viernes, 30 de marzo de 2012

Cocientes, L'Hôpital y más allá.

Si has seguido un curso básico de cálculo o si tus profesores de bachillerato han dado todo lo que debían dar, o incluso si alguna vez te has encontrado con un límite complicadete, seguro que conoces la Regla de L'Hôpital, y si no la conoces o bien quieres conocer una curiosa historia sobre ella, te recomiendo leer la entrada ¿La regla de L'Hôpital o la regla de Bernoulli?.

Pero claro, esta regla sólo es válida, y esto lo suelen olvidar a menudo muchos alumnos, cuando nos encontramos con una indeterminación del cociente ó , y no existe algo similar para el resto de indeterminaciones (del producto: , de la diferencia o de la potencia , e ).
 La razón de esta ausencia es que cualquiera de las indeterminaciones anteriores puede convertirse, más o menos fácilmente, en una indeterminación del cociente.

El caso más sencillo es el del producto. Si , entonces basta con enviar una de las funciones al denominadorpara obtener una indeterminación del cociento. En efecto, si mando la primera, resulta que y como se tiene que , por lo que el cociente anterior es una indeterminación del tipo . De forma análoga, si se manda la segunda función, obtenemos que y la función del cociente ya que , por lo que este segundo cociente es de la forma . En cualquiera de los dos casos, podemos aplicar la Regla de L'Hôpital. Por ejemplo, y en este segundo límite, podemos aplicar L'Hôpital y obtener que .

En el caso de las indeterminaciones de las potencias,basta con tomar logaritmos y utilizar que éste es una función continua, por lo que se intercambia con el símbolo límite. Por ejemplo, si es una de las 3 indeterminaciones, en lugar de calcular el límite lo que hacemos es calcular . Y hemos transformado una potencia en un producto. Lo curioso del caso es que si es una indeterminación de potencia, es una indeterminación del producto (y viceversa): se convierte en se convierte en e se convierte en . Por cierto, si crees que es una indeterminación, ten en cuenta que al tomar logaritmos se convierte en , que no es una indeterminación.

En cualquiera de los 3 casos, nos hemos reducido al caso de una indeterminación del producto, y ésta la sabemos convertir en un cociente para aplicar L'Hôpital. Por cierto, suele ser recomendable no pasar al cociente el logaritmo.

Para concluir, vamos a tratar la indeterminación de la diferencia, es decir un límite del tipo donde . Esta es ya algo más complicada y hay que jugar un poco con la expresión:
Y ahora, ¿qué le ocurre a esta última expresión? Pues que es una indeterminación del tipo . En efecto, como , se tiene que , luego el numerador tiende a 0. Además, es claro que por lo que el denominador también tiende a 0.

En teoría, todo esto que os he contado está muy bien, pero resulta que en la práctica, este método puede resultar muy complicado, por lo que se suelen utilizar otros. Uno de los más usados, en especial cuando hay radicales de por medio, es multiplicar por el (mal llamado) conjugado, es decir, multiplicar y dividir por la expresión . De esta forma, creamos un denominador que tiende a y en el numerador nos encontramos con una expresión notable: suma por diferencia, que es igual a la diferencia de cuadrados. De esta forma, si hay raíces cuadradas implicadas, desaparecen y quizás (sólo quizás), pueda conseguirse un numerador sencillo que tienda bien a un número (con lo que desaparecería la indeterminación), bien a (con lo que tendríamos una indeterminación del tipo y podríamos aplicar L'Hôpital).

Bueno, si has llegado hasta aquí, espero no haberte aburrido demasiado y que hayas aprendido (o recordado) algunos truquitos para calcular límites.

Tito Eliatron Dixit

4 comentarios:

  1. Acabo de explicarles esto a mis alumnos de 2º de Bachillerato.Lo que más le cuesta no es entender ni aplicar L´Hopital,que lo hacen fácilmente, sino entender el concepto de indeterminación.

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  2. Interesante... a ver si me curro una explicación decente y así la puedes aplicar en tus clases.

    Muchas gracias por tu comentario. Sois vosotros los que aportáis ideas interesantes.

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    Respuestas
    1. Al contrario, gracias a ti, por mantener viva nuestra curiosidad por la ciencia, y además hacerlo con calidad.
      Saludos

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  3. Que interesante soy docente en matemática y no en todos los casos se aplica lhopital

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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