Tito Eliatron Dixit: cálculo infinitesimal

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martes, 24 de enero de 2017

El Cuerno de Gabriel o las matemáticas de la vuvuzela.

Cuenta la leyenda, que un día el Arcángel San Gabriel hará sonar su cuerno.

Extraído de Flickr

Y entonces comenzará el Apocalipsis

Escena extraída de Así en el cielo como en la tierra
Pero tranquilos, ¿eh? que aún no ha llegado el día del Juicio Final, ni siquiera el del EXAMEN FINAL (por ahora sólo vamos por los Primeros Parciales). Además, esto es un blog de matemáticas y de matemáticas vamos a hablar. En concreto del objeto matemático conocido como Cuerno de Gabriel o Trompeta de Torricelli. (en honor a Evangelista Torricelli quien, al parecer, ideó este objeto allá por 1641).

martes, 24 de mayo de 2016

Una prueba alternativa de la derivada del producto

Una de las reglas de derivación que más se utilizan es la derivada de un producto de funciones. Creo que todo estudiante de bachillerato la conoce:

$[;(f\cdot g)^\prime= f^\prime\cdot g+f\cdot g^\prime;]$

Pero quizás lo que se vea menos es la demostración de esta propiedad. Y quizás la razón es que es poco intuitiva (para un alumno de bachillerato o primer curso de una carrera científico-técnica). La demostración estándar la podéis encontrar en la wikipedia, por ejemplo. Aquí os traigo otra demostración mucho más sencilla e intuitiva que he encontrado a través de Facebook (siento no tener el enlace).

miércoles, 23 de octubre de 2013

¿Son los números pares realmente la mitad de los números naturales?

Imagen extraída de aquí.

Si hacemos una lista con los primeros 100 números naturales (empezando por el 1, claro), nos damos cuenta que el 50 son pares y otros 50 son impares. Más aún, si nos quedamos con la lista de los $[;2n;]$ primeros números naturales, exactamente $[;n;]$ de ellos serán pares y los otros $[;n;]$ impares. Así que no parece muy descabellado pensar que, si tomamos el conjunto de todos los números naturales, la mitad de ellos serán pares y la otra mitad impares.

Y sin embargo, es muy sencillo establecer una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los números pares (por ejemplo, $[;n\mapsto2n;]$ ): el cardinal de ambos conjuntos es el mismo. Vamos, que hay la misma cantidad de números pares que de naturales (esta argumentación es la misma que la que se utiliza en la conocida paradoja del Hotel infinito de Hilbert). ¡Vaya! ya tenemos otra de esas cosas raras provocadas por el infinito.

Entonces, ¿en qué quedamos? ¿son los pares la mitad de los naturales o hay exactamente los mismos? Bueno, en esta entrada vamos a ver en qué sentido sí se puede decir que los números pares son la mitad de los naturales.

viernes, 30 de marzo de 2012

Cocientes, L'Hôpital y más allá.

Si has seguido un curso básico de cálculo o si tus profesores de bachillerato han dado todo lo que debían dar, o incluso si alguna vez te has encontrado con un límite complicadete, seguro que conoces la Regla de L'Hôpital, y si no la conoces o bien quieres conocer una curiosa historia sobre ella, te recomiendo leer la entrada ¿La regla de L'Hôpital o la regla de Bernoulli?.

Pero claro, esta regla sólo es válida, y esto lo suelen olvidar a menudo muchos alumnos, cuando nos encontramos con una indeterminación del cociente $\frac{0}{0}$ ó $\frac{\infty}{\infty}$ , y no existe algo similar para el resto de indeterminaciones (del producto: $0\cdot\infty$ , de la diferencia $\infty-\infty$ o de la potencia $1^\infty$ , $0^0$ e $\infty^0$ ).

jueves, 8 de diciembre de 2011

Algunas aclaraciones al Teorema de Bolzano

Hace poco, tuve una pequeña discusión (en el buen sentido de la palabra) en twitter acerca de lo que dice o debería decir el Teorema de Bolzano. ¿Qué? ¿que no te acuerdas de qué decía? pues ahora mismo te lo recuerdo.

Si tenemos una función $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ continua y de forma que $f(a)\cdot f(b)<0$ entonces existe $c\in (a,b)$ tal que $f(c)=0$ . Dicho de forma más sencilla, si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo, entonces su gráfica forzosamente debe cortar(*) al eje $OX$ .

miércoles, 30 de noviembre de 2011

Dos variables, ¡qué complejo!

Cualquier estudiante de Matemáticas o de Física... incluso en muchas ramas de la Ingeniería también, han tenido que lidiar con el cálculo diferencial de varias variables y, sobre todo, con la variable compleja.

Es muy habitual que nos cuenten la milonga de que la Variable Compleja es lo mismo que si trabajásemos con dos variables reales. Pero después, resulta que hay una asignatura (bueno, en Matemáticas hay más de una) que se centra única y exclusivamente en funciones complejas. ¿Por qué? Si en fuese como dos variables reales, estudiando éstas, ¿para qué las segundas?

Pues es que resulta que la variable compleja es diferente. En las siguientes líneas vamos a esbozar la diferencia fundamental que hay entre ellas y de la cual no fui realmente consciente hasta que no tuve que dar clases de Variable compleja para físicos.

miércoles, 12 de mayo de 2010

Definición analítica del número π

Todos conocemos el número π, de hecho, en este mismo blog hablamos un poco sobre su historia. La definición de esta constante es meramente geométrica:

razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia

En este artículo vamos a dar lo que se conoce como definición analítica del número π, es decir, a través del cálculo (integral, para más señas).

