¿y qué mejor forma de celebrar las fiestas (ya seas cristiano, musulmán, ateo o lo que seas, las fiestas, fiestas son) que con un bonito árbol? Claro que como esto es un blog de matemáticas, el árbol que os traigo es un poco especial.
Es que soy de ciencias
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martes, 24 de diciembre de 2013
jueves, 28 de octubre de 2010
El segmento de puntos gordos o por qué π=2
No vamos a andarnos con rodeos. Hoy os voy a demostrar que π=2. Así, tal y como suena, contradiciendo a la Biblia, a Euler y a toda la Matemática clásica y moderna. Vamos allá.
Vamos a partir de un segmento de longitud 2. Vamos a suponer que el segmento es el intervalo que va del punto $P(-1,0)$ hasta $Q=(1,0)$; para entendernos, el intervalo $[-1,1]$.
En el estado inicial, vamos a construir la semicircunferencia de centro el origen y de radio 1. La longitud de esta curva es, pues, $L_0=\pi$.
En la primera iteración, vamos a construir 2 semicircunferencias. Divido el intervalo inicial en 2 subintervalos iguales. En el intervalo $[-1,0]$ construyo la semicircunferencia (superior) de centro $-1/2)$ y radio $1/2$, mientras que en el intervalo $[0,1]$ construyo la semicircunferencia (vamos a hacerla inferior, que quedará más bonito) de centro $1/2$ y radio $1/2$. Como se trata de 2 semicircunferencias, ambas de radio $1/2$, la longitud de la curva formada por la unión de ambas circunferencias tiene longitud $L_1=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$.
En la segunda iteración, cada uno de los intervalos anteriores, los vuelvo a dividir en 2, es decir, me quedo con los intervalos $[-1,-1/2]$, $[-1/2,0]$, $[0,1/2]$ y $[1/2,1]$. Sobre el primero construyo la semicircunferencia superior, sobre el segundo la inferior, sobre el tercero la superior y sobre el cuarto la inferior. En total son $2^2=4$ semicircunferencias de radio $1/2^2=1/4$, por lo que la longitud de la unión de estas curvas será $L_2=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi$.
En la enésima iteración, tendremos $2^n$ subintervalos de igual amplitud y sobre ellos, construimos, alternativamente, las semicircunferencias superior e inferior. Así, en total habrá $n$ semicircunferencias de radio $1/2^n$ y la longitud de la curva resultante será $L_n=2^n\cdot\frac{\pi}{2^n}=\pi$.
En el límite, este proceso desemboca en el propio segmento inicial $[-1,1]$, por lo tanto $\lim_{n\to\infty}L_n=\textrm{longitud}[-1,1]=2$. Pero como cada $L_n=\pi$, se deduce que $\pi=2$.
Imponente, ¿verdad? Pues buscad algún error, que en este caso... no lo hay. Entonces... ¿qué es lo que falla? ¿Acaso nos han engañado y el verdadero valor de $\pi$ es 2?
No, ni mucho menos. Vamos a dar 2 (posibles) explicaciones a esta paradoja. La primera de ellas es la que da nombre al artículo, es fácil de entender aunque quizás no sea muy rigurosa; mientras que la segunda explicación es bastante más precisa y técnica pero difícil de entender.
Una posible forma de explicarlo es recurrir a los fractales. El problema es que en matemáticas las cosas no siempre son como parecen y, aunque parece que este proceso acaba desembocando el el propio segmento, la realidad es que el conjunto límite es esencialemente distinto. Se trataría de lo que yo mismo he llamado segmento de puntos gordos. Sería un conjunto de tipo fractal en la que la línea límite recorre el segmento $[-1,1]$ pero de forma ondulada en cada uno de los puntos de la forma $k/2^n$ (con $k,n\in\Bbb{N}$. Estos puntos, que se conocen como racionales diádicos, tienen la propiedad de ser densos en el segmento, es decir, que casi casi lo llenan pero no del todo. Por lo tanto el límite no sería el segmento, sino un conjunto mucho más perverso.
