miércoles, 18 de marzo de 2009

El teorema de los ojos de lechuza o los círculos gemelos de Arquímedes

Vamos a comenzar viendo un pequeño video ¿notáis algo especial en los ojos de la lechuza?



Pues sí, ambos ojos siempre tienen el mismo tamaño. Pero... ¿por qué ocurre esto? Pues es un hecho que se conoce desde hace mucho y que ya lo demostró Arquímedes. De hecho, estos ojos de lechuza se conocen como los Círculos Gemelos de Arquímedes. Vamos a conocerlos un poco mejor.

Vamos a partir de la figura básica que hay detrás de todo esto: el arbelos o cuchilla de de zapatero.


Se trata de un semicírculo de diámetro AB. Sobre este diámetro, elegimos un punto C y al semicírculo anterior le quitamos 2 semicírculos menores de diámtros Ac y CB respectivamente. En la figura anterior, es el área anaranjada. Se llama arbelos (Arquímedes le dio este nombre) por su tremendo parecido con el objeto griego de ese nombre, que se traduce como cuchilla de zapatero:



Esta figura tan simple fue estudiada ampliamente por Arquímedes en su Libro de los Lemas y posee muchas propiedades curiosas. Pero vamos a centrarnos en la que da título a este artículo: Los círculos gemelos de Aristóteles.

Tracemos por C una perpendicular a AB hata que corte a la circunferencia mayor. Tendremos así el arbelos dividido en dos partes. En cada parte, tracemos las circunferencias tangentes a la recta, a la circunferencia Mayor y la circunferencia menor que esté en cada lado. Míralo mejor en el dibujo:


Pues el Teorema de los ojos de lechuza afirma que los círculos C1 y C2, que son los Círculos Gemelos de Aristóteles, tienen el mismo radio. Y lo mejor de todo, es que todo ocurre independientemente del punto C que elijamos para construir el arbelos, es decir, que si construimos otro arbelos en el que el punto intermedio cambie y hacemos toda la construcción anterior, los dos círculos que obtendremos seguirán teniendo el mismo radio. Y esto es lo que se observaba en el vídeo del principio.

El arbelos tiene muchísimas otras propiedades muy curiosas. De hecho, el dentista y matemático neoyorquino Leon Bankoff comprobó que los círculos gemelos de Aristóteles en realidad eran trillizos. Vamos a construir el Círculo de Bankhoff. Partamos de nuestro arbelos original y construyamos la circunferencia tangente interior al círculo grande y tangente exterior a los dos pequeños. Llamemos T1 y T2 a los puntos de tangencia con los círculos menores. Pues bien, el Círculo de Bankhoff (el azulón, en el dibujo) es aquél que pasa por t1, T2 y C, y casualmente tiene el mismo radio que los círculos gemelos de Aristóteles. Es, pues, el trillizo perdido.



En fin, si queréis conocer más propiedades del arbelos, no dudéis en consultar la página que sobre esta figura hay en Bella Geometría, la que tiene Stephen Tan, la de Wolfram MathWorld o la página que hay en la Wikipedia.

Tito Eliatron Dixit.


Vídeo de los ojos de lechuza obtenido a partir de "Theorem of the Owl's Eyes" de Wolfram Demonstrations Project.

Imagen de la Cuchilla de zapatero obra de Thomas Schoch, extraída de Wikimedia Commons, y es obra de Greg Markowsky y Catherine Wolfram.

La imagen del Cñirculo de Bankhoff ha sido creada con Mathematica, gracias a la obra de Jay Warendorff.

El resto de imágenes son obra mía con la ayuda de Mathematica.

4 comentarios:

  1. ¡Extraordinario! Felicidades por el post Intesantísimo y bien currado. Gracias.

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  2. De nada Agustín, la verdad es que los dibujitos de las circunferencias tangentes no son tan fáciles de hacer como pueda parecer...

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  3. Muchacho, me han venido bien tus dibujitos para ya sabes qué, jejeje. Saludetes.

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  4. Anda, pues ni me acordaba.
    Me alegro de que te sirva.

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