Números primos y decimales de π

Esta entrada es una Inocentada

Que el número $\pi$ tiene algo especial, ya lo sabemos todos. Que algo extraño pasa con los números primos, también lo sabemos. Pero el que mejor conoce a ambos es el matemático australiano Terry Tao. Y es él quien ha descubierto recientemente una curiosa relación entre ambos.

Un primo de más de 22 millones de dígitos; descubierto el 49º primo de Mersenne

Marin Mersenne (vía Wikipedia)

El 7 de enero, el GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search ) celebraba su vigésimo aniversario. Y lo hizo de la mejor manera posible: anunciando el descubrimiento del nuevo número primo más grande conocido, , número que posee 22338618 dígitos.

Este descubrimiento se ha realizado por el proyecto GIMPS a través del equipo del investigador Curtis Cooper.

Aquí tenéis, en formato txt y luego comprimido en zip, el nuevo número primo más grande del mundo. El anterior primo de Mersenne más grande, , tenía alrededor de 5 millones menos de cifras.

La conjetura de... Hcabdlog

¿Hcabdlog? Pero Tito eliatron, ¿qué te pasa en la boquita?
Todo tiene su explicación. Comencemos viendo el siguiente vídeo:



¿Y con la conjetura de Goldbach se liga? En fin, dejémonos de amoríos y centrémonos en las matemáticas. Como bien dicen en este vídeo (introducción de la película La Habitación de Fermat), la Conjetura de Goldbach aventura que

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Christian Goldbach (1742).

Como muchos de vosotros ya sabréis (de hecho, ya se comentó algo en este blog) este resultado es una conjetura, ya que, a pesar de su simplicidad, no se conoce demostración alguna, aunque sí se ha comprobado para una gran cantidad de números.

En el presente artículo, no vamos a demostraros esto (lástima). Si en la Conjetura de Goldbach se trata de escribir números impares como suma de dos primos, aquí vamos a escribir números primos como suma de dos números. Vamos como en Goldbach pero al revés, de ahí el nombre: Conjetura de Hcabdlog (¡anda!, la única letra muda, más las 4 primeras letras del abecedario desordenadas, más un logaritmo; curioso):

Un número es primo impar si y sólo si se puede escribir como suma de 2 números naturales consecutivos, pero no se puede escribir como suma de 3 ni de 4, ni de 5,..., ni de más números consecutivos.

De hecho, esta conjetura es, en realidad, un resultado, ya que no es muy difícil demostrarlo, como vamos a ver a continuación.

En primer lugar vamos a familiarizarnos con las sumas de números consecutivos (dos o más). Ni el 1 ni 2 se pueden escribir como suma de números consecutivos; 3=1+2; el 4 tampoco se puede expresar como suma de consecutivos; 5=2+3; 6=1+2+3; 7=3+4; el 8 tampoco se puede; 9=2+3+4=4+5; 10=1+2+3+4; 11=5+6; 12=3+4+5; 13=6+7; 14=2+3+4+5; 15=1+2+3+4+5=7+8; y el 16 tampoco se puede escribir. Así visto, parece que los únicos números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son el 1, 2, 4, 8, 16,... es decir, las potencias de 2.

De una forma más organizada:

• Si sumamos 2 números consecutivos, obtenemos los números imapres, a partir del 3: n+(n+1)=2n+1={3,5,7,9,11,13,...}.
• Si sumamos 3 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 3, a partir del 6: n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)={6,9,12,15,18,...}.
• Si sumamos 4 números consecutivos, obtenemos los múltiplos de 4 más 2, a partir del 10: n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6=4(n+1)+2={10,14,18,22,26,...}.
• Las sumas de 5 consecutiivos dan {15,20,25,30,...}
• Las sumas de 6 dan {21, 27, 33, 39,...}
• Las sumas de 7 dan {28, 35, 42, 49,...}

En general, si sumamos d números naturales consecutivos obtendremos lo siguiente: n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n·d+(1+2+...+(d-1))=n·d+d(d+1)/2. Es decir, las sumas de d números consecutivos son {d(d+1)/2+d, d(d+1)/2+2d, d(d+1)/2+3d, d(d+1)/2+4d,...} Curiosamente, los números que son suma de una cantidad impar de números consecutivos, son todos múltiplos de dicho número. En efecto, si d=2k+1, entonces n+(n+1)+(n+2)+...+(n+d-1)=n(2k+1)+(2k+1)(2k+2)/2=
=(2k+1)(n+k+1)=d(n+k+1). Sin embargo, la suma de un número par de números consecutivos, no es múltiplo de ese número (y esto, ya os lo dejo a vosotros, queridos lectores).

