miércoles, 25 de febrero de 2009

La paradoja de las cartas marcadas


Hoy vuelvo a hablaros sobre paradojas, en este caso, relacionadas con la estadística. Se trata de una paradoja de la que habla Martin Gardner en su famosísimo libro Ajá! Paradojas, pero él la llama la paradoja del corazón solitario.

Vamos a suponer que tenemos un par de mazos de cartas de poker. Sabéd que en estos mazos hay cartas rojas (corazones y diamantes) y negras (picas y tréboles). Pero vamos a marcar el dorso de algunas de las cartas con una X grande (no nos vamos a andar con tonterías).

En el primer mazo vamos a poner 5 cartas rojas marcadas, 3 cartas rojas no marcadas, 6 cartas negras marcadas y 4 cartas negras no marcadas. Para entendernos, vamos a simbolizar con una letra mayúscula (R ó N) a las cartas marcadas y por minúscula (r ó n) a las no marcadas. En este caso tendremos la configuración siguiente:
RRRRRrrrNNNNNNnnnn

Pongamos sobre la mesa todas las cartas boca abajo, para que se vean todas pero por el reverso tenebroso, y os hago la siguiente pregunta
¿Entre qué tipo de cartas he de elegir (marcadas o no marcadas) para garantizarme la mayor probabilidad de obtener una carta roja?

La más simple de todas las técnicas estadísticas (la cuenta de la vieja o casos favorables entre casos posibles) nos dice lo siguiente:

  • Probabilidad de obtener roja, si elijo una carta marcada = 5/11 = 35/77

  • Probabilidad de obtener roja, si elijo una carta no marcada = 3/7 = 33/77

Por tanto la respuesta a esta pregunta es que he de elegir una carta marcada.

Pero preparemos ahora un segundo mazo. En este caso vamos a poner 6 cartas rojas marcadas, 9 cartas rojas no marcadas, 3 cartas negras marcadas y 5 cartas negras no marcadas. Con nuestra notación, el mazo quedaría así:
RRRRRRrrrrrrrrrNNNnnnnn

Si volvemos a hacernos la misma pregunta, en este caso el análisis de casos favorables y posibles nos dice que

  • Probabilidad de obtener roja, si elijo una carta marcada = 6/9 = 84/126

  • Probabilidad de obtener roja, si elijo una carta no marcada = 9/14 = 81/126

Por lo que la respuesta vuelve a ser la misma: he de elegir entre las cartas marcadas para garantizarme la mayor probabilidad de elegir una carta roja.

Todo esto lo tenemos perfectamente preparado, pero cuando volvemos tras ausentarnos un momentito, nos damos cuenta que nuestro amigo torpe ha mezclado los 2 mazos de cartas, es decir, ahora nos encontramos con un único mazo que, según nuestra notación, tiene la siguiente configuración:
RRRRRRRRRRRrrrrrrrrrrrrNNNNNNNNNnnnnnnnnn

Ahora... volvemos a hacernos la misma pregunta,
¿Entre qué tipo de cartas he de elegir (marcadas o no marcadas) para garantizarme la mayor probabilidad de obtener una carta roja?

La lógica nos dice que, si por separado, en cada mazo era mejor estrategia escoger una carta marcada, al unirse los mazos, la estrategia debería ser la misma, ¿verdad? Pues NO. Hagamos el mismo análisis pero con esta configuración.

  • Probabilidad de obtener roja, si elijo una carta marcada = 11/20 = 231/420

  • Probabilidad de obtener roja, si elijo una carta no marcada = 12/21 = 240/420

Por lo que, si unimos ambos mazos, la mejor estrategia es elegir una carta NO marcada.

Desde luego, esto nos previene de hacer extrapolaciones tras observar datos por separado y en conjunto. Un ejemplo que pone el propio Gardner es el caso de la Universidad de California en 1973. En ese año se observó que alrededor del 44% de los graduados masculinos de primer ciclo eran admitidos en un segundo ciclo, mientras que, entre las mujeres, el porcentaje era de un 35%. Así que se pensó que podría haber algún tipo de sesgo por razón de sexo. Pero al analizar los resultados facultad por facultad, se dieron cuenta que las mujeres tenían, en cada una de las facultades, mayor probabilidad de ser admitidas que un hombre. Al analizar los datos con mayor detenimiento, comprobaron que el problema radicaba en que un porcentaje de mujeres mucho mayor que el de hombres, trataba de ingresar en segundos ciclos difíciles con elevados índices de rechazo de solicitudes.

En fin, aquí os dejo otra paradoja sobre la que pensar y debatir un ratito.

Tito Eliatron Dixit.


Autor de la Foto: pro_cyp
Fuente: Flickr

7 comentarios:

  1. Calculas la probabilidad de sacar una roja en función de si están marcadas o no. Cuando están marcadas con otro criterio.
    De paradoja NADA.
    ¿Que tendrán que ver las peras con las manzanas?

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  2. Se trata de objetos con 2 características diferenciadas y de ver la probabilidad de obtener una característica, teniendo (o no) la otra.

    Por ejemplo, en una reunión hay personas con barba y sin ella. Y personas con dinero y sin dinero.

    Si quieres encontrar a una persona con dinero, ¿buscarías entre las que tienen barba o las que no tienen barba?

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  3. Es un muy buen libro, como la mayoría de sus obras. Esto nos hace pensar en que la intuición no siempre es lo mejor.
    Saludos

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  4. Para mi el quid de la cuestión es el siguiente:

    Si a alguien que no este ducho en matemáticas elementales se le presenta la operación :
    p/q+ r/s

    Le sería intuitivo resolverla así:
    p/q + r/s= (p+r)/(q+s)


    En lugar de el resultado "menos intuitivo" pero cierto:
    p/q + r/s = ps+qr/qs



    En el caso que nos ocupa, sería:

    a=rojas marcadas primer mazo
    b=cartas marcadas primer mazo
    c= rojas NO marcadas primer mazo
    d=cartas NO marcadas primer mazo

    Y comparamos a/b con c/d



    e=rojas marcadas segundo mazo
    f=cartas marcadas segundo mazo
    g= rojas NO marcadas segundo mazo
    h=cartas NO marcadas segundo mazo

    Y comparamos e/f con g/h


    al mezcalar tenemos:
    a+b =rojas marcadas totales
    b+f =cartas marcadas totales
    c+g=rojas no marcadas totales
    d+h= cartas no marcadas totales

    Y comparamos (a+b)/(b+f) con (c+g)/(d+h)


    Pero como dijimos arriba, no es así como se suman las fracciones y de ahí surge el desconcierto. Probabilidad e intuición no parecen ir muy unidas.

    Un saludo.

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  5. interesante
    por cierto, para encontrar a alguien con dinero busca entre los lampiños. Todo el mundo sabe que los barbudos son unos vagos sin un duro...

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  6. Muy bueno, oraculador, veo que también tienes el libro de Gardner

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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