Tito Eliatron Dixit: número e

Mostrando entradas con la etiqueta número e. Mostrar todas las entradas

sábado, 26 de enero de 2013

Sobre la irracionalidad de e y algo más

En este blog ya hemos hablado mucho sobre la irracionalidad y trascendencia de números como $[;e;]$ y $[;\pi;]$ . Incluso esta misma semana hemos visto una demostración no demasiado complicada de la irracionalidad de $[;\sqrt2;]$ debida a Lagrange.

En el presente artículo vamos a dar un método sencillo para probar la irracionalidad del número $[;e;]$ , un método que, en esencia, es muy conocido, pero ahora vamos a ofrecer una ligera variante que lo hace muy interesante para contarlo a alumnos de un primer curso de carreras científicas. Más aún, trataremos de aprovechar este método para demostrar de una forma similar la irracionalidad de otros números... incluido $[;\sqrt2;]$ .

domingo, 23 de diciembre de 2012

Matemáticas y Lotería de Navidad: una relación imposible

Ya lo sabéis, ¿no? Hoy es el día de la Salud. Entre que al final no se acabó el mundo y que ayer no nos tocó el gordo de la lotería... (porque a ninguno de ustedes, amables y generosos lectores les habrá tocado ¿verdad?) hoy sólo nos queda congraciarnos de tener al menos salud.

Volviendo al tema central del blog, pero sin abandonar lo de la lotería, creo que todos sabemos que las matemáticas no son, precisamente, lo que más ayuda a vender Lotería de Navidad: que si la esperanza de ganancia es negativa, que si la probabilidad es muy baja (verdaderamente baja), que si hay muchos mitos... Vamos, que bien podríamos decir que a la Matemática no le gusta demasiado la Lotería de Navidad (ni las loterías en general). Pero... ¿ocurre lo mismo a la inversa? Más concretamente, ¿a la Lotería de Navidad (al menos la de este año) le gustarán las matemáticas? Vamos a descubrirlo en este post.

jueves, 29 de noviembre de 2012

Aproximando logaritmos

Vía Literatura y Matemáticas

Uno de los aspectos que más cuesta a los estudiantes de secundaria es el de los logaritmos. El logaritmo (en base $[;a;]$ ) de un número $[;b;]$ (que se representa por $[;\log_a b;]$ ), es el número al que hay que elevar la base $[;a;]$ para que dé $[;b;]$ , es decir, $[;\log_a b=x\iff a^x=b;]$ .

Pero tal y como pasa con la exponenciación, la base más natural para los logaritmos es el número $[;e\approx2'7172;]$ (del que tantas veces hemos hablado en este blog), en cuyo caso se llama logaritmo natural ó logaritmo neperiano y se denota por $[;\ln;]$ . Sin embargo, en los institutos se suele enseñar este concepto a través del logaritmo en base 10 o logaritmo decimal, y que suele denotarse simplemente por $[;\log;]$ . Pero dada la importancia que el binario tiene en nuestra sociedad de la información, resulta que los logaritmos en base 2 ( $[;\log_2;]$ ) resultan ser también muy utilizados.

En este pequeño artículo, nos hacemos eco de una fórmula de aproximación en la que intervienen estos 3 logaritmos (quizás los más usados) y que aparece (según la fuente consultada, The Endeavour) en el libro de Donald Knuth (sí, el del $[;\LaTeX;]$ ) The Art of Computer Programming.

jueves, 14 de julio de 2011

Potencias de irracionales: ln2 es irracional

Hay un clásico problema que nos pregunta si existen dos números irracionales $a$ y $b$ , de forma que $a^b$ sea racional.

Una de las demostraciones más curiosas (y, para mi gusto personal, bonita y elegante) demuestra que sí... pero, en realidad, no nos dice quienes son esos números. Os la dejo por aquí.

Se sabe que $\sqrt{2}$ es irracional. La demostración clásica es por reducción al absurdo y de las sencillitas y la podéis encontrar (junto con otra más) en Gaussianos.

