Es que soy de ciencias
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jueves, 6 de diciembre de 2012
MagicTile: topología y puzzles tipo Rubik.
lunes, 11 de julio de 2011
Ángel o Demonio
En estos días el ángel de la topología y el demonio del álgebra abstracta luchan por el alma de cada disciplina individual de las matemáticas.
Hace tiempo, ya tuvimos por aquí una discusión en la que estaban involucrados el álgebra y los ángelos y los demonios. En este caso, traigo esta frase de Hermann Weyl en la que aparece también la topología... como demonio. Y en mi caso he de decir que hace tiempo que vendí mi alma (matemática) al diablo, ya que buena parte de los resultados que obtengo en mi investigación, tienen un marcado carácter topológico. Auqnue poco a poco voy tornando al camino recto del álgebra.
¿Y tú? ¿Eres un ángel o un demonio?
Tito Eliatron Dixit
miércoles, 10 de febrero de 2010
Midiendo el tamaño de conjuntos de números reales
Este artículo va a formar parte de la iniciativa Primera Edición del Carnaval de Matemáticas que se está celebrando durante toda esta semana y que tendrá su colofón final el próximo Lunes día 15, cunado en este mismo blog se hará una recopilación de todas las entradas publicadas.
En esta entrada vamos a hablar de conjuntos pequeños de la Recta Real R, pero (casi) todo lo que digamos puede fácilmente extenderse al plano, al espacio e, incluso, al espacio n-dimensional.
Dejando aparte a los conjuntos finitos, lo más pequeño que nos podemos encontrar son los conjuntos numerables, es decir, conjuntos para los que existe una biyección con los Números Naturales. Hablando en plata, un conjunto es numerable si podemos contar sus elementos (primer elemento, segundo, tercero...) y nunca pararemos. Como Ejemplo (con mayúsculas) de conjunto numerable, tenemos a los naturales N, pero también hay más, como el de los enteros Z o el de los racionales Q. Todos ellos son numerables, luego desde este punto de vista, todos son conjuntos pequeños.
Sin embargo, este último conjunto posee una característica que lo diferencia de los otros dos. Los racionales, al verlos dentro de los reales, cumplen una curiosa propiedad que se llama Propiedad Arquimediana:
Aquí tenemos una segunda forma de medir la magnitud de un conjutno real. Un conjunto es denso si cualquier intervalo abierto intersecta al conjunto, o dicho de una forma más simple, un conjunto es denso (en los reales), si dado cualquier número real (racional o irracional) somos capaces de encontrar un número racional tan cerca como queramos. Digamos que un conjunto denso casi llena los números reales. Por lo tanto, desde este punto de vista, el conjunto Q no puede considerarse pequeño, sino más bien todo lo contrario: de gran tamaño.
Otra forma de medir lo pequeño que puede ser un conjunto está estrechamente relacionado con el concepto de densidad. Un conjunto A de números reales se llama denso en ninguna parte o nada denso, si dado cualquier intervalo abierto, es posible encontrar un subintervalo que ya no contiene puntos de A. Digamos que sería una propiedad diametralmente opuesta a la densidad. A veces, a estos conjuntos los llaman diseminados, pues la idea es que están muy diseminados (valga la redundancia) por la recta real.
Un ejemplo clásico de este tipo de conjuntos es el Conjunto de Cantor. Éste conjunto se obtiene de la siguiente forma: tomamos el intervalo [0,1], lo dividimos en 3 partes iguales y nos quedamos con las 2 partes de los extremos, es decir, [0,1/3] y [2/3,1]; Ahora repetimos el mismo procedimiento con los 2 intervales que tenemos, después con los 4 que obtendríamos y así sucesivamente. En el paso al límite se obtiene el Conjunto de Cantor. Pues bien, desde el punto de vista anterior, el Conjunto de Cantor debería ser considerado pequeño, pero sin embargo, se sabe que este conjutno tiene exactamente la misma cardinalidad que los números reales, es decir, que tiene tantos puntos como números reles hay. Por lo tanto, desde esta otra perspectiva, el Conjunto de Cantor debería ser considerado grande.
Más aún, como la cardinalidad de los racionales es ω (la de los naturales), Q debería ser considerdo más pequeño que el Conjunto de Cantor. Aunque bajo el cristal de la densidad, los racionales son más grandes que Cantor.