ATENCIÓN, VA A COMENZAR UNA EXPLICACIÓN MUY TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.
La segunda explicación, mucho más técnica y matemática, tiene que ver con la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Si llamamos $f_n(x)$ a la función que define la línea de semicircunferencias en la etapa $n$, es fácil comprobar que $f_n\to0$ incluso uniformemente, es decir, que como funciones, sí tienden al segmento. El problema es que la convergencia uniforme de funciones, no implica la convergencia uniforme de las derivadas. De hecho, en este caso, en cada etapa estamos introduciendo muchos puntos donde la función no es derivable: allí donde se unen 2 semicircunferencias, la tangente es completamente vertical, por lo que no puede ser derivable. ¿Y qué tiene que ver esto con la longitud? Pues resulta que para calcular la longitud de una curva $y=f(x)$ en un intervalo $[a,b]$ tan sólo hay que calcular la siguiente integral: $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx$. Es decir, para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas. Y lo que no se tiene es un resultado que asegure que si $f_n\to f$ uniformemente, entonces $f'_n\to f'$ uniformemente, por lo tanto tampoco podemos esperar que $\textrm{longitud}(f_n)\to\textrm{longitud}(f)$, por mucho que haya convergencias uniformes de las $f_n$.
FIN DE LA EXPLICACIÓN TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.
En resumen, que de una forma o de otras, en matemáticas, las cosas no son siempre como parecen ni parecen lo que en realidad son.
Tito Eliatron Dixit
PD: La falacia/paradoja original, sin solucionar, la encontré en el blog Disgresiones 3.0 gracias a un mensaje privado de @vientoblanko. Yo he modificado un poco la construcción original... más que nada para hacerla un poco más visual y bonita.
Vamos a partir de un segmento de longitud 2. Vamos a suponer que el segmento es el intervalo que va del punto $P(-1,0)$ hasta $Q=(1,0)$; para entendernos, el intervalo $[-1,1]$.
En el estado inicial, vamos a construir la semicircunferencia de centro el origen y de radio 1. La longitud de esta curva es, pues, $L_0=\pi$.
En la primera iteración, vamos a construir 2 semicircunferencias. Divido el intervalo inicial en 2 subintervalos iguales. En el intervalo $[-1,0]$ construyo la semicircunferencia (superior) de centro $-1/2)$ y radio $1/2$, mientras que en el intervalo $[0,1]$ construyo la semicircunferencia (vamos a hacerla inferior, que quedará más bonito) de centro $1/2$ y radio $1/2$. Como se trata de 2 semicircunferencias, ambas de radio $1/2$, la longitud de la curva formada por la unión de ambas circunferencias tiene longitud $L_1=2\cdot\frac{\pi}{2}=\pi$.
En la segunda iteración, cada uno de los intervalos anteriores, los vuelvo a dividir en 2, es decir, me quedo con los intervalos $[-1,-1/2]$, $[-1/2,0]$, $[0,1/2]$ y $[1/2,1]$. Sobre el primero construyo la semicircunferencia superior, sobre el segundo la inferior, sobre el tercero la superior y sobre el cuarto la inferior. En total son $2^2=4$ semicircunferencias de radio $1/2^2=1/4$, por lo que la longitud de la unión de estas curvas será $L_2=4\cdot\frac{\pi}{4}=\pi$.
En la enésima iteración, tendremos $2^n$ subintervalos de igual amplitud y sobre ellos, construimos, alternativamente, las semicircunferencias superior e inferior. Así, en total habrá $n$ semicircunferencias de radio $1/2^n$ y la longitud de la curva resultante será $L_n=2^n\cdot\frac{\pi}{2^n}=\pi$.
En el límite, este proceso desemboca en el propio segmento inicial $[-1,1]$, por lo tanto $\lim_{n\to\infty}L_n=\textrm{longitud}[-1,1]=2$. Pero como cada $L_n=\pi$, se deduce que $\pi=2$.
