarrollo de una economía sostenible y realista de cara al futuro.
9. Proponemos una verdadera reforma del derecho de propiedad intelectual orientada a su fin: devolver a la sociedad el conocimiento, promover el dominio público y limitar los abusos de las entidades gestoras.
10. En democracia las leyes y sus modificaciones deben aprobarse tras el oportuno debate público y habiendo consultado previamente a todas las partes implicadas. No es de recibo que se realicen cambios legislativos que afectan a derechos fundamentales en una ley no orgánica y que versa sobre otra materia.

Este manifiesto, elaborado de forma conjunta por varios autores, es de todos y de ninguno. Se ha publicado en multitud de sitios web. Si estás de acuerdo y quieres sumarte a él, difúndelo por Internet.

La conjetura de... Hcabdlog

¿Hcabdlog? Pero Tito eliatron, ¿qué te pasa en la boquita?
Todo tiene su explicación. Comencemos viendo el siguiente vídeo:



¿Y con la conjetura de Goldbach se liga? En fin, dejémonos de amoríos y centrémonos en las matemáticas. Como bien dicen en este vídeo (introducción de la película La Habitación de Fermat), la Conjetura de Goldbach aventura que

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Christian Goldbach (1742).

Como muchos de vosotros ya sabréis (de hecho, ya se comentó algo en este blog) este resultado es una conjetura, ya que, a pesar de su simplicidad, no se conoce demostración alguna, aunque sí se ha comprobado para una gran cantidad de números.

En el presente artículo, no vamos a demostraros esto (lástima). Si en la Conjetura de Goldbach se trata de escribir números impares como suma de dos primos, aquí vamos a escribir números primos como suma de dos números. Vamos como en Goldbach pero al revés, de ahí el nombre: Conjetura de Hcabdlog (¡anda!, la única letra muda, más las 4 primeras letras del abecedario desordenadas, más un logaritmo; curioso):

Un número es primo impar si y sólo si se puede escribir como suma de 2 números naturales consecutivos, pero no se puede escribir como suma de 3 ni de 4, ni de 5,..., ni de más números consecutivos.

De hecho, esta conjetura es, en realidad, un resultado, ya que no es muy difícil demostrarlo, como vamos a ver a continuación.

En primer lugar vamos a familiarizarnos con las sumas de números consecutivos (dos o más). Ni el 1 ni 2 se pueden escribir como suma de números consecutivos; 3=1+2; el 4 tampoco se puede expresar como suma de consecutivos; 5=2+3; 6=1+2+3; 7=3+4; el 8 tampoco se puede; 9=2+3+4=4+5; 10=1+2+3+4; 11=5+6; 12=3+4+5; 13=6+7; 14=2+3+4+5; 15=1+2+3+4+5=7+8; y el 16 tampoco se puede escribir. Así visto, parece que los únicos números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son el 1, 2, 4, 8, 16,... es decir, las potencias de 2.

De una forma más organizada:

• Si sumamos 2 números consecutivos, obtenemos los números imapres, a partir del 3: n+(n+1)=2n+1={3,5,7,9,11,13,...}.
• Si sumamos 3 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 3, a partir del 6: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)={6,9,12,15,18,...}.
• Si sumamos 4 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 4 más 2, a partir del 10: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=4(n+1)+2={10,14,18,22,26,...}.
• Las sumas de 5 consecutiivos dan {15,20,25,30,...}
• Las sumas de 6 dan {21, 27, 33, 39,...}
• Las sumas de 7 dan {28, 35, 42, 49,...}

En general, si sumamos d números naturales consecutivos obtendremos lo siguiente: n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n·d+(1+2+...+(d-1))=n·d+d(d+1)/2. Es decir, las sumas de d números consecutivos son {d(d+1)/2+d, d(d+1)/2+2d, d(d+1)/2+3d, d(d+1)/2+4d,...} Curiosamente, los números que son suma de una cantidad impar de números consecutivos, son todos múltiplos de dicho número. En efecto, si d=2k+1, entonces n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n(2k+1)+(2k+1)(2k+2)/2=
=(2k+1)(n+k+1)=d(n+k+1). Sin embargo, la suma de un número par de números consecutivos, no es múltiplo de ese número (y esto, ya os lo dejo a vosotros, queridos lectores).