En resumen, matemáticamente hablando, los conceptos de grande o pequeño son extremadamente relativos. Aquí hemos visto un par de ejemplos de cómo medir tamaños de conjuntos, pero aún hay varias formas más como la longitud o medida, y las Categorías de Baire. Pero todo esto daría para varias entradas más.
Tito Eliatron Dixit.
En esta entrada vamos a hablar de conjuntos pequeños de la Recta Real R, pero (casi) todo lo que digamos puede fácilmente extenderse al plano, al espacio e, incluso, al espacio n-dimensional.
Dejando aparte a los conjuntos finitos, lo más pequeño que nos podemos encontrar son los conjuntos numerables, es decir, conjuntos para los que existe una biyección con los Números Naturales. Hablando en plata, un conjunto es numerable si podemos contar sus elementos (primer elemento, segundo, tercero...) y nunca pararemos. Como Ejemplo (con mayúsculas) de conjunto numerable, tenemos a los naturales N, pero también hay más, como el de los enteros Z o el de los racionales Q. Todos ellos son numerables, luego desde este punto de vista, todos son conjuntos pequeños.
Sin embargo, este último conjunto posee una característica que lo diferencia de los otros dos. Los racionales, al verlos dentro de los reales, cumplen una curiosa propiedad que se llama Propiedad Arquimediana:
Entre cualesquiera dos números racionales distintos, es posible encontrar otro racional distinto.Incluso se puede decir algo más. Entre dos números racionales distintos cualesquiera, siempre podemos encontrar un número racional y otro irracional.
Aquí tenemos una segunda forma de medir la magnitud de un conjutno real. Un conjunto es denso si cualquier intervalo abierto intersecta al conjunto, o dicho de una forma más simple, un conjunto es denso (en los reales), si dado cualquier número real (racional o irracional) somos capaces de encontrar un número racional tan cerca como queramos. Digamos que un conjunto denso casi llena los números reales. Por lo tanto, desde este punto de vista, el conjunto Q no puede considerarse pequeño, sino más bien todo lo contrario: de gran tamaño.
Otra forma de medir lo pequeño que puede ser un conjunto está estrechamente relacionado con el concepto de densidad. Un conjunto A de números reales se llama denso en ninguna parte o nada denso, si dado cualquier intervalo abierto, es posible encontrar un subintervalo que ya no contiene puntos de A. Digamos que sería una propiedad diametralmente opuesta a la densidad. A veces, a estos conjuntos los llaman diseminados, pues la idea es que están muy diseminados (valga la redundancia) por la recta real.
Un ejemplo clásico de este tipo de conjuntos es el Conjunto de Cantor. Éste conjunto se obtiene de la siguiente forma: tomamos el intervalo [0,1], lo dividimos en 3 partes iguales y nos quedamos con las 2 partes de los extremos, es decir, [0,1/3] y [2/3,1]; Ahora repetimos el mismo procedimiento con los 2 intervales que tenemos, después con los 4 que obtendríamos y así sucesivamente. En el paso al límite se obtiene el Conjunto de Cantor. Pues bien, desde el punto de vista anterior, el Conjunto de Cantor debería ser considerado pequeño, pero sin embargo, se sabe que este conjutno tiene exactamente la misma cardinalidad que los números reales, es decir, que tiene tantos puntos como números reles hay. Por lo tanto, desde esta otra perspectiva, el Conjunto de Cantor debería ser considerado grande.
Más aún, como la cardinalidad de los racionales es ω (la de los naturales), Q debería ser considerdo más pequeño que el Conjunto de Cantor. Aunque bajo el cristal de la densidad, los racionales son más grandes que Cantor.
En resumen, matemáticamente hablando, los conceptos de grande o pequeño son extremadamente relativos. Aquí hemos visto un par de ejemplos de cómo medir tamaños de conjuntos, pero aún hay varias formas más como la longitud o medida, y las Categorías de Baire. Pero todo esto daría para varias entradas más.
