Marvelmáticas: universos para-lelos

Como ya viene siendo una tradición, el pasado fin de semana tuvo lugar en el Palacio Euskalduna de Bilbao el acontecimiento más importante en la divulgación cinetífica en este país. Me refiero a Naulks Bilbao.

Como muchos sabéis, se trata de un evento en el que durante dos días (viernes y sábado) se imparten charlas divulgativas de 10 minutos de duración. Todo un reto.

Pues como también es costumbre en mí, no solo asistí a dicho evento, sino que el Viernes de 12:10 a 12:20 imaprtí mi propia charla que, en esta edición, se tituló

MARVELMÁTICAS: Universos para-lelos.

Elipse: la prueba del helado

Todo matemático (o amante de las matemáticas) que se precie, conocerá la definición de elipese como lugar geométrico:

Una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que sumadas sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a una constante.
Sin embargo, también hay otra definición alternativa de elipse como sección cónica

Una elipse es la intersección de un cono recto de revolución por un plano oblicuo que corta a todas las generatrices del cono. Si el plano es perpendicular al eje del cono, entonces la intersección es una circunferencia,
La pregunta es... ¿cómo sabemos que ambas definiciones coinciden? En este post lo vamos a ver y gracias a un helado.

Calculando la altura de un triangulo conocidos sus lados

Hoy va la cosa de triángulos y la pregunta es sencilla. Dado un triángulo cualquiera ¿cómo calcularías (al menos) una de sus alturas? Vale, vamos a concretar algo más. Suponed que tenéis únicamente los lados de un triángulo y por supuesto, no disponéis de instrumentos de medida (ni reglas ni transportadores de ángulo ni nada que se le parezca). ¿Cómo calculáis una de sus alturas? Pensad un poco antes de continuar.

Double Bubble

Cuando se unen dos pompas de jabón, no lo hacen de cualquier forma. Supongamos que tenemos una pompa de jabón de radio y otra de radio (con ). Entonces cuando se unen se crea una película jabonosa de intersección con forma también esférica, cuyo radio cumple que

A continuación os dejo con dos applets de GeoGebra.

Un rectángulo de sobremesa

Os voy a proponer un problema que me planteara el gran Claudi Alsina cuando estuvo por Sevilla hace ahora casi 2 años.

Coged un folio. Para que no haya problemas con posibles deformaciones, coge una cartulina de tamaño A4, por ejemplo. Situadla de forma que uno de los vértices (y sólo 1), esté tocando la mesa; el resto de vértices, estará por encima de ella. La pregunta es ¿qué relación hay entre las alturas de estos 3 vértices?

Para centrar ideas, os dejo con un applet de GeoGebra que yo mismo he diseñado

Comparando áreas

En matemáticas, uno siempre espera que los problemas a los que se enfrenta tengan datos en forma de números. Sin embargo, es muy posible que los más bellos enunciados a los que alguien con ganas se puede enfrentar sean aquéllos en los que, precisamente, falten los números y haya que ejercitar esa parte de nuestro cuerpo que se encuentra por encima del cuello.

Hoy os pido que penséis un poco para resolver un problema. Si no tenéis ganas, no pasa nada, yo mismo os ofreceré la solución aquí mismo. Pero lo interesante es pensar.

Así que allá va el problema. En la siguiente figura, ¿qué rectángulo tiene mayor área, el rojo o el azul?

Calculando la diagonal

Como muchos de vosotros ya sabréis, hace unos días tuve el inmenso placer de compartir unas horas con el gran divulgador de las Matemáticas en España, Claudi Alsina.

Pero a pesar de que la conferencia que nos regaló fue excepcional, para mí sólo queda el rato que compartimos en mi despacho. Entre recomendaciones, consejos, anécdotas y demás, Claudi también me propuso algún problema muy interesante; y eso es lo que os traigo hoy, uno de los problemas que me propuso. Vamos allá.

Supongamos que tenemos una caja que no se puede abrir ni desplegar... un taco de madera en forma de paralelepípedo, vamos. Algo como lo que ves en la imagen de aquí abajo.

La pregunta es bien sencilla. Si sólo disponemos de una sencilla regla de medir,

 ¿cómo calcularías la diagonal de esta caja?

SANGAKUS: Forgotten traditional Japanese Mathematics world of 17th, 18th and 19th centuries [CONFERENCIA]

Curso nuevo y vuelven las conferencias de divulgación a Sevilla. En esta ocasión, es un placer anunciaros que el próximo lunes 23 de septiembre a las 11:15 horas en el Salón de Actos de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla, tendrá lugar la conferencia titulada SANGAKU: Forgotten traditional Japanese Mathematics world of 17th, 18th and 19th centuries a cargo del Dr. Hidetoshi Fukagawa, autor, entre otros escritos de divulgación del libro cuya portada acompaña a esta entrada.

