miércoles, 24 de junio de 2009

Cortando cubos de forma minimal

Hoy miércoles os traigo un problema de ingenio, extraído de un gran libro de Martin Gardner: ¡Ajá! Inspiración.

Avisados quedáis, que la respuesta a este acertijo se encuentra en dicho libro, por lo que os pediría que antes de recurrir a él, la pensarais un poco.

Supongamos que tenemos un cubo macizo de 3 cm. de lado. ¿Cuántos cortes (planos) se necesitan para cortarlo en 27 cubos unitarios, es decir, cubos de 1 cm de lado?

Esta pregunta tiene fácil solución. La respuesta es 6 y para demostrarlo, basta cortar de la siguiente forma:


Ahora partimos de un cubo macizo de 4 cm de lado y, del mismo modo que antes, queremos cortarlo en 64 cubos unitarios. Ahora la respuesta no es tan obvia. Si procedemos de forma análoga al caso 3x3x3, obtenemos 9 cortes:


Pero este número no es óptimo: se puede conseguir en menos cortes. ¿Se os ocurre cómo? Os voy a dejar una pista. Se puede conseguir mediante 6 cortes planos. Sí, sí, 6, igual que en el caso 3x3x3.

Pero no queda aquí la cosa. Para aquellos avezados lectores que hayan conseguido descubrir el modo de cortar el cubo 4x4x4 en 64 cubos, sólo con 6 cortes, os desafío a algo aún más interesante. Demostrar que no es posible realizar esta tarea en menos de 6 cortes, es decir, con 5 cortes o menos es imposible lograrlo.

Repito la advertencia que os hice al principio. Este acertijo está extraído del libro ¡Ajá! Inspiración de Martin Gardner. Allí podréis encontrar la solución a las 2 preguntas que planteo. Lo divertido es pensarlo por uno mismo.

Yo lo intenté, y logré responder a la primera de las preguntas. Reconozco que la segunda no fui capaz, pero no iba demasiado desencaminado en mis pesquisas.

Tito Eliatron Dixit.

10 comentarios:

  1. Llevo un buen rato devanándome los sesos y no hay manera. Podrías dar alguna pista, por favor.

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  2. A mí se me ocurre en este momento cortarlo de alguna manera tal que sea posible apilarlos de cierta forma y abarcar más material con pocos cortes...

    ¿Es válido hacer eso?

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  3. Pista para la primera pregunta: El cubo no es estático.

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  4. Vale, tomando la figura que has puesto, hago lo siguiente. Primero pego el corte 8. los dos fragmentos resultantes los pongo en fila yles pego un corte por la mitad, haciendo de una sóla vez los numerados como 7 y 9. llevo 2 cortes y ya tengo 4 rodajas de 4x4x1 cm.
    Ahora, como es un cubo, este procedimiento podría repetirlo con cualquiera de sus dimensiones. Así, lo que he dicho es válido para los cortes 7, 8 y 9, pero también para 1, 2 y 3, y 4, 5 y 6.
    En total, con dos cortes por "dimensión" obtengo 6 cortes.
    El truco está en cortar por la mitad y luego apilar lo que ha salido de forma q con un corte dividamos ambos trozos en dos mitades cada uno.

    Respecto a al demostración... nunca se me ha dado bien demostrar nada matemáticamente y como estoy en mitad de exámenes, eprdoname que no me tome un rato para pensarlo (tengo exámen pasado mañana ^^U)

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  5. Cada corte solamente puede dividir el total de los cubos anteriores por la mitad. Es decir, el cubo inicial se puede dividir en 2, los 2 cubos resultantes en 4, etc., con lo cual con cada corte podemos obtener como máximo (2^cortes) cubos.

    Como tenemos 64 cubos, el número mínimo de cortes no puede ser menor que 6, porque 2^6 = 64.

    Saludos.

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  6. George... tu argumento estaría bien, si el mínimo fuera 2^6=64... pero está claro que se puede hacer en menos de 64 cortes.

    De todas formas, hay algo en lo que dices que huele muy bien.

    Ashkar: muy bien. Perfecto. Ahora por la pregunta difícil.

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  7. Tengo el libro ese de Martin Gardner, aunque juraría que esto de los cortes de un cubo no lo he leído. Por suerte no lo tengo aquí conmigo y así no he caído en la tentación de mirarlo.

    Bueno, quizás me equivoco, pero no me parece evidente que en el cubo 3x3x3 haya que dar necesariamente 6 cortes: ¿por qué no 5? Voy a intentar demostrar que en el cubo de estas dimensiones hay que dar necesariamente 6 cortes. La demostración, cambiándola un poco, también vale para un cubo 4x4x4:

    Imaginemos que podemos conseguir todos los cubitos unidad a partir de sólo 5 cortes y veamos que no es posible. Miremos el problema desde el final. Después de dar 5 cortes, como ya se ha dicho, todos los cubitos serán 1x1x1, pero para conseguir esto, cada trozo que tenemos antes del 5º corte no puede tener un volumen superior a dos cubitos (no se puede dividir un trozo compuesto por 3 o más cubos en trozos de un cubito, evidentemente). De nuevo, para conseguir esto, el volumen de cada trozo antes del 4º corte no puede superar los 4 cubitos, el volumen de cada trozo antes del 3º corte no puede superar los 8 y el volumen de cada trozo antes del 2º corte no puede superar los 16 cubitos.

    Bien, ahora veamos que después del primer corte (o antes del 2º) hay un trozo con un volumen superior a 16 cubitos, lo que nos llevaría a una contradicción y, por lo tanto, concluimos que con sólo 5 cortes no es posible.

    Es bastante evidente que después del primer corte, cortemos como cortemos, vamos a tener, por narices, un trozo de dimensiones 3x3x1 y otro de dimensiones 3x3x2.Este último, desde luego, está compuesto de 18 cubitos, con lo que llegamos a donde queríamos llegar y resulta claro (si no hay alguna confusión en el razonamiento) que necesitamos al menos 6 cortes.

    Siguiendo un razonamiento análogo (y nuevamente, si no me he equivocado) para el cubo 5x5x5 se necesitarían al menos 9 cortes. Como para el cubo 8x8x8 también se necesitan 9 cortes (se realizarían de una forma análoga a la del cubo 4x4x4), podemos concluir, casi sin miedo a equivocarnos, que para los cubos 6x6x6 y 7x7x7 también se necesitan 9 cortes.

    Ahí ya lo dejo, aunque parece interesarse preguntarse cuántos cortes son necesarios en el cubo nxnxn.

    Saludos y buen finde.

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  8. Muy buena la idea F.arSa, bastante ingeniosa... porque, además de resolver la cuestión del 3x3x3, lo haces para casos superiores.

    La idea, en resumen, es que para que alguno de los cubos interiores (de esos que no se ven nada) quede cortado, se necesita cortar cada una de las 6 caras, pero estas caras es imposible cortar más de 1 a la vez, por lo tanto si todos los cubos (incluidos los centrales) son 1x1x1, necesariamente se han de dar, al menos, 6 cortes.

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  9. Sí, ya ví cómo lo resolvían en el libro de Martin Gardner. ¡Esa sí que es un idea genial!... y no requiere más para explicarla que un parrafito.

    La verdad es que en algún momento la parte derecha de mi cerebro me susurró al oído los cortes interiores, pero es una idea que mi hemisferio izquierdo rechazó sin siquiera pensar un poco en ella.

    Saludos

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