Con todo esto, nos damos cuenta de que es importante saber si el número d de números consecutivos es par o impar. Y ahora vamos a comenzar la demostración de la Conjetura de Hcabdlog, de hecho, vamos a probar aún más cosas.

Elijamos un número natural n y vamos a ver si lo podemos escribir como suma de d números consecutivos.

En primer lugar, como 1+2+3+...+d=d(d+1)/2, es imprescindible que nuestro número n sea mayor o igual que este valor. En segundo lugar, vamos a diferenciar si d es par o impar.

En el caso en que d sea impar, vamos a efectuar la división n/d. Si nos sale exacta, es decir, si d es un divisor de n, basta tomar d números consecutivos de forma que n/d esté justo en medio, es decir, de forma simétrica. En resumen, tomamos los números {n/d, n/d±1, n/d±2,...,n/d±(d-1)/2}. Mira el dibujo si no te queda suficientemente claro:
Por ejemplo si n=60 y d=3, como 60/3=20, tomamos los números 19+20+21=60.

Resumiendo, para cada divisor impar de n tal que d(d+1)/2≤n, tenemos una representación de n como suma de d números consecutivos. Y además, no hay más formas de escribir n como una suma de un número impar de números consecutivos.

En el caso en que d sea par, la cosa ya no funciona igual. Ahora vamos a necesitar que al dividir n entre el número de sumandos d (que ahora, repito, es par) nos dé un número situado justo en medio de dos naturales (un coma 5 vamos), es decir, vamos a necesitar que d sea divisor de 2n pero no de n. Así que si llamamos k=2n/d (que, tal y como hemos dicho, ha de ser impar), entonces k/2=n/d estará justo entre dos naturales. Ahora basta con coger de forma simétrica d/2=n/k naturales a un lado y a otro de k/2. Pero mira mejor el siguiente dibujo:
Por tanto, dado un divisor impar k de n, tenemos expresado n como suma de 2n/k números consecutivos. La única condición que hay que imponer es que, con este proceso, no tomemos números negativos, es decir, k/2+1/2>n/k, o lo que es lo mismo, k(k+1)/2>n, que es la misma condición que que obtuvimos al principio. Además, ésta es la única forma de expresar n como suma de una cantidad par de números consecutivos.

En resumen, si juntamos lo obtenido para los casos impar y par resulta que

Un número se escribe como suma de consecutivos de tantas formas como divisores impares tenga.

Por lo que ya tenemos todo hecho y podemos obtener los siguientes resultados.

• Los números que no se pueden expresar como suma de consecutivos son las potencias de 2, ya que éstos son los únicos números sin divisores impares.
• Los únicos números que se pueden escribir como suma de 2 consecutivos pero no de 3, ni de 4 ni de 5,..., ni de más, son los primos impares, pues son los que tienen un único divisor impar, luego sólo se pueden escribir de 1 única forma y esta forma es, claramente, con 2 consecutivos.

Como habréis podido ver, el resultado de la Conjetura de Hcabdlog a pesar de parecerse mucho a la Conjetura de Goldbach, sí se puede demostrar y, además, su demostración no es demasiado técnica, tan sólo hay que escribir bien las cosas y tener mucho cuidado.

Tito Eliatron Dixit.

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Este artículo es una adaptación de otro de similar nombre aparecido en la Hoja Volante de Octubre de 2009 (PDF, 1.75Mb) obra de Carlos Vinuesa, quien nos dio permiso para utilizarlo. Muchas gracias, Carlos.

Estructura y aleatoriedad en los números primos (Parte 2)

Tal y como os prometí, vamos a continuar hoy el resumen de la charla de Terry Tao. Os recominedo que, antes de continuar leyendo, os paséis por la primera parte del resumen.

Ya hemos visto cómo desde la antigüedad ya se conocían los primos y algunas de sus propiedades fundamentales. También hemos visto sus aplicaciones a la crfiptografía y las ideas de cómo demostrar algunos de los más clásicos resultados.

Pero en los números primos, no todo se conoce. Por ejemplo, Vinogradov demostró en 1937 que todo número impar suficientemente grande, se puede expresar como la suma de 3 primos (hecho ya conjeturado en su momento por Gauss), de hecho, en 2002 Liu y Wang establecieron que si n>10¹³⁴⁶ es cierto, mientras que en 1998, Saouter comprobó que también es cierto si n<10²⁰. Demostrar que es cierto para cualquier número impar, supone demostrar la Conjetura Débil de Goldbach, hecho por este matemático en 1742.