Entonces tenemos 2 opciones, si $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ es racional, entonces ya estaría probado, pues bastaría tomar $a=b=\sqrt{2}$ . Si este número es irracional, éste será nuestro $a$ y ¿quién es $b$ ? Pues el otro irracional que conocemos: $b=\sqrt{2}$ . Así $a^b=\left(\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2$ .

Claro, por uno de los dos caminos llegamos al ejemplo... ¿pero cual de los dos es el de verdad? eso no nos lo dice la prueba. Y claro, uno se queda con la cosilla de saber un ejemplo concreto.

Pues aquí os dejo uno. Sabemos que $e$ es irracional (de hecho, es un número trascendente). Entonces basta tomar $a=e$ y $b=\ln 2$ , ya que $a^b=e^{\ln2}=2$ . Pero... ¿es $\ln2$ irracional? Hombre... pues parece claro, ¿no? Entonces... ¿sabes cómo demostrarlo?

Esto mismo me pregunté yo el otro día en la playa y saqué esta demostración.

Supongamos que $\ln 2$ es racional, es decir, $\ln 2=p/q$ con $p,q\in\mathbb{N}$ . Entonces $e^{p/q}=2$ , o lo que es lo mismo, $e=2^{q/p}$ , de donde se deduce que $e$ es un número algebraico, pues sería solución de la ecuación algebraica $x^p-2^q=0$ .

Es decir, que la trascendencia de $e$ implica, entro otras muchísimas cosas, la irracionalidad de $\ln 2$ .

Y por cierto, ya que estamos.. ¿se os ocurren generalizaciones sencillas de esta pequeña prueba? Hala, ya tenéis algo en lo que pensar en los próximos 5 minutos.

Tito Eliatron Dixit

miércoles, 22 de septiembre de 2010

Números casi enteros

¿Es posible que una expresión en la que intervengan raíces cuadradas y los números e y π (y que no sea trivial) sea, en realidad un número entero?

Según el afamado divulgador Martin Gardner (cf. [1]), parece que el matemático John Brillo de la Universidad de Arizona logró porbar una antigua conjetura del gran Ramanujan de 1914 que aseguraba que el número $e^{\pi\sqrt{163}}$ es, en realidad, el número entero 262.537.412.640.768.744, y que, en honor del matemático hindú, se le conoce como constante de Ramanujan (no confundir con la Constante de Ramanujan-Soldner)

Bueno, nada más lejos de la realidad (ya nos lo contaron en Gaussianos). El número anterior no es entero, sino irracional, pero verdaderamente está bastante cerca del entero que decimos. En realidad, se puede comprobar que
$e^{\pi\sqrt{163}}=262537412640768743,99999999999925007\dots$ es decir, que el número $e^{\pi\sqrt{163}}$ dista de un entero menos que $10^{-12}$ .

Por cierto, en la referencia que damos, no es que Martin Gardner se equivocara, es que ese número salió el April Fool's Day (1 de Abril) de 1975 y se trataba de una inocentada, tal y como el propio Gardner tuvo que admitir públicamente (para dejar de recibir correos, digamos, curiosos) en julio de 1975.

Pero, ¿hasta qué punto es este hecho una curiosidad? Me explico mejor, ¿hay otras complicadas expresiones numéricas cuyo resultado sea casi un número entero? Sin ir más lejos, modificando un poco la expresión anterior se pude conseguir lo siguiente:
$\sqrt[3]{e^{\pi\sqrt{163}}-744}=640319,99999999999999999999999939031\dots$ y podemos comprobar que dista de un entero menos que $10^{-24}$ , lo que permite calcular hasta el 31º decimal de π sin más que tomar logaritmos, es decir, $\pi\approx\frac{\ln(744+640320^3)}{\sqrt{163}}$ con 31 decimales exactos.

Pero aún podemos ir más lejos, ya que $e^{\pi\sqrt{163}}+196884e^{-\pi\sqrt{163}}$ dista de un entero menos que $4\cdot10^{-28}$ ; y ya si le restamos 744 y al resultado le extraemos la raíz cúbica... el entero más cercano estará a menos que $3\cdot10^{-40}$ .

