Un sorteo para gobernarlos a todos

Desde ayer, uno de marzo, se ha abierto en Andalucía el procedimiento de escolarización para el curso 2012/13. Y esto trae de cabeza a muchos padres, yo entre ellos. Además de baremar en función de diversas condiciones, la normativa regula qué ocurre en el caso en que haya más niños empatados a puntuación que plazas que ofertar en un determinado centro educativo. ¿Cómo se resuelve esto? Por sorteo, pero claro, lo de sacar una letra (o varias) es cosa de pardillos y la Junta de Andalucía establece en la orden publicada en el BOJA nº 40 de 25 de febrero de 2011, Artículo 34, un procedimiento de sorteo muy peculiar:

1. La Dirección General competente en materia de escolarización del alumnado convocará anualmente un sorteo público para resolver las posibles situaciones de empate que subsistan tras la aplicación de los criterios de prioridad regulados en el artículo 33, que se desarrollará conforme a lo siguiente:
a) Se extraerán aleatoriamente cuatro bolas de un bombo que contenga diez, numeradas del 0 al 9. Antes de proceder a cada extracción se volverá a introducir, en su caso, la bola extraída con anterioridad.
b) El resultado del sorteo se obtendrá dividiendo entre diez mil el número que se forma al colocar de izquierda a derecha, y en el mismo orden de extracción, las cifras a las que se refiere el párrafo anterior.
2. Cada vez que sea necesario aplicar el resultado del sorteo se elaborará una relación ordenada alfabéticamente con los alumnos o alumnas que están en situación de empate y se le asignará a cada uno de ellos correlativamente un número natural, comenzando por el 1 y terminando por el último de las solicitudes empatadas.
3. Se determinará el número natural que resulta al ignorar las cifras decimales de aquél que se obtiene sumando uno al producto del resultado del sorteo por el número total de solicitudes empatadas.
4. Las vacantes se otorgarán comenzando por la solicitud de la relación a la que se refiere el apartado 2, correspondiente con el número que se determine conforme a lo dispuesto en el apartado 3 y continuando, hasta agotar las plazas vacantes, por aquellas solicitudes a las que corresponden los siguientes números según el orden creciente de la serie numérica.
5. A los efectos de lo establecido en el apartado anterior se considerará que el número 1 es el siguiente al número total de solicitudes empatadas.

¿Os habéis enterado de algo? Probablemente, la mayoría de los padres de niños a escolarizar no. Pero tranquilos, que aquí está Tito Eliatron para aclarar las cosas.

En primer lugar, vamos a estudiar el verdadero problema. Cada colegio en particular hace un listado con todas las solicitudes y va dando plazas en función del baremo. Cuando hay más niños empatados que plazas queden, hay que sortear qué niño entra y qué niño se queda fuera. El problema es que este sorteo habría que hacerlo en cada colegio en concreto en que se presente esta situación. Lo que daría lugar a muchísimos sorteos particulares... y facilitaría el tongo.

Para evitar esto, desde la Junta se plantearon (quiero pensar que fue así) el siguiente problema.

Hemos de realizar un único sorteo y que éste se extrapole a todos los casos de empates.

Como ya hemos mencionado, quizás lo más lógico sería hacer un sorteo con las letras de los apellidos (sacando 3, por ejemplo). Otra opción sencilla sería enumerar TODAS las solicitudes presentadas (por orden alfabético, por ejemplo), extraer un número y una dirección (ascendente o descendente); ahora en cada caso de empate se toman sólo los números (salteados) de los niños empatados y a ordenar según el criterio.

Pero no, la Junta de Andalucía ha rizado el rizo y, básicamente, ha hecho lo siguiente. Hacemos un único sorteo, suponiendo que hay empatados 10000 niños y lo extrapolamos a un sorteo con un número arbitrario de niños. ¿Y esto cómo se hace? Vamos a verlo.

En primer lugar, extraemos un número entre el y el (1 número de entre 10000 posibles -entiendo que 10000 es un número suficientemente grande para pensar que nunca habrá un empate de más de 10000 niños- ). Supongamos ahora que tenemos alumnos empatados, por lo tanto hemos de conseguir un número entre y . Basta hacer una simple regla de 3: si de entre 10000 números ha salido el número , de entre números obtendremos , de donde . Ahora bien, como es muy probable que salga con decimales, lo que hacemos es tomar como resultado del sorteo la parte entera de , por lo que nuestro número será . Este número, repito, estará entre y   luego para llevarlo de a basta con sumar 1 a .

Y ahora la pregunta del millón ¿es este sorteo justo? Me explico, ¿cualquier número entre y tiene la misma probabilidad de salir en el sorteo? Vamos a ve que NO lo es, aunque no lo es de una forma muy sutil.

Vamos a simplificar las cosas y en vez de tener un sorteo original de 10000, vamos a suponer que sacamos una bola del 0 al 9 (sorteo de 10) y que queremos extrapolarlo a un sorteo de . En este caso, el resultado sería donde es un número entre 0 y 9. Básicamente, multiplicamos 3 por un decimal de la forma con .

Vayamos caso a caso:
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .
Si , entonces . El resultado del sorteo es .

Así pues, la probabilidad de que en el sorteo salga 0 es , mientras que la probabilidad de que salga 1 ó 2 será . Y esto va a ocurrir siempre que no sea divisor de 10 (en el caso simplificado) ó de 10000 en el caso más complicado de la Junta de Andalucía. Eso sí, las diferencias entre las probabilidades serán del orden de que quieras que no es pequeña.

Ah! y por cierto, más les valdría a los señores que hacen las divisiones de las zonas de influencia de los colegios, estudiar un poco sobre Regiones de Voronoi, ya que nos ponemos.

Tito Eliatron Dixit