lunes, 2 de febrero de 2009

Ciencias y ecuaciones diferenciales

Una ciencia consiste en un sistema de leyes deducidas de los hechos observados. Las leyes son, en suma, ecuaciones diferenciales.


¿Qué leyes científicas conocéis que se formulen a través de ecuaciones diferenciales?
A mí, por ejemplo, se me ocurren la Ecuación del Calor, la Ecuación de Ondas, la Ecuación de Schrödinger... incluso en una conferencia hace un año, oí que algunas leyes macroeconómicas se rigen a través de ecuaciones diferenciales.

Tito Eliatron Dixit.

11 comentarios:

  1. Todos los sistemas mecánicos (bolas atados con cuerdas, con palancas, etc, etc), TODOS se puede resolver a nivel matemático (saber el estado futuro en un tiempo t dado) a base de convertir todo el sistema en una ecuación diferencial -Lagrangiano- y resolverla (este ultimo punto es el complicado, claro).

    Recuerdo bagamente darlo en clase: Buscabas los parámetros mínimos necesarios para determinar la posición completa del sistema (longitud de la cuerda que cuelga, angulo tal, etc, lo que se dicen "grados de libertad") entonces escribías la energía potencial del sistema usando ese sistema de coordenadas, y lo juntabas con las condiciones iniciales del sistema en t=0 -condiciones de contorno- y finalmente derivabas las ecuaciones iniciales (posición del sistema en función de t) e igualabas a la ecuación de la energía potencial (igual aquí me cuelo, hace ya tiempo que lo vi, pero era algo de ese estilo) y obtenías una ecuación diferencial que contenía el modelo completamente, eso si, luego hace falta resolverlo, pero si aplicabas aproximaciones por métodos numéricos, te servia para resolver CUALQUIER sistema físico.

    Como no me explico muy bien: Lagrangiano.

    Yo lo vi hiperpotente, pero claro, si somos analfabetos resolviendo ecuaciones diferenciales, pues no te sirve de mucho, claro.

    Imagino que la cita que pones va exactamente de esto, ya que TODO sistema físico se modeliza como una ecuación diferencial en dos minutos.

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  2. Realmente, más que por los Sitemas Físicos, mi idea era ver OTROS tipos de sistemas.

    Está claro que la Física es la mejor generadora de Ecuaciones Diferenciales, pero ¿hay más?

    Por ejemplo, en Macroeconomía, creo haber oído que también. A estas cosas es a loq ue me refería.

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  3. Tras releerlo en la wikipedia, la cosa queda mas clara:

    La energia del sistema es una constante, luego e.cinética + e.potencial = cte, asi que si derivas "cinetica+potencial" ha de ser igual a cero.

    Esa es la ecuación diferencial, y como es cierto para cualquier coordenada derivada respecto de cualquier otra, obtienes una matriz nxn (n=numero de grados de libertad) de ecuaciones diferenciales que todas han de ser iguales a cero.

    Ese es el lagrangiano del sistema, si lo resuelves y añades las condiciones iniciales, tienes el sistema completo "bajo control", sea el que sea.

    También he leído algo que no conocía, y es que el sistema vale para mas cosas de las que yo estudie, incluido la mecánica cuántica, leyes de Maxwell, número infinito de grados de libertad... vamos, que es el "Santo Grial" de la mecánica!

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  4. Pues para aplicar eso mismo a cualquier otra cosa, necesitarías modelizarlo como energías que se conservan, ver los grados de libertad, y vas a morir a la lagrangiana del sistema, signifique este lo que signifique.

    El grado sumo de esto sería la "Psicociencia" de la "Trilogía de la fundación", del maestro Isaac Asimov, lectura que recomiendo a todos si no lo conocéis.

    El protagonista modeliza el comportamiento de la sociedad en su conjunto como ecuaciones diferenciales, aprende a resolver el monstruo, y es capaz de predecir qué ira sucediendole a la civilización a nivel macro, no a nivel de individuo, con miles de años de antelación.

    Todo el libro va, mas o menos, de como se cumplen las predicciones y como el sistema "diverge" de lo esperado conforme el tiempo avanza, siendo necesario rehacer los calculos de vez en cuando o "reconducir" la civilizaciñon a donde esperabamos.

    Seguramente lo resolvió de alguna manera medio chapucera, aproximaciones sucesivas y esas cosas, y claro, en apenas mil o dos mil años la historia empezaba a divergir de lo esperado.

    O igual se tropezaron con un "atractor complejo" de Lorentz y todo resultó ser un fractal impredecible. Es como ocurre con el tiempo, no se puede predecir por el "efecto mariposa" que comentaba Mandelbrot: Si el sistema diferencial que obtienes contiene unas ecuaciones interrelacionadas de cierta forma, el sistema es impredecible ya que es inestable respecto de las condicioes iniciales: un error minimo en ellas hace que la solución tienda a otra cosa totalmente diferente.

    Bueno, corto el rollo ya!