Tito Eliatron Dixit.
miércoles, 13 de mayo de 2009
La esfera cornuda de Alexander
No es lo mismo la Esfera cornuda de Alexander, que la esfera del cornudo de alexander. No. Así que cuidado con lo que leemos. Una vez hecha esta advertencia inicial, veamos que al Tito Eliatron no se le ha ido la cabeza (o sí) y leamos de qué va este artículo.Hace unos días hemos podido disfrutar en Gaussianos de una entrada sobre El Teorema de la Curva de Jordan. Éste teorema viene a decir que en R2 una curva cerrada, simple (es decir, que no se corta a sí misma), divide al plano en dos componentes conexas (en cada una de las partes, 2 puntos cualesqueira pueden unirse sin levantar el lápiz del papel). Un resultado que parece evidente, pero cuya demostración no es para nada trivial. Pero esto no queda aquí, sino que, además, cada una de las partes es homeomorfas (tiene las mismas propiedades topológicas) a las partes en que la circunferencia divide al plano, es decir, hay una parte de dentro o acotada y una parte de fuera o no acotada, igual que el círculo y el exterior del círculo.
La pregunta es si este mismo resultado, tal cual, es válido en el espacio R3. Es decir, si S es una superficie, cerrada que no se autointersecta, entonces divide al espacio en 2 partes, homemomorfas, respectivamente, a cada una de las partes en que la esfera divide al espacio. Es cierto que una superficie así, divide al espacio en 2 partes: la parte de dentro o parte acotada y la parte de fuera o parte no acotada, como en el caso del plano. Pero... ¿tendrán las mismas propiedades topológicas que las partes correspondientes de la esfera? En este caso la respuesta es NO y el ejemplo es, precisamente, La Esfera Cornuda de Alexander. En particular, este curioso objeto dividirá al epacio en 2 partes, pero la parte exterior no va a tener las propiedades topológicas que el exterior de la esfera. Vamos a concretar esto un poco más y vamos a conocer a este objeto.
La esfera cornuda fue introducida en el mundo matemático por James Alexander (que le cedió su nombre) allá por 1925. Explicado de forma rápida, la Esferea Cornuda de Alexander es una esfera a la que le salen 2 cuernos que quieren pero no se tocan; de los extremos de cada cuerno, salen 2 nuevos cuernos que se entrelazan con los otros. Sí es un poco complejo explicarlo con palabras, por lo que os voy a dejar el siguiente vídeo creado por investigadores de la Universidad de Hannover:
Para que os hagáis una idea global de cómo es este curioso objeto, os dejo también una imagen en la que la esfera es más bien un anillo (pero topológicamente, tienen las mismas propiedades):
Ya conocemos el objeto, pero ¿cómo sabemos que tiene esa extraña propiedad de la que hemos hablado? Vayamos paso a paso. En concreto, vamos a comprobar que el exterior de la esfera tradicional y el exterior de la esfera cornuda no son homeomorfos. En particular ocurre lo siguiente.
Una esfera tradicional podemos rodearla con un lazo y este lazo no atrapa la esfera, es decir, la esfera se escapa del lazo. Comprobadlo en el siguiente dibujo:
Sin embargo, si hacemos lo mismo con la esfera cornuda, teniendo cuidado de pasar el lazo entre los priemros cuernos, entonces la esfera quedará atrapada por el lazo, es decir, jamás podremos sacar la esfera cornuda, sin cortar el lazo:
Se podría decir que el interior (parte acotada) de la esfera cornuda de Alexander, se parece (en realidad es homeomorfo) al interior de la esfera, mientras que el exterior de la esfera cornuda de Alexander se parece más al exterior de un toro:
En resumen, para que el Teorema de la curva de Jordan, enunciado al principio, pueda extenderse a dimensiones superiores (se conoce como Teorema de Jordan-Browder), hace falta que la superficie (hipersuperficie, en general) cumpla alguna condición extra de regularidad, como por ejemplo, ser compacta. Pero esto ya es harina de otro
Tito Eliatron Dixit.
ACTUALIZACIÓN: La Esfera Cornuda está en Meneame, gracias al usuario tollendo.
Créditos:
- Dibujo inicial extraído de MathWorld, original de Simon Fraser, y representa al matemático John H. Conway con una cornamenta semejante a la Esferea Cornuda de Alexander.
- Imagen de esfrera cornuda de fondo azul (y derivados) extraída de Wikipedia (dominio público)
- Resto de imágenes creadas por el autor mediante Wolfram Mathematica.
Referencias:
- La esfera cornuda de Alexander y El teorema de la curva de Jordan del blog Topología I.
- Alexander's Horned Sphere de Wolfram MathWorld.
- La esfera cornuda de Alexander del blog Juegos Topológicos.
- Artículos de la Wikipedia en Español e Inglés.
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