Partamos de la función $f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ . Si derivamos la función, obtenemos que $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}$ , por lo que podemos comprobar que se trata de una función creciente en el intervalo [0,1) (la derivada es positiva en dicho intervalo).¿Y por qué hacemos todo esto? pues muy sencillo, porque gracias a esta propiedad, sabemos que la función integral $F(x):=\int_0^xf(t)dt$ está perfectamente definida para cualquier valor de $x\in[0,1)$ . Más aún, como la función $f(x)$ es continua, entonces $F(x)$ es derivable y su derivada es, exactamente, $F'(x)=f(x)$ ; todo ello gracias al Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Así que partiendo de nuestra función $f(x)$ , hemos construido otra $F(x)$ . Pero como la primera función no tiene sentido para $x=1$ , la segunda, en principio, tampoco. Aunque todo en esta vida tiene solución. Al igual que antes, como $F'(x)=f(x)>0$ en [0,1), sabemos que $F(x)$ es estrictamente creciente en dicho intervalo, por lo tanto, podemos garantizar que existe $\lim_{x\to1^-}F(x)$ , pero claro, este límite puede ser un número (positivo) o $+\infty$ .

A continuación, vamos a comprobar que dicho límite es, en realidad, un número. Para ello, basta con acotar la función $F(x)$ como sigue:
$0\le{F(x)}=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t}}\frac{1}{\sqrt{1+t}}dt$ , pero como $\frac{1}{\sqrt{1+t}}\le1$ si $0\le{t}\le{x}\le1$ , entonces podemos seguir acotando de la siguiente manera:

$0\le{F(x)}\le\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t}}dt=\left(-2\sqrt{1-t}\right)_{t=0}^{t=x}=2-2\sqrt{1-x}\le2$

En resumen, hemos visto que $0\le{F(x)}\le2$ siempre que $x\in[0,1)$ . Así pues podemos definir $F(1):=\lim_{x\to1^-}F(x)$ y sabemos que $0\le{F(1)}\le2$ .

Ahora ya podemos definir analíticamente el número π de la siguiente forma $\pi:=2F(1)$ .

Vale, Tito Eliatron, todo esto está muy bien argumentado y todo lo demás, pero... ¿no habrás definido un nuevo número π?

Pues no. Vamos a comprobar que esta definición de π coincide con el cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia. Vamos a partir de una circunferencia de radio r y vamos a tomar como origen de coordenadas, el centro de la circunferencia. De esta forma, la ecuación será $x^2+y^2=r^2$ .

Vamos a calcular la longitud de un arco de circunferencia, el que va desde el punto superior, a un punto intermedio del primer cuadrante. Fíjate en el dibujo de aquí abajo, en donde el arco rojo es al que vamos a calcularle la longitud:

Para calcular la longitud $L(x)$ (con $0\le{x}<r$ ) de dicho arco, acudiremos a la fórmula que dice que la longitud de la curva $y=f(t)$ entre los puntos $t=a$ y $t=b$ es $L=\int_a^b\sqrt{1+f'(t)^2}dt$ .

Así que, si despejando $y$ en la ecuación de la circunferencia (y cambiando $x$ por $t$ ) tendremos que $y=\sqrt{r^2-t^2}$ , por lo que $y'(t)=\frac{-t}{\sqrt{r^2-t^2}}$ . Por consiguiente, la longitud del arco de circunferencia será $L(x)=\int_0^x\frac{r}{\sqrt{r^2-t^2}}dt$ . Ahora sólo tenemos que dividir en numerador y denominador entre $r$ para obtener que $L(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-(t/r)^2}}dt$ . Si hacemos el cambio de variables $u=t/r$ , entonces $dt=r\cdot{du}$ , $u=0$ cuando $t=0$ y $u=x/r$ cuando $t=x$ . Así que $L(x)=r\int_0^{x/r}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=r\cdot{F(x/r)}$ , ya que si $0\le{x}<r$ , entonces $0\le\frac{x}{r}<1$ y está bien definido el valor $F(x/r)$ .

En resumen, hemos demostrado que $L(x)=r\cdot{F(x/r)}$ para cualquier valor $0\le{x}<r$ . Como la longitud $L(x)$ y la función $F$ son continuas, podemos ahora hacer que $x\to{r}^{-}$ en la igualdad anterior, para obtener que $\frac{1}{4}L_{circ}=r\cdot{F(1)}$ (dado que $L(x)$ tiende a la longitud de 1/4 de circunferencia, que hemos denotado por $L_{circ}$ ). Y como habíamos definido $\pi:=2F(1)$ , obtenemos
$\pi=2F(1)=\frac{L_{circ}}{2r}$
Por tanto, nuestra definición analítica de π hace que coincida con el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir, la definición clásica del número π.

Bueno, que tras todo este rollo que os he soltado, hemos visto una nueva forma de definir el número π a través de integrales, pero que, en definitiva, vuelve a ser la clásica y geométrica definición de cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium.

Referencias:

El número π y las funciones trigonométricas, Freniche Ibáñez F.J., apuntes de Análisis Matemático I del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla.