razón entre la longitud y el diámetro de una circunferenciaEn este artículo vamos a dar lo que se conoce como definición analítica del número π, es decir, a través del cálculo (integral, para más señas).
Partamos de la función
. Si derivamos la función, obtenemos que 
, por lo que podemos comprobar que se trata de una función creciente en el intervalo [0,1) (la derivada es positiva en dicho intervalo).¿Y por qué hacemos todo esto? pues muy sencillo, porque gracias a esta propiedad, sabemos que la función integral 
está perfectamente definida para cualquier valor de 
. Más aún, como la función 
es continua, entonces 
es derivable y su derivada es, exactamente, 
; todo ello gracias al Teorema Fundamental del Cálculo Integral.Así que partiendo de nuestra función
, hemos construido otra . Pero como la primera función no tiene sentido para 
, la segunda, en principio, tampoco. Aunque todo en esta vida tiene solución. Al igual que antes, como 
en [0,1), sabemos que es estrictamente creciente en dicho intervalo, por lo tanto, podemos garantizar que existe 
, pero claro, este límite puede ser un número (positivo) o 
.A continuación, vamos a comprobar que dicho límite es, en realidad, un número. Para ello, basta con acotar la función
como sigue:
,
si 
, entonces podemos seguir acotando de la siguiente manera:
En resumen, hemos visto que
siempre que . Así pues podemos definir 
y sabemos que 
.Ahora ya podemos definir analíticamente el número π de la siguiente forma
.Vale, Tito Eliatron, todo esto está muy bien argumentado y todo lo demás, pero... ¿no habrás definido un nuevo número π?
Pues no. Vamos a comprobar que esta definición de π coincide con el cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia. Vamos a partir de una circunferencia de radio r y vamos a tomar como origen de coordenadas, el centro de la circunferencia. De esta forma, la ecuación será
.Vamos a calcular la longitud de un arco de circunferencia, el que va desde el punto superior, a un punto intermedio del primer cuadrante. Fíjate en el dibujo de aquí abajo, en donde el arco rojo es al que vamos a calcularle la longitud:
Para calcular la longitud
(con 
) de dicho arco, acudiremos a la fórmula que dice que la longitud de la curva 
entre los puntos 
y 
es 
.Así que, si despejando
en la ecuación de la circunferencia (y cambiando 
por 
) tendremos que 
, por lo que 
. Por consiguiente, la longitud del arco de circunferencia será 
. Ahora sólo tenemos que dividir en numerador y denominador entre 
para obtener que 
. Si hacemos el cambio de variables 
, entonces 
, 
cuando 
y 
cuando 
. Así que 
, ya que si , entonces 
y está bien definido el valor 
.En resumen, hemos demostrado que
para cualquier valor . Como la longitud y la función 
son continuas, podemos ahora hacer que 
en la igualdad anterior, para obtener que 
(dado que tiende a la longitud de 1/4 de circunferencia, que hemos denotado por 
). Y como habíamos definido , obtenemos
Por tanto, nuestra definición analítica de π hace que coincida con el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, es decir, la definición clásica del número π.
Bueno, que tras todo este rollo que os he soltado, hemos visto una nueva forma de definir el número π a través de integrales, pero que, en definitiva, vuelve a ser la clásica y geométrica definición de cociente entre longitud y diámetro de una circunferencia.
Tito Eliatron Dixit.
PD: Esta entrada va a formar parte de la IV Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Zurditorium.
Referencias:
El número π y las funciones trigonométricas, Freniche Ibáñez F.J., apuntes de Análisis Matemático I del Grado en Matemáticas de la Universidad de Sevilla.