Demostración visual: suma de cubos

Es algo bien conocido el valor de la suma de los primeros números naturales: . De hecho, esta identidad es uno de los primeros ejemplos que se ponen a los alumnos para que se familiaricen con el método de inducción. Otra de estas igualdades que, por inducción, es muy sencilla de probar, involucra la suma de los cubos de los primeros números naturales; concretamente, se puede demostrar que . Si unimos ambas igualdades llegamos a la siguiente relación entre la suma de los naturales y sus cubos:

En este post vamos a ofrecer una curiosa demostración visual de esta identidad. ¿Quieres verla?

60 grados, 3 cortes y 1 tarta

El problema que os presento hoy data de 1994. En la revista Mathematics Magazine, en el número de octubre, los profesores Larry Carter (IBM Watson Research Center, Yorktown Heights, New York), John Duncan (University of Arkansas, Fayetteville, Arkansas) y Stan Wagon (Macalester College, St. Paul, Minnesot) proponen el siguiente problema que, desde aquí vamos a dulcificar un poco.

Supongamos que tenemos una tarta perfectamente circular. Con un cuchillo suficientemente grande realizamos 3 cortes a la tarta de forma que:

• todos los cortes pasan por un mismo punto;
• ese punto no es el centro geométrico de la tarta;
• los 3 cortes forman ángulos de 60º entre sí.

Vamos, que tenemos un dibujo como el que veis a continuación:

Pues ahora resulta que hay dos comensales que comienzan a comer, alternativamente, un trozo cada uno. Por si no te queda claro, en el siguiente dibujo, un comensal come la zona blanca y el otro la verde:

El problema consiste en demostrar (a ser posible sin utilizar fórmulas ni cálculos), que el comensal que se zampa la parte verde (la que contiene el centro geométrico de la tarta) sale ganando.

¿Café para 3? No, para 4

¿No es un auténtico problema cunado invitas a tres amigos a tomar café y luego aparecen sólo 2? Claro, tú tienes preparada tu mesa (cuadrada) con 4 platos y 4 tazas (una en cada lado de la mesa) y ahora resulta que sólo sois 3. ¡Qué desvergüenza! ¿Cómo lo podemos solucionar? Muy fácil: gracias a las matemáticas.

Geometría ¿sanadora? con poliedros

Iluso de mí. Yo que creía que en este blog, como mucho, podríamos hablar de las matemáticas de la homeopatía o como mucho hacernos eco de un suicidio homeopático. Yo creía que mis amadas Matemáticas estaban libres de pseudociencias y maguferías y de pronto me encuentro con esto (gracias, ^DiAmOnD^).

Medicina vibracional: Los poliedros

Toroflux: El slinky ha evolucionado

Hace poco, desde Fogonazos, nos dieron una magnífica lección inesperada de física con un slinky, es decir con uno de esos muellecitos de metal.

Pues bien, el juguetito, como los pokemons, ha evolucionado y de su estructura cilíndrica ha pasado a una estructura toroidal y ahora se llama Toroflux.

Encontrando el centro

Si uno ve el dibujo de una circunferencia... ¿sabría indicar cual es exactamente el centro? Uf, eso es como acertar en una diana... exactamente en el punto central. Estadísticamente, tiene probabilidad 0, o lo que es lo mismo, a mano alzada puede ser, cuando menos, complicado. Pero con un poco de técnica y algunos enseres de dibujo técnico se puede determinar. En el presente artículo vamos a ver dos de ellos; en uno utilizaremos regla y compás y el otro sólo una escuadra o un cartabón.

Movimiento arrollador

No ha habido movimiento más arrollador en toda la historia de la ciencia que el desarrollo de la geometría no euclídea , un movimiento que estremeció hasta sus cimientos la creencia, proveniente de épocas remotas, de que Euclides había expresado verdades eternas.

Edward Kasner y James Newman, en Matemáticas e Imaginación
vía Las geometrías no euclídeas, de Mundo Matemático de RBA.

Pues, aunque os parezca mentira, acaba de caer en mis manos este precioso libro de la colección RBA, y una de las primeras cosas que se pueden leer (de hecho, títulos e índices aparte, es lo primero que aparece) es esta cita.

