¿Qué número es mayor eπ ó πe?

Si tenemos una calculadora a mano, la respuesta es bastante obvia: Hacemos ambas cuentas en ella y comprobamos los resultados. Pero la cosa se complica si queremos dar respuesta sin la ayuda de calculadoras o cualquier programa de cálculo simbólico.

De todas formas el cálculo infinitesimal puede venir a nuestra ayuda. En primer lugar, vamos a hacer alguna conjetura, que no tiene porqué ser cierta. Sólo será un punto de partida sobre el que empezar a operar. π es, más o menos, 3 (no lo digo yo, lo dice la Biblia); del mismo modo, podemos aproximar el número e por 2. Así que π^e=3²=9, mientras que e^π=2³=8. De esta forma, parece que π^e>e^π.

Ésta va a ser nuestra conjetura que vamos a tratar de probar: π^e>e^π. Pero vamos a modificarla un poco. Si tomamos logaritmos (neperianos), como esta función es estrictamente creciente y mantiene las desigualdades, podemos conjeturar que ln(π^e)>ln(e^π), pero gracias a las propiedades de los logaritmos, tenemos que e·ln(π)>&pi·ln(e), o lo que es lo mismo, ln(π)/π>ln(e)/e.

Ahora ya tenemos todo preparado. Consideramos la función f(x):=ln(x)/x, definida para cualquier valor positivo de x, y encontremos los extremos absolutos. Para ello, vamos a encontrar los máximos y/o mínimos relativos, así como los valores en los extremos. Pero como la función está definida en (0,+∞), calcularemos los límites en o⁺ y +∞.

Comencemos con ellos:
lim_x->0⁺f(x)= lim_x->0⁺ln(x)/x=-∞/0⁺=-∞.
Por otro lado,
lim_x->+∞f(x)=lim_x->+∞ln(x)/x=∞/∞=INDETERMINACIÓN. Pero en este caso, recurriendo a la Regla de L'Hopital, se obtiene que
lim_x->+∞ln(x)/x= lim_x->+∞1/x=1/+∞=0.

Así pues, ya tenemos los valores de la función en los extremos del intervalo donde está definida. Ahora vamos a calcular los extremos relativos. Para ello, basta con derivar la función e igualar a 0:
f'(x)=(1/x·x-ln(x))/x²=(1-ln(x))/x²=0 ⇔ ln(x)=1 ⇔ x=e.
Por tanto, nuestro único candidato a extremo relativo es x=e. Pero es muy fácil comprobar que en el intervalo (0,e) la derivada es positiva (f'(x)>0), mientras que en el intervalo (e,+∞), la derivada es negativa (f'(x)<0). Con todo esto se deduce que el punto x=e es un máximo relativo de la función. Además como f(e)=1/e>0, y dados los valores en de los límites en o⁺ y +∞, se deduce que en x=e la función alcanza su máximo absoluto. Si aún no quedas conforme, puedes comprobar este hecho en la representación gráfica de la función.


¿Qué acabamos de probar? pues que sea cual sea el número positivo x≠e que elijamos, se tiene que f(x)<f(e) o lo que es lo mismo, ln(x)/x<ln(e)/e. Si mandamos los denominadores a los lados contrarios, se tendrá que e·ln(x)<x·ln(e) y por las propiedades de los logaritmos resultará que ln(x^e)<ln(e^x). Ahora volvemos a palicar la propiedad del logaritmo que dice que mantiene las desigualdades para conseguir lo siguiente ∀x>0, (x≠e), se tiene que x^e<e^x.

Pero... en esta desigualdad podemos elegir, como número positivo al número π (que es distinto de e). Por lo tanto debe ser π^e<e^π. Así que nuestra conjetura inicial era más falsa que un euro de Homer Simpson.

De todas formas, mediante el cálculo infinitesimal (derivadas y límites) hemos sido capaces de comprobar cuál de estos dos números es mayor y sin necesidad de utilizar calculadoras o programas de cálculo simbólico (la imagen de la gráfica de la función es sólo para ayudar a visualizar, no es necesaria en realidad).

¿Habrá algo que el cálculo infinitesimal de Leibniz o Newton no pueda hacer?

Tito Eliatron Dixit.