Moscas a cañonazos: raíces irracionalesde Fermat

La expresión matar moscas a cañonazos se utiliza cuando los medios usados para algún fin exceden con creces los límites de la racionalidad (para matar una mosca, basta con un matamoscas o incluso un periódico -de papel- enrollado). Pues bien, de esto mismo va esta minientrada: de racionalidad y de cañonazos.

En este blog ya hemos visto varias demostraciones de la irracionalidad de $\sqrt{2}$. En esta entrada vamos a centrarnos en la irracionalidad de $\sqrt[n]{2}$ para cualquier $n>2$. Y como no podía ser de otra forma, lo vamos a hacer a cañonazos.


Fijemos un número natural cualquiera $n>2$ y supongamos, por reducción al absurdo, que $\sqrt[n]{2}$ es racional. Esto quiere decir que existen $p,q\in{\mathbb N}$ tales que $\sqrt[n]{2}=\frac{p}{q}$.

Si ahora elevamos ambos miembros de esta ecuación a la $n$-ésima potencia, resulta que $2=\frac{p^n}{q^n}$, o lo que es lo mismo, $2q^n=p^n$. Pero, básicamente, esto quiere decir que

$$q^n+q^n=p^n$$

Y claro, el Último Teorema de Fermat (sí, ese que demostró Andrew Wiles) afirma que esta ecuación identidad es imposible en los naturales.

CAÑONAZO!

Por cierto, este argumento no es mío. Básicamente está extraído de aquí:

Back of the envelope proof that ∛2 is irrational pic.twitter.com/vSC17aAIUz

— Fermat's Library (@fermatslibrary) 13 de abril de 2017

Podríamos plantearnos exprimir este argumento para radicandos distintos de dos. Pero entonces pasa que si $\sqrt[n]{k}=p/q$ entonces $k\cdot q^n =p^n$ y para poder aplicar el UTF, lo más sencillo es tomas $k=2j^n$. Es decir, estaríamos diciendo que $\sqrt[n]{2j^n}$ es irracional, cosa que se deduce viendo que $\sqrt[n]{2j^n}=j\sqrt[n]{2}$ y estaríamos en el caso anterior.

¿Podríamos poner otro número, en lugar de 2? para ello, deberíamos tener una versión diferente del UTF.

Por ejemplo, si nos planteamos poner un 3, tendríamos que tener una versión del UTF pero con la ecuación $x^3+y^3+z^3=w^3$. Sin embargo, de ella ya se conocen soluciones enteras.

Podriamos pensar en alguna extensión del UTF, pero lo único que he encontrado es la Conjetura de Euler, quien se preguntaba lo siguiente:

Si es cierto que $\sum_{i=1}^n a_i^k=b^k$ para valores enteros de las bases, entonces debe ser $n\ge k$.

El caso $k=3$ es, esencialmente, un caso particular del UTF (no existe solución entera de la ecuación $a_1^3+a_2^3=b^3$). Se sabe que a conjetura es falsa para $k=4$ y $k=5$. Pero no se sabe nada de lo que ocurre para $k\ge 6$. Pero claro, con esto no podemos ir a ningún lado.

Tito Eliatron Dixit

PD:  Este post participa en la Edición 8.3 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es el Blog Semillas.