Realmente, si uno se pone a pensar, la Geometría que Euclides plasma en sus famosos Cinco Postulados no es más que, parafraseando a Laplace, sentido común expresado en lenguaje matemático. Sin embargo, el V postulado, el postulado de las paralelas, ha dado muchísimo de sí. Tanto que los matemáticos han sabido dejar atrás intentos e intentos de demostrarlo (o refutarlo) para pasar a crear Geometrías alternativas en las que dicho postulado se ve modificado, pero todo sigue funcionando.

Ciertamente, visto a la luz de la historia, este hecho no nos parece, al menos a los matemáticos, sorprendente, pero debería serlo, pues se trató de un terremoto de la magnitud de la teoría heliocéntrica del propio Galileo. O quizás algo más, ya que éste sólo sacó a la luz la realidad, mientras que las Geometrías No Euclídeas se escapan a de la realidad circundante (al menos, a simple vista).

¿Qué opináis vosotros?

Tito Eliatron Dixit

La vida en estéreo

Con el álgebra podemos ver el mundo con un ojo, con la geometría podemos verla con el otro. Podemos darle las gracias a Descartes por permitirnos ver el mundo en estéreo.

@mathematicsprof.

Ciertamente, debemos a René Descartes el comienzo de la Geometría Analítica, que no es más que asignar a cada punto unas coordenadas numéricas. Éste fue el gran avance que propuso Descartes: unir, en un único concepto, entes geométricos con ecuaciones algebraicas, lo que fue el germen posterior del análisis, cálculo diferencial e integral y geometría diferencial, entre otras muchas cosas.

Según mi parecer, una frase acertadísima. ¿Y tú? ¿opinas igual?

Tito Eliatron Dixit

Interlocked: puzzles de ¿madera?

¿Alguno de vosotros conoce La Cruz del Diablo? Pues además de ser un relato de Gustavo Adolfo Becquer, se trata de un puzzle de madera tridimensional, de esos que hay que armar/desarmar con las piezas que tenemos.


Pues si te gustan este tipo de puzzles, como a mí, os presento Interlocked, un juego en el que, precisamente, tendrás que tratar de desarmar esquemas tridimensionales hechos por piezas fijas. ¿que no me explico? Míralo por tí mismo.

En este juego te van a dar estructuras como la siguiente


y tendrás que ir moviendo las piezas una a una (en las 3 direcciones de los ejes coordenados) para poder retirarlas una a una.



El juego te permite ir rotando (en 3 dimensiones) la vista de la pieza global, para tener siempre la mejor perspectiva posible. Realmente está bastante conseguido y la dificultad va siempre en aumento, aunque, a veces, el factor suerte influye bastante.

Un juego de lógica y visiópn tridimensional espectacular, sobre todo, si eres un fan de este tipo de juegos. Aunque claro, esto nunca va a sustituir a la manipulación, en el más estricto sentido de la palabra, y al coleccionismo de este tipo de piezas.

Tito Eliatron Dixit

Muévete... con estilo matemático

Todos estamos acustumbrados, más o menos, a movernos. Incluso la palabra movimiento es muy habitual en nuestro vocabulario, no en vano, los movimientos de los delanteros del equipo de tu ciudad lennan páginas de los periódicos locales. Pero... en matemáticas, también hay movimientos ¿realmente crees que sabes lo que son? ¿y los conoces todos? Si tu respuesta a alguna de las preguntas es NO, quizás lo que leas a continuación te sirva de algo.

En primer lugar, vamos a ver qué es un movimiento matemático. En geometría, se llama movimiento a una aplicación (del plano en el plano o del espacio en el espacio o, más generalmente, de en ) que conserva las distancias, es decir, si y son dos puntos de un movimiento es una aplicación, es decir, una transformación de forma que . Por esta propiedad también se les conoce como Isometrías.

Pero centrémonos en lo que ocurre en el Plano Euclídeo . En él, podemos encontrar hasta 4 movimientos diferentes. Es muy posible que seas capaz de imaginarte 3 de ellos. Algunos iomaginaréis 4... pero en realidad sólo serán 3. Si al final del post resulta que te has imaginado los 4 movimientos de verdad... enhorabuena, porque hay uno que parece algo difícil de imaginar.

El primer movimiento que nos encontramos es el movimiento de Traslación y consiste en empujar los puntos siempre en la misma dirección y siempre la misma distancia. Matemáticamente, se expresa como , donde es un vector del plano.
Este movimiento se caracteriza por no tener puntos dobles, es decir, puntos cuya imagen son ellos mismos. sin embargo, cualquier recta que tenga la misma dirección que el vector que usamos para empujar sí será doble, es decir, la imagen de la recta sí será la propia recta... aunque ninguno de sus puntos vaya en sí mismo. En fin, un hecho que a mi siempre me apreció curioso.

