Las dos torres

No, no voy a hablar hoy de El Señor de los Anillos (aunque me encantaría). Tampoco voy a hablar de ajedrez (aunque me gustaría poder hablar, ya que conozco lo básico).

Voy a hablar de sucesiones (que de eso sé un poco). En particular de una sucesión especial que, en inglés, se llama sucesión power tower. Esta sucesión se define por recurrecia de la siguiente forma:

El término general de esta sucesión nos dirá el porqué del nombre:
donde la raíz aparece n-veces en el término enésimo.

Tiene límite esta sucesión? Vamos a probar que sí. Como √2>1, es fácil darse cuenta que la sucesión es monótona creciente. Además, por inducción, se prueba que a_n<2 para cualquier n≥1.

En efecto, el caso n=1 es evidente, poruqe √2<2.
Supongamos que a_n<2;. Entonces, a_n+1=(√2)^a_n<(√2)²=2.

Por tanto tenemos que (a_n)_n es una sucesión creciente y acotada superiormente, luego tiene límite. Llamémosle L. ¿Quién es ese límite?

Para ello, basta tomar límite en la definición por recurrecia de la solución y conseguimos la ecuación: L=(√2)^L. Esta ecuación tiene a L=2 y L=4 como soluciones fáciles, pero además, es facil comprobar que son las unicas soluciones. Por tanto como a_n<2, debe ser L≤2. Así que la ´´unica opción es que L=2.

Por tanto esta sucesión es convergente a 2.

Pero ¿y si cambiamos de punto inicial? Una opción es poner como término inicial a₁=y^1/y con y>0. Entonces, podéis comprobar que sigue teniendo límite esta sucesión y su límite es.... y.

Pero todavía hay más. Si ponemos como primer término a₁=a, entonces la sucesión es convergente si y sólo si 0.065989≅e^-e≤a≤e^1/e≅1.444667, en cuyo caso el límite es la menor solución de la ecuación a^x=x (conf. PlanetMath).

Tito Eliatron Dixit.