Tito Eliatron Dixit: La primera Ley de Kepler, cónicas y ecuaciones diferenciales

miércoles, 28 de abril de 2010

La primera Ley de Kepler, cónicas y ecuaciones diferenciales

Hace poco más de dos meses, hablamos aquí de La segunda Ley de Kepler y las ecuaciones diferenciales. Hoy vamos a continuar, en cierto modo, aquel post y vamos a hablar de la primera Ley de Kepler y su relación con las cónicas y las ecuaciones diferenciales.

En primer lugar, recordemos que las Leyes de Kepler son las que rigen los movimientos de los planetas y fueron descubiertas por el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler:

Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.
El radio vector que une el planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital (tiempo que tarda en dar una vuelta alrededor del Sol) es directamente proporcional al cubo de la distancia media con el Sol.

En el artículo anterior vimos cómo surge la segunda de estas leyes simplemente de escribir la segunda ley de Newton (sí, esa que dice que $F=m\cdot a$ ) en coordenadas polares (con centro en el Sol). Así se obtiene las siguientes ecuación diferencial que rigen el movimiento planetario:
$F_\theta=m\left(r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}\right)$ y $F_r=m\left[\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2\right]$ Imponiendo que la fuerza gravitacional es central, se obtiene que la componente tangencial, es decir, la primera de las ecuaciones, debe ser nula (que es lo que hicimos en el artículo anterior). Así se obtiene, que $r\frac{d^2\theta}{dt^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt}=0$ , de donde se deduce que $r^2\frac{d\theta}{dt}=h$ para cierta constante positiva $h>0$ .

Ahora, como nuevo paso, vamos a imponer que, tal y como afirma la Ley de Gravitación Universal de Newton, las fuerzas gravitacionales son proporcionales a las masas involucradas e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, es decir, como la fuerza es únicamente central, resulta que $F_r=\frac{GmM}{r^2}$ donde $G$ es la constante de gravitación universal y $M$ es la masa del Sol. Pero como ya teníamos una expresión de $F_r$ , basta combinar ambas expresiones para obtener que $\frac{d^2r}{dt^2}-r\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2=-\frac{k}{r^2}$ , donde hemos llamado $k=GM$ .

Pero resolver esta ecuación tal y como está escrita es, ciertamente, complicado. Por lo que vamos a realizar un par de trucos. En primer lugar, vamos a hacer un cambio de variable dependiente y vamos a llamar $z=1/r$ ; y en segundo lugar, vamos a cambiar la variable independiente, y vamos a expresar todo en función del ángulo $\theta$ en lugar del tiempo $t$ . Tras unas cuantas manipulaciones (de las ecuaciones, malpensados) llegamos a que $\frac{d^2z}{d\theta^2}+z=\frac{h}{k^2}$ , cuya solución general es bastante sencilla de calcular y es
$z=A\,\text{sen}\theta+B\cos\theta+\frac{k}{h^2}$ .
Para simplificar esta expresión, vamos a desplazar el eje polar (vamos, la recta desde la que se comienza a contar los ángulos) de forma que el planeta de masa $m$ esté lo más cerca del origen posible (es decir $r$ será mínimo) cuando $\theta=0$ . Esto quiere decir que $z$ será máxima en esta dirección, de modo que $dz/d\theta=0$ y $d^2z/d\theta^2<0$ cuando $\theta=0$ . Estas condiciones implican que $A=0$ y $B>0$ . Y si ahora reemplazamos $z$ por $1/r$ , nuestra solución puede escribirse de la siguiente forma
$r=\frac{pe}{1+e\cos\theta}$ donde $e=Bh^2/k$ y $p=1/B$ .

Y esta ecuación, queridos amigos, es, ni más ni menos, que el Lugar Geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al origen dividida entre la distancia a larecta $d$ (perpendicular al eje polar y distante $p$ unidades del origen) es exactamente igual a $e$ . Por si no te queda claro, mira el siguiente dibujo:

Sí, queridos lectores, este lugar geométrico es una cónica, en la que el parámetro $e$ se llama excentricidad de la cónica y mide lo diferente que es la cónica de una circunferencia. La excentricidad es siempre positiva (recordad que $e=Bh^2/k$ y que $B>0$ y $k=GM>0$ ); cuando $e=0$ tenemos una circunferencia, si $0<e<1$ tendremos una elipse, si $e=1$ una parábola y, finalmente, para $e>1$ se tiene una hipérbola.

Resumiendo, hemos llegado a la siguiente conclusión: como la fuerza gravitacional es de carácter central e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, la órbita de los planetas debe ser, forzosamente, una cónica. Y como los planetas giran en una órbita cerrada, la única opción es la elipse (o la circunferencia) en uno de cuyos focos está el Sol, que es lo que asegura la Primera Ley de Kepler.

Bueno, realmente hemos hecho un poco de trampa en el sentido histórico. Me explico. Kepler dedujo sus Leyes de la mera observación de datos, posteriormente, Newton, basándose en las dos primeras leyes deduce que la fuerza gravitacional debe ser inversamente proporcional al cuadrado de la distancia y es entonces cuando comineza a trabajar en las implicaciones físicas de este hecho.

Pues creo que ya os he dado bastante la lata con planetas, Kepler, Newton y cónicas, así que vamso a dejarlo aquí.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte del VI Carnaval de la Física, cuyo anfitrión es el blog Últimas noticias del cosmos.

Referencias:
Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, Georege F. Simmons, McGraw-Hill 1977.