El segundo movimiento que vamos a ver es el Giro. Para ello debemos establecer un punto que será el centro del giro, y un ángulo que será el ángulo de giro. Sencillo ¿verdad?
La expresión matemática de estos movimientos es ya más complicada y no hay forma de evitar las matrices de giro. Digamos que la transformada del punto será . En este caso, sí que hay un punto que nunca se mueve, que es el propio centro de giro , pero, en general (salvo en un caso que veremos a continuación), no habrá ninguna recta que se transforme en sí misma. Sin embargo, cualquier circunferencia centrada en sí que será doble, pero no de puntos dobles.

Dentro de este grupo de movimientos que son los giros hay uno especial y que tiene nombre propio. El giro de ángulo 180º también se conoce como Simetría central. En este caso, el centro sigue siendo un punto doble (o punto fijo, que también se llaman así) pero, a diferencia del resto de giros, cualquier recta que pase por el centro de simetría (ya no de giro) será doble.


Si os fijáis, estos movimientos que acabamos de describir tienen la particularidad que, para llevar la figura inicial y la final pueden sobreponerse una sobre la otra sin salirse del plano. Por esta razón (bueno, no exactamente por esto, pero es una buena aproximación) a las traslaciones y los giros se les conoce como Movimientos Pares.

El tercer tipo de movimiento que vamos a ver ya no cumple la propiedad anterior. Se trata de la Simetría axial. En ella, si fijamos una recta que será el eje de simetría, la imagen de cada punto será aquel punto de forma que el segmento tenga por mediatriz a la recta .
Digamos que es como si el eje de simetría fuese un espejo en Planilandia. En este movimiento, cualquier punto de la recta es doble y, en particular, la recta es una recta de puntos dobles. Pero, además, cualquier recta perpendicular a también se transforma en sí misma, aunque solamente contenga como punto doble a la intersección .

Como podéis observar, en la simetría, para llevar la figura roja justo encima de la figura azul es necesario salirse del plano y ponerla boca abajo. Por ello, y con la salvedad que ya dije antes, este movimiento es de los llamados Impares.

Pero no es el único, ya que nos falta el último de los movimientos y, quizás, el menos conocido para el público en general. Se trata de la Simetría con deslizamiento. Este movimiento es la composición de una simetría con una traslación cuyo vector no sea perpendicular al eje de la simetría. Y se puede comprobar que, al final, siempre se puede expresar como la composición de una simetría y una traslación cuyo vector es paralelo al eje de simetría.
Una forma curiosa de explicar este movimiento es fijarse en las huellas de nuestros pies al andar. Si fijamos un pie en el suelo, el otro, que es simétrico (más o menos) se va desplazando de paralelamente al otro. Eso es una simetría con deslizamiento. Y en este caso, ya no habrá puntos dobles, pero sí una recta doble, que será el eje de la simetría original.

Como veis, en total hay 4 tipos diferentes de movimientos, uno de los cuales, la simetría con deslizamiento (o antisimetría) es un poco difícil de percibir como tal.

Finalmente, quería comentaros que lo de los términos PAR o IMPAR procede de un resultado que se conoce como Teorema de Cartan-Dieudonné, que nos dice que cualquier movimiento del plano se puede construir a partir de la composición de, como mucho, tres simetrías.

Así, por ejemplo, la composición de una única simetría es la propia simetría. Si componemos 2 simetrías pueden ocurrir 2 cosas: que los ejes sean paralelos, en cuyo caso se obtiene una traslación; o que los ejes se corten en un punto, en cuyo caso obtenemos un giro de centro el punto de corte. Finalmente, la composición de 3 simetrías será una Simetrías con Deslizamiento, salvo en el caso en que los ejes de las 3 simetrías sean paralelos, que obtendremos una nueva simetría.

Así, veréis, que los movimientos PARES son los que se componen de 2 simetrías, mientras que los IMPARES se componen de 1 ó 3 simetrías.

Espero no haberos aburrido demasiado hoy y que hayáis aprendido alguna cosa.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VIII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el blog Los Matemáticos no son Gente Seria.

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Créditos
Todas las imágenes están extraídas de la wikipedia, con licencia CC y son obra de Toobaz, excepto la imagen de Simetría Central, que ha sido creada a partir modificaciones de las anteriores imágenes.