Otro de los grandes problemas abiertos concerniente a los números primos es la Conjetura de los Primos Gemelos, que establece que existen infinitos números primos p, tales que p+2 también es primo, y que data de ca. 300 a.C. Actualmente, los primos gemelos más grandes que se conocen son 2003663613x2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1. Datan de 2007, fueron calculados por Vautier y otros y tienen más de 58000 dígitos.

Aunque nadie ha sido aún capaz de demostrar esta conjetura, lo que sí se ha demostrado (Chen, 1966) es que existen infinitos números primos p, tales que p+2 o bien es primo o bien es el producto de 2 primos, es decir, que el segundo elemento del par, si no es primo, poco le falta.

Hasta ahora hemos visto cómo los primos se distribuyen asintóticamente, cómo se forman, algunas de las propiedades más conocidas y las conjeturas más famosas. Pero hablar de números primos y Terry Tao, es hablar de su famoso teorema, que Terry nos dejó para el final. En 2004, junto con Ben Green, Tao demostró el siguiente teorema que, junto con otras investigaciones de gran importancia, supuso la concesión de la Medalla Fields en 2006:

Existen progresiones aritméticas arbitrariamente grandes formada exclusivamente con números primos.

La idea de la demostración consiste, según su propio autor, en dividir los primos en 2 partes, una estructurada y otra pseudo-aleatoria y comprobar que en cada una de ellas, podemos encontrar progresiones aritméticas.

Pero este no es el único resultado de Tao concerniente a los primos. En el campo de los números complejos, podemos considerar el equivalente a los enteros Z[i] que serían números complejos de la forma p+iq con p,q∈Z. Pues bien, los elementos primos de este conjunto se denominan Primos de Gauss y se sabe que p+iq es un primo de Gauss si y sólo si:

• p ó q es cero, y el valor absoluto del otro es primo de la forma 4n+3


• p y q son no nulos y p²+q² es primo.
  

A continuación os dejo un dibujo de cómo se distribuyen estos números en el plano complejo.

Pues bien, en 2005, Tao demostró que dada una constelación de cualquier forma (es decir, una cantidad finita de puntos con ciertas condiciones), es posible girar, trasladar y dilatar esta figura para que todos los vértices sean Primos de Gauss. En otras palabras, si los Primos de Gauss fueran las estrellas del cielo, cualquier forma que pensemos puede se encontrada en el firmamento.

Con este curioso resultado, Tao concluyó su magnífica charla y el distinguido le brindó un sonoro aplauso al más puro estilo sevillano. Para mi fue un gran honor poder escucharle y, después, conocerle, hablar (poco) con él y hacerme la foto que ilustra el inicio de este post. Espero que se me pegue aunque sea la milésima parte de la inteligencia de este matemático cuya humilde apariencia es la pura realidad. Una Medalla Fields como matemático y como persona.

Tito Eliatron Dixit.

A la Parte 1.

Estructura y aleatoriedad en los números primos (Parte 1)

Hoy lunes no os traigo una cita matemática, lo dejaremos para la próxima ya. Como es fiesta, os traigo un pequeño regalito: la primera parte del resumen de la conferencia de Terry Tao (él prefiere que lo llamen Terry a Terence) del pasado jueves.

La conferencia comenzó con 20 minutos de retraso, pero no por culpa de Tao, que estaba allí con 1 hora de antelación, sino de las autoridades. Lo primero que nos mostró fue la definición de número primo:

Un número primo es cualquier número natural mayor que 1, que no se puede factorizar como producto de 2 naturales más pequeños.

Queda claro con esta definición, que el 1 no puede ser número primo.

Posteriormente, repasó los orígenes de los primos y los resultados clásicos, como el Teorema Fundamental de la Aritmética (ca. 300 a.C.), que nos dice que cualquier número natural se puede expresar de forma única (salvo reordenamientos) como el producto de primos; o el Teorema de Euclides (ca. 300 a.C.) que establece la infinitud de los números primos. De este teorema nos dio la demostración del propio Euclides. Gracias a estos teoremas, se puede decirr que los números primos son los átomos del producto de enteros, pero es oro todo lo que reluce. El Teorema de Euclides, por ejemplo, no nos habla de la distribución de los primos, mientras que el Teorema Fundamental de la Aritmética nos dice que cualquier número es factorizable, pero no nos dice cómo. De hecho, para números de más de 200 dígitos, la factorización no es factible en un tiempo razonable: nacen los fundamentos de la criptografía.

