jueves, 8 de diciembre de 2011

Algunas aclaraciones al Teorema de Bolzano

Hace poco, tuve una pequeña discusión (en el buen sentido de la palabra) en twitter acerca de lo que dice o debería decir el Teorema de Bolzano. ¿Qué? ¿que no te acuerdas de qué decía? pues ahora mismo te lo recuerdo.

Si tenemos una función continua y de forma que entonces existe tal que . Dicho de forma más sencilla, si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo, entonces su gráfica forzosamente debe cortar(*) al eje .

Vía Frikiparty
O de forma aún más sencilla, el Teorema de Bolzano te garnatiza que para ir del sótano a la primera planta, el ascensor debe pasar por la planta baja, no como el de la famosa foto de la izquierda.

Pues como decía, una de mis seguidoras @mariadocavo, me comentó que desde que lo estudió en el bachillerato, siempre pensó que el Teorema de Bolzano debería concluir que la gráfica de la función debe cortar un número impar de veces al eje .

A primera vista, esto puede ser lo m´s lógico del mundo, ya que uno tiende a pensar que si la gráfica corta al eje es porque ha pasado de abajo a arriba (negativa a positiva) o viceversa.

Pues señores, esto es FALSO. El Teorema de Bolzano garantiza lo que garantiza, al menos 1 corte con el eje, pero no puede garantizar que el número de veces que se anule la función sea impar. De hecho, os voy a dejar un bonito ejemplo.


Gráfica de f(x)=x3-2x2 en [-1,3]
Considerad la función en el intervalo . Como es un polinomio, es continua; además, y por lo que el Teorema de Bolzano garantiza al menos un tal que . Pero si observamos la gráfica, vemos como ésta tiene 2 ceros, y no un número impar de ellos.

De hecho, podemos construir funciones que cumplan las hipótesis del Teorema de Bolzano y que tengan la cantidad de ceros que queramos, incluida una cantidad infinita (numerable) de ellos.

Y ahora que sabemos que lo que nuestra amiga twittera decía no era cierto, ¿a qué se puede deber este error? No, no es debido a la ignorancia, en absoluto. Es más, esta interpretación es, bajo mi punto de vista, algo lógico en un alumno inteligente y que comprenda la asignatura. El error, me reitero, se debe a la mala interpretación verbal que hemos hecho del teorema. ¿Queréis volver a leer la explicación sencilla del Teorema de Bolzano del segundo párrafo de esta entrada? Pone lo siguiente:

si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo, entonces su gráfica forzosamente debe cortar(*) al eje .
¿os dais cuenta del asterisco que me había guardad? Pues ahí está el error. El Teorema de Bolzano no garantiza que la gráfica corte al eje , sino que garantiza la existencia de un punto tal que , y esto no es lo mismo que cortar (pasar de arriba a abajo o viceversa). Es esto y algo más, que es lo que ocurre en en la función que hemos visto antes: que la gráfica toca al eje pero no lo atraviesa.

Para finalizar y mantener intacto el honor matemático de nuestra querida @mariadocavo, decir que en cierto sentido tenía razón. El espíritu de la norma, es decir, el espíritu del Teorema de Bolzano es buscar ceros, es decir, puntos en donde se anule (que corten o toquen al eje). Pero con las hipótesis que tenemos, básicamente garantizamos encontrar de los primeros, es decir, puntos de corte (en el sentido de atravesar el eje). Así, en ese sentido, sí que se puede decir que Bolzano garantiza encontrar un número impar de puntos en los que la gráfica atraviesa el eje. Otra cosa es que los puntos donde la gráfica toque al eje, sean también computables como ceros e invalide esta bonita tesis.

Tito Eliatron Dixit

14 comentarios:

  1. Tito, acabo de enterarme que TIO PETROS ha vuelto:
    tiopetros.tumblr.com
    ¡Gran noticia!

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  2. Hola Tito, relacionando dos de tus últimos posts (éste sobre el teorema de Bolzano y uno sobre la holomorfía de funciones de variable compleja), tal vez un día te pueda apetecer escribir sobre el teorema de Bolzano en $\mathbb{C}$ (o incluso en $\mathbb{R}^n,\mathbb{C}^n$). Es algo que se conoce desde hace años, pero no es frecuente encontrarlo por ahí explicado para el gran público.

    http://www.jstor.org/pss/2042381

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  3. Anónimo: ya lo comenté en mi anterior post. Una magnífica noticia.

