sábado, 14 de marzo de 2009

Fórmula de Ramanujan

Hoy, 14 de Marzo (3 14 en la nomenclatura anglosajona), es el día de π. Supongo que, como en tantas otras ocasiones, muchos blogs hablarán del tema, así que Tito Eliatron Dixit no va a ser menos, máxime cuando es mi primer día de π.

Para celebrarlo, os traigo una fórmula que encontró el grán autodidacta matemático Srinivasa Ramanujan, allá por 1914.

Y, ¿qué tiene de especial esta fórmula? Pues su rápida convergencia hacia π. de hecho, su primera iteración (para n=0) ya nos proporciona 6 decimales exactos de π, si hacemos 2 iteraciones (hasta n=1) obtenemos 14 decimales exactos y en la tercera iteración ya son 24.

De hecho, podemos conseguir así una muy buena fracción para aproximar π como sigue:
π=9801/2206√2≈3.14159273001...


Bueno, pues a disfrutar de un Ha.π-π-day.

Tito Eliatron Dixit.

Bonus Track 1: Si queréis ver muchas más fórmulas en las que interviene π no dudéis en entrar en la página de Fórmulas de Π de Wolfram MathWorld.

Bonus Track 2: Aquí os dejo el código de Mathematica para que comprobéis la Fórmula de Ramanujan (establecida para 3 iteraciones, n=2, y 25 decimales):

N[1/(Sqrt[8]/9801 * Sum[((4 n)!*(1103 + 26390 n))/((n!)^4 * 396^(4 n)), {n, 0, 2}]), 25]

ACTUALIZACIÓN: Gracias a Agustín Morales, detectamos un error en la fórmula original que ya ha sido arreglado.

7 comentarios:

  1. En la fórmula del post, quizás la parte inferior del sumatorio ,k=1, debería ser n=0.
    Pero vamos, se entiende de todas formas.

    Saludos.

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  2. Debe, agustín, debe.... De hecho, en la fórmula para el MAthematica está así puesto.

    A ver si lo cambio.

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  3. No puedo de entender como pudo Ramanujan encontrar algo así.
    Por prueba y error sólo, no creo, es demasiado complicado, tuvo que tener una gran intuición matemática.
    Me sorprende cada vez que veo esta fórmula.

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  4. Parece que Ramanujan demostraba estas fórmulas basandose en ecuaciones modulares y que posteriormente se ha utilizado la teoría de funciones elípticas (las mismas en las que se basó Wiles para la demostración del UTF) para demostrar otras fórmulas generadoras de PI que Ramanuján ideó.

    De todas formas ya se sabe, que el decía que le inspiraba una diosa india, y parece ser que al levantarse por las mañanas se ponía a escribir lo que ya tenía en la mente y después comprobaba los resultados.

    Este hombre es como para volverse loco. :-)

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  5. Arreglaste el inicio de la iteración pero no la letra :-)
    (en lugar de k=0 debería ser n=0 )

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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