Para ejemplificar este hecho, nos mostró el clásico ejemplo de Alicia y Bob. Hoy día se utiliza una versión mejorada de este sistema, el Sistema de encriptado de Massey-Omura.

La seguridad de estos sistemas, parece garantizada, pero es sólo una conjetura, estrechamente relacionada con el problema P=NP

Hasta ahora, parece que los números primos presentan una aleatoriedad local, pues no sabemos cómo se distribuyen, ni siquiera sabemos la fórmula exacta del n-ésimo número primo. Sin embargo, en 1798 Gauss y Legendre conjeturaron una distribución asintótica de los números primos que fue demostrada por Hadamard y de-la-Vallè-Poussin en 1896. Se trata del Teorema de los Números primos y que asegura que el n-ésimo número primo se comporta aproximadamente igual que el factor n·log(n). Tao nos comentaba que como la charla pretendía ser divulgativa, demostrar este teorema era excesivo; pero sí nos dio unas ideas de la demostración que la llamó Escuchar la Música de los Primos.

En una primera etapa, se "toca" una onda sonora que es fuerte en los primos y baja fuera de ellos (se trata de la llamada Función de Mangoldt). En una segunda etapa, se "escucha" esta "música de los primos" a través de una variante de la transformada de Fourier (la Transformada de Mellin). Finalmente, nos damos cuenta que hay ciertas "notas" que nunca aparecen en la melodía, lo que nos da la idea final de la distribución de los primos.

Este miércoles, tendréis la segunda parte de este resumen, en el que hablaremos de algunos problemas (abiertos y cerrados) sobre los números primos, incluyendo el Teorema de Green-Tao.

Tito Eliatron Dixit.

N. de A.: Las fotos utilizadas en esta entrada fueron realizadas por mi mismo, pero el contenido es obra de Terence Tao.

A la Parte 2

Dios y los números primos

Quizás Dios no juegue a los dados con el universo, pero algo raro ocurre con los números primos.

Paul Erdos
vía Terence Tao

Recordaros que este Jueves estará Terence Tao en Sevilla para dictar una conferencia sobre "Estructura y azar en los números primos".

Es una oportunidad para conocer a un (en mi caso, otro) Medalla Fields.

Tito Eliatron Dixit.

Terence Tao: Una medalla Fields en Sevilla

Según John Garnett

Terence Tao es el Mozart de las matemáticas, pero sin sus problemas de personalidad.

Así define este catedrático de matemáticas de la UCLA a Terry Tao, australiano (de obvio origen chino) de 33 años, niño prodigio de las matemáticas y medalla Fields (el equivalente a premio Nobel de Matemáticas) en 2006. Desde los 9 años, recibió clases de nivel universitario en Matemáticas y a la edad de 10 años participó, por primera vez, en la Olimpiada Internacional de Matemática, ganando una medalla de bronce, para en los siguientes años obtener la de plata y oro. Tras contaros esto, el echo de que con 20 años ya obtuviera el grado de Doctor y con 24 una cátedra, parece poca cosa.

Terence Tao, como dice él mismo en su web, está interesado en un amplio número de áreas matemáticas, como, por ejemplo, análisis armónico, ecuaciones en derivadas parciales, combinatoria geométrica, combinatoria aritmética, teoría analítica de números... Pero quizás por lo que ha sido más conocido es por lo que hoy se conoce como teorema de Green-Tao, demostrado en 2004 en un artículo conjunto con Ben Green, y que afirma grosso modo que existen progresiones aritméticas de números primos arbitrariamente grandes.

Pues bien, según he podido leer en la página del IMUS (ya podrían mejorar un poco la página web), Terence Tao estará en Sevilla el próximo Jueves día 4 de diciembre, para dictar la conferencia Structure and randomness in the prime numbers (Estructura y azar en los números primos) en el paraninfo de la Universidad (rectorado) a las 19:00h. Me parece una oportunidad única, no sólo para conocer a este insigne matemático, sino para aprender algo más sobre la estructura de los números primos, de mano de uno de los grandes. Además entre el 2 y el 5 de diciembre, participará en el evento Conference on Harmonic Analysis and Related Topics organizado por los profesores Carlos Pérez y Rafael Espínola del Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla (es mi departamento!!!!).

Desde aquí os animo a todos a venir (otra vez) a Sevilla para disfrutar de la ciudad, sus tapas, sus conferencias y sus matemáticas.

Tito Eliatron Dixit.

PD: No dejen de visitar el blog de investigación de Terry Tao.