    Domingo: muchas gracias!!!! lo miraré y prometo que lo contaré.

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  4. Hola,

    En el artículo dices "De hecho, podemos construir funciones que cumplan las hipótesis del Teorema de Bolzano y que tengan la cantidad de ceros que queramos, incluida una cantidad infinita (numerable) de ellos". No estoy de acuerdo en lo de que la cantidad infinita debe ser numerable.

    Por ejemplo, en la función definida a trozos:

    f(x) = x si x < 0
    f(x) = 0 si 0 <= x <= 1
    f(x) = x - 1 si x > 1

    Así, tomamos f(-1) = -1 y f(2) = 1 y el teorema de Bolzano nos dice que al menos existe un cero entre -1 y 1, no? Pero no es que exista un cero, existen infinitos NO NUMERABLES, ya que en todo el segmento [0, 1] la función vale cero.

    ¿Me equivoco? ¿O he interpretado algo mal?

    (Lo mismo estoy cometiendo un error de esos garrafales y ni me he dado cuenta :-P

    Un saludo! Y enhorabuena por el blog!

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  5. Perdón, en mi comentario de antes, donde pone "el teorema de Bolzano nos dice que al menos existe un cero entre -1 y 1" debería decir "entre -1 y 2" :-P

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  6. Bueno, JMatamoros, es que el caso de ser constante igual a cero la verdad es que no suele tener interés estudiarlo, por eso se suele omitir de todas estas conclusiones.

    El caso infinito numerable suele ser más interesante.

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  7. Hace unos dias me preguntaron cómo demostrar con el Teorema de Bolzano lo siguiente:
    "Suponemos una cuerda horizontal que es estirada por ambos extremos, sin que se rompa.Demuestra que hay un punto que no cambia de posición"
    Saludos

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  8. Interesante, Anónimo... creo que puedo tener una solución... pero no la diré todavía por si alguien más lo quiere pensar.

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  9. ¡Me ha encantado la entrada! Sobretodo por querer dejarme de lista el lugar de ignorante, pero lo que más me ha gustado ha sido la foto, a mi madre le va a encantar(ella tiene un concurso de carteles graciosos, aunque prefiere que salgan con persona) Ahora tengo que buscarme un físico blogger que me pegue otra paliza cuando le cuente lo que opino de las leyes de Kepler...

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  10. No en serio, María. Una cosa que digo a mis alumnos es que "No hay preguntas tontas, sino tontos que no preguntan".

    Además, este tipo de preguntas me parecen las que todo alumno que se interese debería hacerse. Si no te las haces, o pasas, o no estás entendiendo bien las cosas. Otra cosa es que uno mismo sea capaz de responderse. Ese alumno, no sólo es bueno, sino que, además, vale para las matemáticas.

    En tu caso, entrarías en el grupo de alumnos que se interesan y PIENSAN sobre lo que le estaban contando.

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  11. Solo que cumplo 30 años la semana que viene, igual a estas alturas ya podía tener claro el teorema de Bolzano, pero nunca es tarde si la dicha es buena. Siempre he sido preguntona pero tengo que reconocer que jamás entendí nada en clase de álgebra. Triste pero cierto.

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  12. Es verdad que hay un poco de confusión en el teorema de Bolzano entre puntos de corte y ceros de la función, algunos textos afirman que debe haber al menos un cero, pero realmente debemos decir que ha de haber un punto de corte como mínimo. Todo punto de corte es un cero de la función, pero la afirmación inversa es falsa, tal como muestra el ejemplo de Tito. Y efectivamente el teorema no dice nada sobre los restantes ceros de la función, sólo habla de ese punto de corte que seguro que existe.

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  13. Sobre el problema de la cuerda, se me ocurre lo siguiente: definimos la función y=f(x), 0<=x<=l, donde x es la posición original de cada punto de la recta, y es la posición final con la cuerda estirada, l la longitud original de la cuerda. Dado que estiramos en direcciones contrarias, tendremos puntos x con desplazamientos y > 0 , pero también con y < 0. Siendo la cuerda contínua, también lo serà f(x),y aplicando Bolzano, habrá algún x0 tal que f(y)=0, o sea un punto sin desplazamiento.
    No es una demostración, sólo una idea...

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  14. Tito vuelve a leer con calma el coment de JMatamoros. Q t colaste con lo d un numero infinito numerable de ceros...

    Siento errores. Estoy desde el movil.

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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