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  5. Hola, las ecuaciones diferenciales oridnarias y en derivadas parciales se plantean para modelar situaciones en las que se espera que el fenómeno a describir (o solución) tenga una cierta regularidad. Hay que destacar los esfuerzos algo más recientes que se están haciendo en plantear "otro tipo de ecuaciones diferenciales" para modelar fenómenos irregulares (pensemos en funciones no diferenciables de tipo Weierstrass, por ejmplo) o que dependen en cierto grado del azar (o altamente inestables).

    En finanzas, por ejemplo, y para opciones de tipo europeo, tenemos la EDP estocástica de Black-Scholes o el modelo de Heston

    http://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes#Black.E2.80.93Scholes_PDE

    http://ta.twi.tudelft.nl/users/vuik/numanal/naber_scriptie.pdf

    http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0811/0811.3427v1.pdf

    En fenómenos de superdifusión o subdifusión (difusión rápida o lenta) en medios porosos, aparecen modelos que hacen uso del cálculo fraccionario, con derivación de orden fraccionario

    http://riai.isa.upv.es/CGI-BIN/articulos%20revisados%202006/versiones%20impresas/vol3_num3/tutorial1_vol3_num3.pdf

    http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/jvazquez/JLV1icmNo.pdf

    http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus

    También tenemos fenómenos, como la ecuación del pantógrafo, que son modelados con ecuaciones diferenciales con retardo.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Delay_differential_equation

    http://www.amsta.leeds.ac.uk/~bogachev/Papers/BDMO_final.pdf

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  6. Y muchísimos más fenómenos:

    el oscilador de Van der Pol en circuitos eléctricos:

    http://segre.upc.es/nllab/vanderpol-es.html

    La ecuación de Burgers' y la de Navier-Stokes en mecánica de fluidos y fenómenos atmosféricos:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Burgers%27_equation

    http://en.wikipedia.org/wiki/Navier-Stokes_equations

    La ecuación de Kuramoto-Sivashinski y la reacción de Belusov-Zhabotinski (el "Oregonator") que modelan fenómenos deterministas caóticos en reacciones químicas:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Belousov-Zhabotinsky_reaction

    http://chaosbook.org/projects/Li/Li.pdf

    El "Brusselator", que modela otra reacción química:

    http://hopf.chem.brandeis.edu/yanglingfa/pattern/bruss/index.html

    La ecuación de Allen-Cahn en termodinámica:

    http://www.icm.edu.pl/~sheed/files/phd_math_19_10_2006.pdf

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  7. GRacias por tus aportaciones, Domingo, poco a poco las iré "cotilleando".

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  8. Al final casi todas las ecuaciones propuestas pertenecen al ramo de la Fisica y o u quimica.

    Supongo que cualquier ecuacion que relacione un arguento que varie con respecto a alguna magnitud supuestamente continua podria ser representa mediante una ecuacion diferencial.

    Asi : Fam = K * d(Eq1* Eq2)/d(t) donde K es una constante, Eq1 y Eq2 son el nivel economico de cada uno de los cuerpos, t el tiempo y Fam la fuerza amorosa con la que se atraen dos cuerpos. (Falta por demostrar esta teoria)

    mas en serio y siguiendo la propuesta, os presento unas ecuaciones diferenciales en un ambito que a mi me ha sorprendido un poco.

    Las ecuaciones de Lotka-Volterra (Ecosistemas)
    dx/dt = x(α-βy)
    dx/dt = -y(λ-δx)
    Tambien conocidas como ecuaciones cazador-presa.

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  9. la vida es una ecuación diferencial :)

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  10. Supongo que la vida, en general, aparenta ser diferencial, pero, me pregunto si fenomenos tipo "salto cuantico", el efecto tunel y esas cosas donde una particula va y chas! cambia, no son muy diferenciables, aunque quien sabe, igual solo aparentan ser saltos y son cosas mas continuas.

    Mas creo que el "grano fino" de la realidad es discreto: La energia esta "empaquetada" en cuantos, el espacio tiempo parece ser que tambien podria estarlo, el comportamiento de las particulas es de todo o nada -salta o no salta, aunque tambien haga las dos cosas simultaneamente para liar todo un poco mas- y ademas, sin causa-efecto (no poder usar la diferencial segun t, el estado de una particula puede cambiar "retroactivamente")... no parece muy diferenciable a este nivel de zoom.

    Por eso a niveles de particulas se usan mas grupos y esas cosas, donde los posibles estados son finitos, donde la particula cambia de una a otra de forma discontinua: no existe nada intermedio entre una particula y otra, y sin embargo, unas particulas pueden convertirse en otras en un choque, asi que no hay continuidad posible, y si no es clase C1, olvidate de diferenciales, a no ser que se puedan usar otras técnicas mas refinadas como las que comenta Domingo, pero no me lo parece.

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  11. ...y la religión es la condición de borde (completo la frase de Turing que Zifra dejó inconclusa)

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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