Números primos y decimales de π

Esta entrada es una Inocentada

Que el número $\pi$ tiene algo especial, ya lo sabemos todos. Que algo extraño pasa con los números primos, también lo sabemos. Pero el que mejor conoce a ambos es el matemático australiano Terry Tao. Y es él quien ha descubierto recientemente una curiosa relación entre ambos.

El instante más friki del siglo, matemáticamente hablando

Vía Agencia SINC

La vida de π (Chirigota callejera gaditana 2014)

Lo sé. El día de π fue ayer. Pero es que ayer no conocía este vídeo que os traigo hoy y que he conocido gracias a mi buen (y pesado) amigo Juanmi Ribera (@juanripu).

Ya sabéis que el Carnaval de Cádiz (no, el de Matemáticas es otro)  es especial con sus letrillas y chascarrillos, pero es que en esta ocasión os traigo a la chirigota ilegal de este mismo año (vamos, callejera, de las que no salen en el Teatro Falla) Vacaciones en Roma, más conocidos como La Chirigota del Perchero (@losdelperchero) que nos traen una maravilla en forma de canción.

Sin más dilación os dejo con  La vida de π.

Dos demostraciones de la irracionalidad de π

En muchas ocasiones hemos hablado del número π y sus propiedades.Quizás la primera que nos cuentan es que π es irracional y sin embargo no es algo que se suela demostrar, ni siquiera en la carrera de matemáticas (al menos a mí nadie me lo demostró).


La historia nos dice que el primero en demostrar la irracionalidad de esta famosa constante fue Johan Lambert en torno a 1761. En el presente artículo, vamos a esbozar la demostración original de Lambert y también daremos una prueba alternativa muy simple (que cualquiera con conocimientos básicos de derivadas, integrales y cálculo de límites -y con un poco de sentido común- puede seguir) debida a Ivan Niven en 1947. ¿Quieres aprender algo más sobre nuestro número más famoso?

Caminando sobre los números reales [Conferencia]

¡Pues si va a resultar que este blog sirve como medio de difusión de eventos y todo! Lo digo, perdón, lo escribo porque una amiga y compañera de Departamento me ha pedido que le de difusión a una conferencia que organiza la próxima semana. Así que allá vamos.

El próximo miércoles 3 de julio a las 11:30h tendrá lugar en la Sala de Grados de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla la conferencia Caminando sobre los números reales a cargo de Francisco J. Aragón Artacho, investigador español de CARMA y de School of Mathematical and Physical Sciences de The University of Newcastle (Australia).

En promedio, ¿de cuántas formas se puede expresar un número como suma de dos cuadrados perfectos?

Hace un mes, leí la siguiente cita en el blog Futility Closet:

Every now and again one comes across an astounding result that closely relates two foreign objects which seem to have nothing in common. Who would suspect, for example, that on the average, the number of ways of expressing a positive integer n as a sum of two integral squares, x²+y²=n , is π?

De vez en cuando uno se encuentra con resultados sorprendentes que relacionan estrechamente dos objetos extraños que no parecen tener nada en común. ¿Quién podría sospechar, por ejemplo, que en promedio, el número de formas de expresar un entero positivo n como suma de dos cuadrados enteros, x²+y²=n, es π?

Ross Honsberger

Esta cita me cautivó, sobre todo, por el ejemplo que proponía. Parecía tan sencillo... así que me puse a buscar referencias. Prácticamente en todos los sitios que miraba, lo daban como un hecho elemental que, probablemente, se deba a Ramanujan, pero en ningún lugar encontraba una prueba. Así que me fui a preguntar un compañero experto en Teoría de Números para que me diera alguna referencia. Sin embargo me dio algo mucho mejor. Me propuso enseñarme una prueba in situ en su pizarra... y acepté. Tanto la explicación como la propia prueba me fascinó por su simplicidad y su belleza. Así que he decidido mostrarla a todos mis lectores para que todos os podáis deleitar con ella. Allá vamos.

Sobre la irracionalidad de e y algo más

En este blog ya hemos hablado mucho sobre la irracionalidad y trascendencia de números como y . Incluso esta misma semana hemos visto una demostración no demasiado complicada de la irracionalidad de debida a Lagrange.

En el presente artículo vamos a dar un método sencillo para probar la irracionalidad del número , un método que, en esencia, es muy conocido, pero ahora vamos a ofrecer una ligera variante que lo hace muy interesante para contarlo a alumnos de un primer curso de carreras científicas. Más aún, trataremos de aprovechar este método para demostrar de una forma similar la irracionalidad de otros números... incluido .