Imponente, ¿verdad? Pues buscad algún error, que en este caso... no lo hay. Entonces... ¿qué es lo que falla? ¿Acaso nos han engañado y el verdadero valor de $\pi$ es 2?
No, ni mucho menos. Vamos a dar 2 (posibles) explicaciones a esta paradoja. La primera de ellas es la que da nombre al artículo, es fácil de entender aunque quizás no sea muy rigurosa; mientras que la segunda explicación es bastante más precisa y técnica pero difícil de entender.
Una posible forma de explicarlo es recurrir a los fractales. El problema es que en matemáticas las cosas no siempre son como parecen y, aunque parece que este proceso acaba desembocando el el propio segmento, la realidad es que el conjunto límite es esencialemente distinto. Se trataría de lo que yo mismo he llamado segmento de puntos gordos. Sería un conjunto de tipo fractal en la que la línea límite recorre el segmento $[-1,1]$ pero de forma ondulada en cada uno de los puntos de la forma $k/2^n$ (con $k,n\in\Bbb{N}$. Estos puntos, que se conocen como racionales diádicos, tienen la propiedad de ser densos en el segmento, es decir, que casi casi lo llenan pero no del todo. Por lo tanto el límite no sería el segmento, sino un conjunto mucho más perverso.
ATENCIÓN, VA A COMENZAR UNA EXPLICACIÓN MUY TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.
La segunda explicación, mucho más técnica y matemática, tiene que ver con la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Si llamamos $f_n(x)$ a la función que define la línea de semicircunferencias en la etapa $n$, es fácil comprobar que $f_n\to0$ incluso uniformemente, es decir, que como funciones, sí tienden al segmento. El problema es que la convergencia uniforme de funciones, no implica la convergencia uniforme de las derivadas. De hecho, en este caso, en cada etapa estamos introduciendo muchos puntos donde la función no es derivable: allí donde se unen 2 semicircunferencias, la tangente es completamente vertical, por lo que no puede ser derivable. ¿Y qué tiene que ver esto con la longitud? Pues resulta que para calcular la longitud de una curva $y=f(x)$ en un intervalo $[a,b]$ tan sólo hay que calcular la siguiente integral: $\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx$. Es decir, para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas. Y lo que no se tiene es un resultado que asegure que si $f_n\to f$ uniformemente, entonces $f'_n\to f'$ uniformemente, por lo tanto tampoco podemos esperar que $\textrm{longitud}(f_n)\to\textrm{longitud}(f)$, por mucho que haya convergencias uniformes de las $f_n$.
FIN DE LA EXPLICACIÓN TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.
En resumen, que de una forma o de otras, en matemáticas, las cosas no son siempre como parecen ni parecen lo que en realidad son.
Tito Eliatron Dixit
PD: La falacia/paradoja original, sin solucionar, la encontré en el blog Disgresiones 3.0 gracias a un mensaje privado de @vientoblanko. Yo he modificado un poco la construcción original... más que nada para hacerla un poco más visual y bonita.
lunes, 18 de octubre de 2010
Teoría y realidad
La geometria fractal no distingue, a propósito, entre conjuntos matemáticos (la teoría) y objetos naturales (la realidad). Incomparablemente más afín al mundo físico que la geometría euclídea.
Está claro que la cita de hoy debía ser un homenaje póstumo a Benoït Mandelbrot. Y ésta en particular me ha parecido muy adecuada, ya que describe muy bien la idiosincrasia de la geometría fractal: donde la teoría encuentra a la realidad. Muy en la línea de otra cita que ya publiqué hace tiempo y que titulé Peligro, fractales a la vista.
Tito Eliatron Dixit
PD: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.
sábado, 16 de octubre de 2010
Benoït Mandelbrot 20/11/1924-14/10/2010
Recién encendía el ordenador he comnezado a leer lamentables rumores sobre la muerte, No sé si puede llamarse confirmación oficial, pero, mientras escribía estas líneas, he encontrado el obituario que de él han hecho en el New York Times, según el cual (y citando a su esposa Alliete como fuente), ha muerto a causa de un cáncer pancreático.
