La gran mentira de las funciones continuas

Qué es una función continua? Parece una pregunta, para los iniciados en las Matemáticas, muy fácil de responder. Incluso si alguien no sabe mucho del tema, puede tener una intuición de lo que se trata.

Si nos vamos a la Wikipedia, en el artículo sobre Continuidad Matemática podemos leer en su primer párrafo lo siguiente:

Intuitivamente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.⁽¹⁾

¿Es esto realmente cierto? Vamos a adentrarnos un poco más para poder responder a esta cuestión.

Vamos a fijar conceptos y vamos a quedarnos con funciones definidas en intervalos (que es lo más común). Así que vamos a trabajar con el conjunto de funciones continuas en el intervalo [0,1] ¿para qué irnos a un intervalo más raro?.

Informalmente, si elegimos cualquier punto, por ejemplo 0'5 de [0,1], decimos que una función f(x) es continua en 0'5 si cuando la variable independiente x se acerca a 0'5, la función se acerca al valor esperado: f(0'5). Sencillo, ¿verdad? Pues ahora vamos a escribirlo en forma matemática con la notación ε- δ.

Una función f(x) (definida en [0,1]) es continua en un punto a de [0,1] si: Con esta definición, podemos encontrar funciones raras, como, por ejemplo, la función característica de los racionales: que resulta ser continua en ningún punto (elijamos el punto que elijamos, la función no es continua en ese punto).

Pero vamos a dar un paso más. Vamos a hablar de funciones derivables. De nuevo, intuitivamente, una función es derivable si es suave, es decir, no tiene picos. Pero matemáticamente, una función f(x) es derivable en, por ejemplo, un punto cualquiera a del intervalo (0,1) si¿Y qué relación hay entre estos conceptos? Muy fácil. Si una función es derivable en un punto, también es continua; pero esto no ocurre al revés.
¿Pero dónde está la gran mentira?
Tranquilidad... que todo llega. Gracias al concepto de derivada, podemos estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función, es decir, si la gráfica de la función sube o baja. Si la derivada de una función es positiva en un intervalo, entonces es creciente, y si es negativa, es decreciente. Ojo que tiene que ser en un intervalo, que en un único punto no vale.
Pues ahora viene lo bueno. En 1931 un tal Stephane Banach (a lo mejor os suena de algo) probó un resultado que decía que:

El conjunto G de funciones continuas en [0,1] y no derivables en cualquier punto de (0,1), es residual.

Residual? eso qué es lo que es? Pues según dice la wikipedia, un conjunto es residual si su complementario es una unión numerable de conjuntos con interior vacío, es decir, un conjunto muy pequeño desde el punto de vista topológico. Si no os creéis que sean tantas estas funciones tan raras, deciros que en 1967 un matemático ruso, Vladimir Gurariy, demostró que existe un subespacio vectorial de dimensión infinita tal que cualquier función (no idénticamente nula) del subespacio está en G.
Total, que, coloquialmente, hay muchísimas (pero deverdad que muchas muchas) funciones en G y muy pocas (de verdad que poquísimas) fuera. Pero es que entre estas úultimas funciones, están las que tienen derivada en tondos los puntos.
Y ahora pensemos un poco. Cuando dibujamos o nos dibujan una función continua, por mucho que queramos, la dibujamos un ratito para arriba y un ratito para abajo, me explico, en algunos trozos será creciente (luego con derivada positiva) y en otros decreciente (luego con derivada negativa). Es decir, si queremos dibujar una función continua, seguro que no está en G.
Luego cuando en los libros de matemáticas nos dibujan una función continua... no es representativa de la mayoría de las funciones continuas. Más aún... la más común de las funciones continuas... no se puede dinujar.
En fin, que el Mundo de las Matemáticas es tan raro, que lo que parece normal, es lo raro y lo que parece raro, es lo normal.

Tito Eliatron Dixit.

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⁽¹⁾En el artíuclo original en Inglés indican que esta idea es imprecisa e inexacta.