Matemáticas y Lotería de Navidad: una relación imposible

Ya lo sabéis, ¿no? Hoy es el día de la Salud. Entre que al final no se acabó el mundo y que ayer no nos tocó el gordo de la lotería... (porque a ninguno de ustedes, amables y generosos lectores les habrá tocado ¿verdad?) hoy sólo nos queda congraciarnos de tener al menos salud.

Volviendo al tema central del blog, pero sin abandonar lo de la lotería, creo que todos sabemos que las matemáticas no son, precisamente, lo que más ayuda a vender Lotería de Navidad: que si la esperanza de ganancia es negativa, que si la probabilidad es muy baja (verdaderamente baja), que si hay muchos mitos... Vamos, que bien podríamos decir que a la Matemática no le gusta demasiado la Lotería de Navidad (ni las loterías en general). Pero... ¿ocurre lo mismo a la inversa? Más concretamente, ¿a la Lotería de Navidad (al menos la de este año) le gustarán las matemáticas? Vamos a descubrirlo en este post.

Visualizando el número π

Os dejo, a continuación una animación (encontrada en el magnífico blog matthen) con una curiosa forma de ver el número .

Feliz Día de Tau: el Manifiesto Tau y la música de tau

Hace algunos años, alguien se percató de que quizás esté mal. No en  el sentido de que su definición sea incorrecta, sino que es posible que no sea la constante adecuada.Por ello, en 2010 el físico Michel Hartl decidió redactar un manifiesto a favor de la utilización de : El Manifiesto Tau.

En él, se propone que la definición para la constante circular, que habitualmente es llamada (sí, hombre, esa que dice que es la razón entre la circunferencia y el diámetro), no es la más adecuada. En su lugar, propone utilizar el RADIO en vez del diámetro, obteniéndose como constante fundamental .

En el manifiesto se estudia la conveniencia de adoptar esta nueva convención por varios motivos. En primer lugar en la mayor parte de las fórmulas matemáticas en donde aparece , en realidad aparece (longitud de una circunferencia, fórmula integral de Cauchy, distribución normal...) y donde no aparece... es porque ha sido deliberadamente omitida. Además, elegir es pedagógicamente más fácil de entender que utilizar a la hora de comprender la geometría del círculo. Así, un cuarto de vuelta se corresponde con , que es mucho más fácil e intuitivo que . Incluso la fórmula más bella del mundo , se convierte, tras un pequeño truco (al fin y al cabo, en la "original" también hay un truco, la reordenación), en , relacionándose, de nuevo, los 5 números más importantes de las matemáticas.

Algunos pueden pensar que esto no es más que una paja mental de alguien... pero si se lee con detenimiento el manifiesto, nos podemos dar cuenta que es algo que está bastante pensado y verdaderamente puede llegar a tener sentido. Es cierto que es difícil luchar contra siglos de tradición (que se lo digan a los ateos), pero por algún lugar hay que empezar.

En fin, que no me enrollo más. Os invito a que leáis el Manifiesto Tau. Y si tu inglés no es demasiado bueno, no pasa nada, aquí está Tito Eliatron  para ayudaros y dejároslo en primicia, traducido al español.



Y para finalizar y terminar de celebrar este día perfecto (28/6... los dos primeros números perfectos... y, en nomenclatura anglosajona, 6/28 los 3 primeros dígitos de ) os dejo con La Música de Tau



Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.5 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el blog Juegos Topológicos.

Oh! Haπ day

Pues sí, otro año más, un 14 de marzo (3/14 en nomenclatura anglosajona) celebramos el Día de π. El año pasado lo celebramos con una canción en español sobre este irracional y trascendente número, con un apoteósico final.

En este año 2011, os traigo un par de vídeos, pero en esta ocasión se trata de una representación artística de π en el metro de Viena, concretamente, en Karlsplatz





Se trata de parte de unos proyectos artísticos distribuidos por la ciudad de Viena que llevan por título genérico Kunst im öffentliche Raum Wien (Arte al aire libre en Viena). En el caso de Pi, está situado en uno de los pasajes peatonales que dirigen a la estación de metro de Karlsplatz, y se trata de una obra de Ken Lum. Consta de una serie de espejos en los que se ha grabado, además de la definición geométrica de π, los 468 primeros decimales; además, se presentan en una LED los 10 siguientes. Otras LEDs muestran hasta 14 cifras correspondientes a otra serie de hechos (desde el número de muertos en guerra, hasta la cantidad de escalopes comidos en viena). Ésta representación artística se construyó entre enero de 2005 y noviembre de 2006, para ser inaugurada oficialmente el 1 de diciembre de 2006.

Os dejo una instantánea extraída de la wikipedia de tan magna obra (click para agrandar):



En fin, si ya hay motivos de sobra para visitar Viena, aquí os dejo un motivo más, algo friki, eso sí.

Disfruten del día de π.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión, en este mes, es Gaussianos.