Con todo esto, nos damos cuenta de que es importante saber si el número d de números consecutivos es par o impar. Y ahora vamos a comenzar la demostración de la Conjetura de Hcabdlog, de hecho, vamos a probar aún más cosas.

Elijamos un número natural n y vamos a ver si lo podemos escribir como suma de d números consecutivos.

En primer lugar, como 1+2+3+...+d=d(d+1)/2, es imprescindible que nuestro número n sea mayor o igual que este valor. En segundo lugar, vamos a diferenciar si d es par o impar.

En el caso en que d sea impar, vamos a efectuar la división n/d. Si nos sale exacta, es decir, si d es un divisor de n, basta tomar d números consecutivos de forma que n/d esté justo en medio, es decir, de forma simétrica. En resumen, tomamos los números {n/d, n/d±1, n/d±2,...,n/d±(d-1)/2}. Mira el dibujo si no te queda suficientemente claro:
Por ejemplo si n=60 y d=3, como 60/3=20, tomamos los números 19+20+21=60.

Resumiendo, para cada divisor impar de n tal que d(d+1)/2≤n, tenemos una representación de n como suma de d números consecutivos. Y además, no hay más formas de escribir n como una suma de un número impar de números consecutivos.

En el caso en que d sea par, la cosa ya no funciona igual. Ahora vamos a necesitar que al dividir n entre el número de sumandos d (que ahora, repito, es par) nos dé un número situado justo en medio de dos naturales (un coma 5 vamos), es decir, vamos a necesitar que d sea divisor de 2n pero no de n. Así que si llamamos k=2n/d (que, tal y como hemos dicho, ha de ser impar), entonces k/2=n/d estará justo entre dos naturales. Ahora basta con coger de forma simétrica d/2=n/k naturales a un lado y a otro de k/2. Pero mira mejor el siguiente dibujo:
Por tanto, dado un divisor impar k de n, tenemos expresado n como suma de 2n/k números consecutivos. La única condición que hay que imponer es que, con este proceso, no tomemos números negativos, es decir, k/2+1/2>n/k, o lo que es lo mismo, k(k+1)/2>n, que es la misma condición que que obtuvimos al principio. Además, ésta es la única forma de expresar n como suma de una cantidad par de números consecutivos.

En resumen, si juntamos lo obtenido para los casos impar y par resulta que

Un número se escribe como suma de consecutivos de tantas formas como divisores impares tenga.

Por lo que ya tenemos todo hecho y podemos obtener los siguientes resultados.

• Los números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son las potencias de 2, ya que éstos son los únicos números sin divisores impares.
• Los únicos números que se pueden escribir como suma de 2 consecutivos pero no de 3, ni de 4 ni de 5,..., ni de más, son los primos impares, pues son los que tienen un único divisor impar, luego sólo se pueden escribir de 1 única forma y esta forma es, claramente, con 2 consecutivos.

Como habréis podido ver, el resultado de la Conjetura de Hcabdlog a pesar de parecerse mucho a la Conjetura de Goldbach, sí se puede demostrar y, además, su demostración no es demasiado técnica, tan sólo hay que escribir bien las cosas y tener mucho cuidado.

Tito Eliatron Dixit.

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Este artículo es una adaptación de otro de similar nombre aparecido en la Hoja Volante de Octubre de 2009 (PDF, 1.75Mb) obra de Carlos Vinuesa, quien nos dio permiso para utilizarlo. Muchas gracias, Carlos.

Carnaval de Física en Gravedad Cero

Aunque con un día de retraso, os anuncio que ayer se celebró el Primer Carnaval de Física, organizado por los chicos de Gravedad Cero. Y, la verdad, fue todo un éxito.

En el primero de los enlaces que os he dejado, podéis encontrar todas las contribuciones que, desde la blogosfera científica, han ido apareciendo durante la semana pasada. En particular, desde Tito Eliatron Dixit, a pesar de no ser un blog específicamente sobre física, hemos aportado nuestro pequeño granito de arena con una interesante cita de Oppenheimer que apareció el pasado lunes bajo el título Niños de los que juegan en la calle.

Pero lo mejor es que seáis vosotros mismos los que vayáis descubriendo diferentes aspectos divulgativos relacionados con la física que muy buenos bloggers han creado para nuestro deleite.

Entrad y descubrid la magia de la física.

Tito Eliatron Dixit.