Algunas aclaraciones al Teorema de Bolzano

Hace poco, tuve una pequeña discusión (en el buen sentido de la palabra) en twitter acerca de lo que dice o debería decir el Teorema de Bolzano. ¿Qué? ¿que no te acuerdas de qué decía? pues ahora mismo te lo recuerdo.

Si tenemos una función continua y de forma que entonces existe tal que . Dicho de forma más sencilla, si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo, entonces su gráfica forzosamente debe cortar(*) al eje .

Vía Frikiparty

O de forma aún más sencilla, el Teorema de Bolzano te garnatiza que para ir del sótano a la primera planta, el ascensor debe pasar por la planta baja, no como el de la famosa foto de la izquierda.

Pues como decía, una de mis seguidoras @mariadocavo, me comentó que desde que lo estudió en el bachillerato, siempre pensó que el Teorema de Bolzano debería concluir que la gráfica de la función debe cortar un número impar de veces al eje .

A primera vista, esto puede ser lo m´s lógico del mundo, ya que uno tiende a pensar que si la gráfica corta al eje es porque ha pasado de abajo a arriba (negativa a positiva) o viceversa.

Pues señores, esto es FALSO. El Teorema de Bolzano garantiza lo que garantiza, al menos 1 corte con el eje, pero no puede garantizar que el número de veces que se anule la función sea impar. De hecho, os voy a dejar un bonito ejemplo.

Gráfica de f(x)=x³-2x² en [-1,3]

Considerad la función en el intervalo . Como es un polinomio, es continua; además, y por lo que el Teorema de Bolzano garantiza al menos un tal que . Pero si observamos la gráfica, vemos como ésta tiene 2 ceros, y no un número impar de ellos.

De hecho, podemos construir funciones que cumplan las hipótesis del Teorema de Bolzano y que tengan la cantidad de ceros que queramos, incluida una cantidad infinita (numerable) de ellos.

Y ahora que sabemos que lo que nuestra amiga twittera decía no era cierto, ¿a qué se puede deber este error? No, no es debido a la ignorancia, en absoluto. Es más, esta interpretación es, bajo mi punto de vista, algo lógico en un alumno inteligente y que comprenda la asignatura. El error, me reitero, se debe a la mala interpretación verbal que hemos hecho del teorema. ¿Queréis volver a leer la explicación sencilla del Teorema de Bolzano del segundo párrafo de esta entrada? Pone lo siguiente:

si una función continua cambia de signo en los extremos de un intervalo, entonces su gráfica forzosamente debe cortar(*) al eje .

¿os dais cuenta del asterisco que me había guardad? Pues ahí está el error. El Teorema de Bolzano no garantiza que la gráfica corte al eje , sino que garantiza la existencia de un punto tal que , y esto no es lo mismo que cortar (pasar de arriba a abajo o viceversa). Es esto y algo más, que es lo que ocurre en en la función que hemos visto antes: que la gráfica toca al eje pero no lo atraviesa.

Para finalizar y mantener intacto el honor matemático de nuestra querida @mariadocavo, decir que en cierto sentido sí tenía razón. El espíritu de la norma, es decir, el espíritu del Teorema de Bolzano es buscar ceros, es decir, puntos en donde se anule (que corten o toquen al eje). Pero con las hipótesis que tenemos, básicamente garantizamos encontrar de los primeros, es decir, puntos de corte (en el sentido de atravesar el eje). Así, en ese sentido, sí que se puede decir que Bolzano garantiza encontrar un número impar de puntos en los que la gráfica atraviesa el eje. Otra cosa es que los puntos donde la gráfica toque al eje, sean también computables como ceros e invalide esta bonita tesis.

Tito Eliatron Dixit