El segmento de puntos gordos o por qué π=2

No vamos a andarnos con rodeos. Hoy os voy a demostrar que π=2. Así, tal y como suena, contradiciendo a la Biblia, a Euler y a toda la Matemática clásica y moderna. Vamos allá.

Vamos a partir de un segmento de longitud 2. Vamos a suponer que el segmento es el intervalo que va del punto $P(-1,0)$ hasta $Q=(1,0)$; para entendernos, el intervalo $[-1,1]$.

En el estado inicial, vamos a construir la semicircunferencia de centro el origen y de radio 1. La longitud de esta curva es, pues, $L_0=\pi$.



En la primera iteración, vamos a construir 2 semicircunferencias. Divido el intervalo inicial en 2 subintervalos iguales. En el intervalo $[-1,0]$ construyo la semicircunferencia (superior) de centro $-1/2)$ y radio $1/2$, mientras que en el intervalo $[0,1]$ construyo la semicircunferencia (vamos a hacerla inferior, que quedará más bonito) de centro $1/2$ y radio $1/2$. Como se trata de 2 semicircunferencias, ambas de radio $1/2$, la longitud de la curva formada por la unión de ambas circunferencias tiene longitud $L_1=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$.



En la segunda iteración, cada uno de los intervalos anteriores, los vuelvo a dividir en 2, es decir, me quedo con los intervalos $[-1,-1/2]$, $[-1/2,0]$, $[0,1/2]$ y $[1/2,1]$. Sobre el primero construyo la semicircunferencia superior, sobre el segundo la inferior, sobre el tercero la superior y sobre el cuarto la inferior. En total son $2^2=4$ semicircunferencias de radio $1/2^2=1/4$, por lo que la longitud de la unión de estas curvas será $L_2=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi$.



En la enésima iteración, tendremos $2^n$ subintervalos de igual amplitud y sobre ellos, construimos, alternativamente, las semicircunferencias superior e inferior. Así, en total habrá $n$ semicircunferencias de radio $1/2^n$ y la longitud de la curva resultante será $L_n=2^n\cdot\frac{\pi}{2^n}=\pi$.

En el límite, este proceso desemboca en el propio segmento inicial $[-1,1]$, por lo tanto $\lim_{n\to\infty}L_n=\textrm{longitud}[-1,1]=2$. Pero como cada $L_n=\pi$, se deduce que $\pi=2$.

Imponente, ¿verdad? Pues buscad algún error, que en este caso... no lo hay. Entonces... ¿qué es lo que falla? ¿Acaso nos han engañado y el verdadero valor de $\pi$ es 2?

No, ni mucho menos. Vamos a dar 2 (posibles) explicaciones a esta paradoja. La primera de ellas es la que da nombre al artículo, es fácil de entender aunque quizás no sea muy rigurosa; mientras que la segunda explicación es bastante más precisa y técnica pero difícil de entender.

Una posible forma de explicarlo es recurrir a los fractales. El problema es que en matemáticas las cosas no siempre son como parecen y, aunque parece que este proceso acaba desembocando el el propio segmento, la realidad es que el conjunto límite es esencialemente distinto. Se trataría de lo que yo mismo he llamado segmento de puntos gordos. Sería un conjunto de tipo fractal en la que la línea límite recorre el segmento $[-1,1]$ pero de forma ondulada en cada uno de los puntos de la forma $k/2^n$ (con $k,n\in\Bbb{N}$. Estos puntos, que se conocen como racionales diádicos, tienen la propiedad de ser densos en el segmento, es decir, que casi casi lo llenan pero no del todo. Por lo tanto el límite no sería el segmento, sino un conjunto mucho más perverso.

ATENCIÓN, VA A COMENZAR UNA EXPLICACIÓN MUY TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

La segunda explicación, mucho más técnica y matemática, tiene que ver con la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Si llamamos $f_n(x)$ a la función que define la línea de semicircunferencias en la etapa $n$, es fácil comprobar que $f_n\to0$ incluso uniformemente, es decir, que como funciones, sí tienden al segmento. El problema es que la convergencia uniforme de funciones, no implica la convergencia uniforme de las derivadas. De hecho, en este caso, en cada etapa estamos introduciendo muchos puntos donde la función no es derivable: allí donde se unen 2 semicircunferencias, la tangente es completamente vertical, por lo que no puede ser derivable. ¿Y qué tiene que ver esto con la longitud? Pues resulta que para calcular la longitud de una curva $y=f(x)$ en un intervalo $[a,b]$ tan sólo hay que calcular la siguiente integral: $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx$. Es decir, para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas. Y lo que no se tiene es un resultado que asegure que si $f_n\to f$ uniformemente, entonces $f'_n\to f'$ uniformemente, por lo tanto tampoco podemos esperar que $\textrm{longitud}(f_n)\to\textrm{longitud}(f)$, por mucho que haya convergencias uniformes de las $f_n$.