Como homenaje a uno de los grandes matemáticos (y científicos, en general) del siglo XX, os dejo con un par de vídeos de él. El primero de ellos es la última charla que pronunció en el TED con título Fractals and the art of roughness (Fractales y el arte de la rugosidad). La charla es en inglés, pero están disponibles los subtítulos en español.
El segundo vídeo es una entrevista con Eduard Punset en Redes emitida en 22 de febrero de 2007 (está disponible la transcripción de la entrevista en formato PDF).
Y no podría concluir este pequeño homenaje, sin mostraros el conjunto que lo hizo famoso.
D.E.P.
Tito Eliatron Dixit
miércoles, 7 de abril de 2010
Zoom Mandelbrot
Gracias al twit de un follower (su timeline no es público), he llegado a la web Neave Fractal donde, entre otras muchas cosas, tienen una aplicación que permite navegar a través del Conjunto de Mandelbrot haciendo zoom sobre cualquiera de sus partes. Evidentemente, todo (y más en el mundo de la programación) tiene sus límites, por lo que el zoom no puede ser infinito. Pero la verdad es que tiene una gran potencia y nos permite adentrarnos en las profundidades de este curioso ente matemático. Incluso puedes bajarte el código fuente y una versión flash.Bueno, os dejo aquí abajo, una secuencia de zooms, extraídas de la página que os he referenciado: Neave Fractal.
Tito Eliatron Dixit.
lunes, 23 de febrero de 2009
Peligro: Fractales a la vista!
La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas. Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga a perder definitivamente la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas, plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas. Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos objetos que hasta ahora le eran familiares.
Michael F. Barnsley, en Fractals Everywhere
Párrafo a modo de advertencia antes de comenzar el libro.
Esta cita me trae muchos recuerdos. Cuando aún estaba en el instituto, tuve que hacer un trabajo sobre fractales y monstruos matemáticos. Aún no existía internet, así que uno hacía los trabajos a mano eligiendo de aquí y de allá en los libros que caían. Un día, cuando casi estaba a punto de acabar, cayó en mis manos un ejemplar de la revista Investigación y Ciencia en la que estaba, como entradilla a un artículo sobre fractales, esta cita. Por supuesto, mi trabajo comenzó con esta frase y fue todo un éxito.
La cita cayó en mi olvido y el trabajo no lo volví a encontrar, pero hoy la he recuperado gracias a un Curso de Geometría Fractal (PDF, 991Kb) que encontré bicheando por ahí. Así que he decidido compartirla con todos vosotros.
Tito Eliatron Dixit.
viernes, 12 de diciembre de 2008
Armonía fractal en Doñana y las marismas
Lo que véis en la foto bien podría ser un fractal, pero no lo es. Se trata la Isla de Enmedio, en el parque de Doñana, Huelva. La fotografía es obra del fotógrafo onubense Héctor Garrido y forma parte de la exposición itinerante Armonia fractal de Doñana y las marismas, iniciativa del CSIC a través de la Estación Biológica de Doñana.Se trata de una magnífica colección de fotografías de Doñana y las marismas de Huelva (todas ellas obras de Héctor Garrido) cuyas formas naturales acercan al visitante al mundo de la geometría fractal. La exposición, de carácter divulgativo, está actualmente en Sevilla en el Pabellón de Perú y permanecerá allí hasta el próximo 10 de Febrero de 2009.
Es una oportunidad de poder comprobar cómo el mundo de las matemáticas y la naturaleza pueden llegar a compenetrarse de tal forma que, a veces, no es posible distinguir el objeto matemático de la realidad. En este caso, las Matemáticas sí que tienen muchas aplicaciones. Y como colofón, os dejo un vídeo con todas las fotografías de la exposición.
Tito Eliatron Dixit.
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