miércoles, 11 de marzo de 2009

XLV Olimpiada Matemática Española: Un problema de Geometría

El pasado Viernes 23 de Enero se celebró la primera Fase de la XLV Olimpiada Matemática Española. En Sevilla, tuvo lugar en la Facultad de Matemáticas, donde yo (hago como que) trabajo. Os dejo el siguiente problema (2º de la Primera Sesión) para que intentéis resolverlo.

En la siguiente figura aparece un cuadrante de circunferencia de radio AB=2, una semicircunferencia tangente interior de diámetro AB, y otra semicircunferencia tangente a ambas de diámetro CE. Calcular el radio CD de esta última circunferencia.


Espero vuestras respuestas.

Tito Eliatron Dixit

10 comentarios:

  1. Hecho. En la solución aparecen el 2 y el 3.

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  2. Agradezco que no hagas spoiler, pero cuando pase un poco de tiempo, deberías tratar de explicar tu solución.

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  3. Yo lo he solucionado (creo) igualando la longitud del segmento DC con la longitud del segmento DP, siendo P el punto de tangencia de las circunferencias centradas en D y en F.
    Con esto sale una sencilla ecuación de primer grado, cuya solución cuadra con la que sacaría uno mirando a ojo la figura de arriba.
    De hecho, si es así, me parece terriblemente fácil, la verdad...

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  4. Bueno, yo pienso que es 1/2 el radio pero, es como muy vaga esta solución iguale BA con CA y como CD y DE son iguales supongo que también lo sera EA XD divido entre 4 y listo, pero no creo que sea así seria muy fácil debe ser como dice Oscar usando ese punto de tangencia el fin, me gustaría saber cual es la solución.

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  5. A ojo, entonces, te sale que la solución es 2/3... que cuadra con la de Jorge.

    Pero no te fíes NUNCA de un dibujo, que pueden llevar a engaño.

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  6. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  7. Sí, la solución es 2/3.... ahora hay que dar el método.

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  8. Como bien dice ÓsQar, basta con notar que en punto de contacto los radios de los dos semicírculos deben ser perpendiculares a la tangente, y por lo tanto colineales.

    Entonces, llamando x al radio del semicírculo menor, notando que el radio del otro semicirculo es 1, nos queda un triangulo rectangulo de hipotenusa = 1+x , catetos 1 y AD.
    Pero AD = 2 - x.
    Reemplazando y aplicando pitágoras, obtenemos una ecuación cuadrática, de la cual sobrevive la parte lineal. Y resulta x=2/3

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  9. Perfecto, hjg, así es como yo lo planteé también.

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  10. Ya que éste se ha resuelto fácil, con permiso de Tito, me permito complicar el problema:
    Tracemos una recta tangente a los dos semicirculos CE y AB .No vale la que pasa por el punto común a los dos semicírculos, tiene que tocar un punto de cada semicírculo, para entendernos es una línea cuasiparalela (¡vaya disparate, perdonen!) a la recta CB
    Construyamos una circunferencia tangente a los dos semicírculos CE, AB y a la recta anterior. Será una circunferencia bastante pequeñita, y que queda dentro del semicírculo ABC

    ¿Que radio tendrá esa circunferencia?

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Si no comentas, Gauss se comerá una integral.
Y, por favor, respeta a todos con tus opiniones.

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