FIN DE LA EXPLICACIÓN TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

En resumen, que de una forma o de otras, en matemáticas, las cosas no son siempre como parecen ni parecen lo que en realidad son.

Tito Eliatron Dixit

PD: La falacia/paradoja original, sin solucionar, la encontré en el blog Disgresiones 3.0 gracias a un mensaje privado de @vientoblanko. Yo he modificado un poco la construcción original... más que nada para hacerla un poco más visual y bonita.

Números casi enteros

¿Es posible que una expresión en la que intervengan raíces cuadradas y los números e y π (y que no sea trivial) sea, en realidad un número entero?

Según el afamado divulgador Martin Gardner (cf. [1]), parece que el matemático John Brillo de la Universidad de Arizona logró porbar una antigua conjetura del gran Ramanujan de 1914 que aseguraba que el número es, en realidad, el número entero 262.537.412.640.768.744, y que, en honor del matemático hindú, se le conoce como constante de Ramanujan (no confundir con la Constante de Ramanujan-Soldner)

Bueno, nada más lejos de la realidad (ya nos lo contaron en Gaussianos). El número anterior no es entero, sino irracional, pero verdaderamente está bastante cerca del entero que decimos. En realidad, se puede comprobar que
es decir, que el número dista de un entero menos que .

Por cierto, en la referencia que damos, no es que Martin Gardner se equivocara, es que ese número salió el April Fool's Day (1 de Abril) de 1975 y se trataba de una inocentada, tal y como el propio Gardner tuvo que admitir públicamente (para dejar de recibir correos, digamos, curiosos) en julio de 1975.

Pero, ¿hasta qué punto es este hecho una curiosidad? Me explico mejor, ¿hay otras complicadas expresiones numéricas cuyo resultado sea casi un número entero? Sin ir más lejos, modificando un poco la expresión anterior se pude conseguir lo siguiente:
y podemos comprobar que dista de un entero menos que , lo que permite calcular hasta el 31º decimal de π sin más que tomar logaritmos, es decir, con 31 decimales exactos.

Pero aún podemos ir más lejos, ya que dista de un entero menos que ; y ya si le restamos 744 y al resultado le extraemos la raíz cúbica... el entero más cercano estará a menos que .

A la vista de estos ejemplos, parece que tiene que haber algo ahí. Y así es. Tras todas estas curiosidades se esconde una teoría matemática, cuyo punto de partida son las expresiones del tipo con , y (formas cuadráticas binarias) y que son algo muy relacionado con una simple ecuación de segundo grado. Las matemáticas que hay detrás son una teoría llamada de Formas Modulares y en la que no vamos a entrar.

Simplemente deciros un par de cosas. Si definimos la función

donde , entonces la función es una función modular, y éstas tienen la propiedad que los coeficientes de su desarrollo en Serie de Fourier son números enteros. Y como esta serie converge muy rápidamente, simplemente truncando el desarrollo se pueden conseguir números casi enteros.

Pero ya está bien de tecnicismos, que a los que les interesen ya tienen suficiente por donde bichear con los enlaces dados. A continuación os dejo otros ejemplos más de números casi enteros construidos a partir de funciones modulares como la anterior:

o bien


Pero no sólo se consiguen números casi enteros a través de formas modulares. Hay otros métodos. Por ejemplo, teniendo en cuenta que cualquier aproximación de nos puede proporcionar un número casi entero. Así, por ejemplo, . ¿Que cómo sale esto? muy fácil, esto viene de aproximar . Como , resulta que . Y como debe ser .

Pero más curiosas son otras expresiones de números casi enteros como o esta otra atribuida (esta vez es cierto) al propio Ramanujan . Aunque la que más me ha gustado, por involucrar a 3 de los irracionales más famosos, es la siguiente

Otra curiosa aparición de los números casi enteros ocurre en el siguiente dibujo
Si medís con una regla, veréis que

. Pero no es cierto. En realidad en esta disección del triángulo, tal y como apuntó E. Pegg Jr., es un número casi entero de la siguiente forma:

Si queréis ver más números casi enteros curiosos de este tipo, podéis acudir a la referencia [3].


Espero que os haya gustado esta pequeña aproximación a los números casi enteros.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.

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Referencias
[1] M. Gardner, Mathematical Games, Scientific American 232 (4) (1975), 127.
[2] F.Chamizo y D.Raboso, Fórmas modulares y números casi enteros, en El Diablo de los Números, La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 3, Págs. 539–555 (disponible en PDF en la web del primer autor)
[3] E.W.Weisstein, Almost Integer, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[4] E.W.Weisstein Ramanujan Constant. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.