miércoles, 28 de enero de 2009

Ofertas: porcentajes y aritmética modular

¿Para qué voy a a prender matemáticas? si, total, no sirven para nada.

¿Cuántas veces habré oído esta frase a todo tipo de personas? Cuánta ignorancia! Si incluso este analfabetismo matemático tiene precio: 44.000 Libras por persona y año (en Reino Unido). Pero el motivo de esta entrada no es criticar, sino demostrar que las Matemáticas están a la orden del día, y más en época de crisis y rebajas.

Todo comenzó cuando una compañera, profesora de Matemáticas de Secundaria, me comentó el problema que les iba plantear a sus alumnos con respecto a los porcentajes:
En una tienda (llamémosla A) hay una oferta del tipo 3x2, mientras que en la tienda B hay un 30% de descuento en todos los artículos. ¿Dónde es mejor comprar?

Ajá! conque las Matemáticas no servían para nada, ¿eh?, aquí te quiero yo ver ahora. Parece un simple problema de cálculo de porcentajes y, de hecho, así estaba planteado. Lo que mi compañera no recordaba es que mi mente es demasiado truculenta para estas cuestiones y mi respuesta fue, evidentemente, DEPENDE.

¿Cómo que depende? diría alguien que no lee habitualmente este blog. Pues sí, DEPENDE.

En un principio, uno puede pensar que en la Tienda A, al haber una oferta 3x2, pagas 2 y te llevas 3, es decir, hacen de facto un descuento del 33'33%, mientras que la Tienda B sólo hace un descuento del 30%. Por lo tanto habría que ir a comprar a la Tienda A.

Pero mi razonamiento, y supongo que el tuyo también querido lector, es el siguiente. Todo lo anterior es perfectamente válido si uno quiere adquirir exactamente 3 (o un múltiplo de 3) artículos iguales, pues, en tal caso, sólo he de pagar 2 y mi descuento es, efectivamente, del 33'33%. Pero ¿qué ocurre si quiero adquirir exactamente 4 artículos? Esta situación hay que pensarla un poquito.

En la Tienda A, la del 3x2, harían la transacción de la siguiente manera: 3 artículos se beneficiarían de la oferta 3x2, mientras que el 4º habría que pagarlo individualmente. Por lo tanto, pagaré 3 artículos y me llevaré 4, por lo que el descuento efectivo será de un 25%. Mientras que en la Tienda B, cogerían los 4 artículos y harían un descuento del 30% sobre el total de ellos (o sobre cada uno de ellos), por lo que me sería más rentable comprar en la Tienda B. Por cierto, el mismo razonamiento es válido si quiero comprar un número de artículos que sea múltiplo de 3, +1, es decir, si el número de artículos es 1 (módulo 3).

¿Y si sólo quiero comprar 2 artículos? Bueno, en este caso dependerá de las necesidades de cada uno. Me explico. En la Tienda A es técnicamente imposible comprar 2 artículos, pues al pagar 2, automáticamente te regalan el 3º (vamos a suponer que las tiendas son totalmente lógicas y consecuentes), en definitiva, consigues un descuento del 33'33%, pero también te llevas un artículo de más (¿lo necesitarás algún día?). Sin embargo, en la Tienda B al comprar 2 artículos te siguen haciendo un descuento del 30% y no te obligan a llevarte un artículo de más. Así que, en este caso (caso en que quieras adquirir un número de artículos que sea igual a 2 módulo 3) dependerá de la naturaleza de lo que necesites comprar, porque... si es leche, por ejemplo, tarde o temprano necesitarías la 3ª botella, mientras que si son libros (a lo mejor quieres comprar 1 libro para ti y el mismo libro para un regalo) ¿para qué podrías querer 3 libros idénticos?.

En fin, que lo que en un principio era un simple problema sobre porcentajes, se acabó convirtiendo en una curiosa forma de introducir la aritmética modular a chicos de secundaria y de hacerles ver que las Matemáticas sirven para ayudar a la economía doméstica en tiempos de crisis

7 comentarios:

  1. Muy buena entrada. Útil y fácilmente explicada. Yo también había pensado en ese caso muchas veces, los 2x1, 3x2, etc., suelen atraer más que los descuentos en porcentaje, porque parece que te llevas más, pero como tú dices: ¿realmente necesitaremos 3 libros? Hombre, a mí que me gusta leer me vendría muy bien :D.
    Estaría bien que un día una tienda de electrodomésticos pusiera una oferta de, por ejemplo, 3x2 en frigoríficos. Seguro que la gente, no mucha claro está, lo compra jeje Aunque me temo que tendrán 2 frigoríficos guardaditos en su caja.