A la vista de estos ejemplos, parece que tiene que haber algo ahí. Y así es. Tras todas estas curiosidades se esconde una teoría matemática, cuyo punto de partida son las expresiones del tipo $ax^2+bxy+cy^2$ con $a,b,c\in{\Bbb{Z}}^+$ , $mcd(a,b,c)=1$ y $D=4ac-b^2$ (formas cuadráticas binarias) y que son algo muy relacionado con una simple ecuación de segundo grado. Las matemáticas que hay detrás son una teoría llamada de Formas Modulares y en la que no vamos a entrar.

Simplemente deciros un par de cosas. Si definimos la función

$E_k(z)=c_k\displaystyle\sum_{(m,n)\in{\BBB{Z}}^2\setminus\{0\}}\frac{1}{(m+nz)^k}$

donde $c_k=\left(2\sum_{m=1}^\infty{\frac{1}{m^k}}\right)^{-1}$ , entonces la función $j(z)=\frac{1728E_4(z)^3}{E_4(z)^3-E_6(z)^2}$ es una función modular, y éstas tienen la propiedad que los coeficientes de su desarrollo en Serie de Fourier son números enteros. Y como esta serie converge muy rápidamente, simplemente truncando el desarrollo se pueden conseguir números casi enteros.

Pero ya está bien de tecnicismos, que a los que les interesen ya tienen suficiente por donde bichear con los enlaces dados. A continuación os dejo otros ejemplos más de números casi enteros construidos a partir de funciones modulares como la anterior:
$e^{\pi\sqrt{427}}-999421027517377348595712000\sqrt{61}=\\\phantom{,mmmm}=7805727756261891959906304743,999999999999999999999987388\dots$
o bien
$\frac{\sqrt[3]{e^{\pi\sqrt{427}}-744}}{5280}-30303\sqrt{61}=\\\phantom{mmmmm}=236673,99999999999999999999999999999999999999999999987253\dots$

Pero no sólo se consiguen números casi enteros a través de formas modulares. Hay otros métodos. Por ejemplo, teniendo en cuenta que $\cos(\pi)=-1$ cualquier aproximación de $\pi$ nos puede proporcionar un número casi entero. Así, por ejemplo, $\sin(11)=-0,999990206\dots$ . ¿Que cómo sale esto? muy fácil, esto viene de aproximar $\pi\approx{22/7}$ . Como $\sin^2(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}$ , resulta que $\sin^2(11)=\frac{1}{2}(1-\cos(22))\approx\frac{1}{2}(1-\cos(7\pi))=\frac{1}{2}(1-\cos(\pi))=1$ . Y como $\sin(11)<0$ debe ser $\sin(11)\approx-1$ .

Pero más curiosas son otras expresiones de números casi enteros como $e^\pi-\pi=19,99909997\cdots$ o esta otra atribuida (esta vez es cierto) al propio Ramanujan $22\pi^4=2143,000002748\dots$ . Aunque la que más me ha gustado, por involucrar a 3 de los irracionales más famosos, es la siguiente

$\frac{5\phi\,e}{7\pi}=1.00000970263606\dots$

Otra curiosa aparición de los números casi enteros ocurre en el siguiente dibujo

Si medís con una regla, veréis que

$d=7$ . Pero no es cierto. En realidad en esta disección del triángulo, tal y como apuntó E. Pegg Jr., $d$ es un número casi entero de la siguiente forma:

$d=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{30}(61421-23\sqrt{5831385})}=7,0000000857367483286\dots$

Si queréis ver más números casi enteros curiosos de este tipo, podéis acudir a la referencia [3].

Espero que os haya gustado esta pequeña aproximación a los números casi enteros.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.

Referencias
[1] M. Gardner, Mathematical Games, Scientific American 232 (4) (1975), 127.
[2] F.Chamizo y D.Raboso, Fórmas modulares y números casi enteros, en El Diablo de los Números, La Gaceta de la RSME, Vol. 13 (2010), Núm. 3, Págs. 539–555 (disponible en PDF en la web del primer autor)
[3] E.W.Weisstein, Almost Integer, From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
[4] E.W.Weisstein Ramanujan Constant. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.