    Un saludo y no pongas exámenes difíciles a tus alumnos ;)

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  2. Una cuestion no me ha cuadrado: Si me llevo 3, obtengo un 33.33% de descuento en A, lo que supera el 30% de B, hasta aqui deacuerdo en todo, pero...

    Si necesitamos 4 articulos, 3+1, el descuento cae al 25% y, aqui es donde voy, Tito afirma que para todo n = 1 mod 3, es decir 9+1=10 por ejemplo, el 25% se mantiene y es inferior al 30% de la otra tienda.

    Pues no, si compro 10, pago 7, es decir, un 30% menos... ya se han igualado las dos tiendas, y si pretendo comprar 12+1=13, pago 9, es decir, un 30.76% de descuento, superior al 30% de B.

    Vaya, que la aritnmetica modular no encaja, es algo mas complicado, la tienda B solo gana para 1, 2, 4 o 5 unidades, y creo que para ninguna cantidad mas.

    ¡Tito, ojito que te van a timar por las tiendas!

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  3. Interesante... Sergio, no me había dado cuenta...

    Ahora que lo dices he hechado unas cuentas y, em general, el precio que se paga es (2k+1)*100/(3k+1) con k natural.

    Por tanto, si hacemos que k->Infinito, resulta que el descuento será del 33'33%

    La aritmética Modular, como bien dices, no cuadra del todo.

    Muchas Gracias!!!!

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  4. Respecto a la serie que pones, de nuevo objeto (con perdón):

    Si compras un múltiplo de 3 unidades, la serie es siempre 33.33%, si compras un múltiplo de 3+1, la serie es la que dices, y si compras un multiplo de 3+2, la serie cambia ligeramente:

    0 mod 3 -> (2k+0)*100/(3k+0) = 33.33% siempre
    1 mod 3 -> (2k+1)*100/(3k+1)
    2 mod 3 -> (2k+2)*100/(3k+2)

    Son tres series diferentes, pero las 3 convergen a 33.33%

    Tito, para que no sea todo pegas, propongo un acertijo/demostración, es muy fácil pero tiene una "feliz idea" dentro, seguramente lo conocéis ya (y es buen problema para primero de analisis si quieres bien quien piensa y quien no):

    Demostrar que en el ecuador siempre se pueden encontrar dos puntos diametralmente opuestos donde hace exactamente la misma temperatura.

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  5. La del comentario era sólo para 1(mod3)

    Y no, no conocía este acertijo... lo p'ensaré un rato.

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  6. Para el acertijo de Sergio Hernandez:

    Cogemos uno de esos diámetros y miramos la diferencia de temperatura de los puntos diametralmente opuestos. Llamamos a uno de estos puntos A y a otro B. Si la diferencia (A-B) es cero ya tenemos los puntos que buscábamos. Si no lo es hacemos girar el diámetro desde el centro en el sentido de las agujas del reloj y construimos una función en la que la variable independiente sea el valor del ángulo de giro. La variable dependiente es la diferencia de temperaturas entre los nuevos "As" y los nuevos "Bs" (siempre A - B). Podemos darnos cuenta de que esto sí es una función porque a cada x le corresponde una sola y.

    Bien, ahora tomamos el intervalo [0,180]. Es fácil darse cuenta de que la función es continua en el intervalo (no lo demuestro para no hacer esto demasiado engorroso) y que la imagen de 0 es opuesta a la imagen de 180. Por lo tanto, tenemos los requisitos necesarios para poder decir (gracias a Bolzano) que la gráfica corta al eje OX en algún punto. Esto quiere decir que en algún punto la diferencia de temperaturas es 0 y, por lo tanto, para ese A y ese B en concreto, la temperatura es la misma.

    No sé si me expliqué.

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  7. Ese problema me cayó a mi en un examen de análisis de 1º! lo hice bien :)

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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