Pon orden... si puedes

Foto extraída de luispita.com

Una de las ramas más interesantes de las matemáticas (por lo menos para el que os escribe) es la variable compleja. Ya hemos hablado varias veces en este blog sobre cosas que pasan allí (aquí o aquí). Pero en esta ocasión vamos a ir, quizás a lo más simple. Al primer hecho que debe hacer ver a cualquier estudiante que los complejos son diferentes. Que algo raro tiene que pasar con ellos.
En este artículo vamos a demostrar que los complejos no pueden ser un cuerpo ordenado.

Elemento neutro de un grupo: el monólogo de Clara Grima

¿Te gustan los grupos? ¿Te gustan las matemáticas? si has respondido que sí a alguna de las preguntas anteriores, e incluso si no lo has hecho, el siguiente vídeo que ha hecho la inigualable Clara Grima (sí, vamos, la Mati) en el que, en clave monologuista y utilizando símiles musicales, te explica claramente lo que es un elemento neutro de un grupo. Y desde luego que no te dejará indiferente.

La ecuación de segundo grado: encontrando la fórmula general o cómo completar cuadrados

Para un alumno de secundaria (de primer ciclo), uno de los primeros problemas (digámoslo así) serios a los que se enfrenta es la resolución de ecuaciones de segundo grado. Todos sabemos que existe una fórmula general para calcular las soluciones, pero... ¿realmente sabemos de dónde sale? En este artículo vamos a ver someramente cómo se llega a dicha fórmula y algunas versiones más sencillas en casos muy especiales.

Por qué 2 y 2 son 4.

Esto es verdad, como que 2 y 2 son 4

Si de algo se tacha a las matemáticas en la sociedad es de ser completamente exactas; de decir verdades como puños, vamos. Y si de verdades matemáticas hablamos, la primera que nos viene a la cabeza es lo que todos aprendemos de pequeños: 2+2=4.

Pero claro... cuando dices que eres matemático, una de las primeras cosas que te suelen preguntar es ¿y por qué 2+2=4? Para dar respuesta a esta intrigante pregunta está este pequeño post. Para que no se diga que los matemáticos dejamos cosas sin explicar. Eso sí, amigo. Para demostrar, habrá que pagar un precio. ¿Estás dispuesto a ello?

Ángel o Demonio

En estos días el ángel de la topología y el demonio del álgebra abstracta luchan por el alma de cada disciplina individual de las matemáticas.

Hermann Weyl, matemático alemán.
Vía Blog del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.

Hace tiempo, ya tuvimos por aquí una discusión en la que estaban involucrados el álgebra y los ángelos y los demonios. En este caso, traigo esta frase de Hermann Weyl en la que aparece también la topología... como demonio. Y en mi caso he de decir que hace tiempo que vendí mi alma (matemática) al diablo, ya que buena parte de los resultados que obtengo en mi investigación, tienen un marcado carácter topológico. Auqnue poco a poco voy tornando al camino recto del álgebra.

¿Y tú? ¿Eres un ángel o un demonio?

Tito Eliatron Dixit

La vida en estéreo

Con el álgebra podemos ver el mundo con un ojo, con la geometría podemos verla con el otro. Podemos darle las gracias a Descartes por permitirnos ver el mundo en estéreo.

@mathematicsprof.

Ciertamente, debemos a René Descartes el comienzo de la Geometría Analítica, que no es más que asignar a cada punto unas coordenadas numéricas. Éste fue el gran avance que propuso Descartes: unir, en un único concepto, entes geométricos con ecuaciones algebraicas, lo que fue el germen posterior del análisis, cálculo diferencial e integral y geometría diferencial, entre otras muchas cosas.

Según mi parecer, una frase acertadísima. ¿Y tú? ¿opinas igual?

Tito Eliatron Dixit

Álgebra y dinero

Esencialmente, el álgebra y el dinero determinan clases; la primera a nivel intelectual, el segundo a nivel práctico.

Simone Weil, hermana del matemático André Weil
vía Algo Rhiytmes

No estoy yo seguro de si sólo el álgebra genera clases intelectuales o son las Matemáticas en general, pero desde luego lo que sí lo genera es el conocimiento científico. Lástima que, como bien dijo esta filósofa francesa, en la práctica lo que determina las clases es Don Dinero.

Al menos se le reconoce a la Matemática un gran poder, en la sombra, pero poder.

Tito Eliatron Dixit

¡Vaya Cuerpo!

Pues no, no vamos a hablar de este tipo cuerpos, sino del concepto matemático de Cuerpo, es decir, de estructuras algebraicas. En particular, nos vamos a centrar en los cuerpos numéricos.

En principio, un cuerpo es una estructura algebraica sobre un conjunto de elementos (vulgarmente llamados cosas) en el que hemos definido 2 tipos de operaciones: la suma (+) y el producto (*). En principio, estas operaciones no tienen porqué ser lo que nosotros entendemos habitualmente por suma y producto, pero si nos centramos en el conjunto de los números, podemos pensar que son nustras bien conocida operaciones aritméticas básicas.

Pero claro, no basta con sólo tener las operaciones, sino que éstas deben cumplir una serie de propiedades. Vamos a fijar ideas. Un conjunto (X,+,*) (es decir, un conjunto y sus 2 operaciones) es un cuerpo cuando se cumplen las siguientes propiedades:

Con estas propiedades, y ya vamos a centrarnos en los Números el cuerpo más pequeño que se puede encontrar, con la suma y el producto habitual (y esto es tremendamente importante), es el Cuerpo de los Números Racionales.

En el siguiente nivel, se encuentra el cuerpo más utilizado por todos: el Cuerpo de los Números Reales. Incluso podemos extendernos un poco más y llegar al Cuerpo de los Números Complejos. Realmente este último conjunto, el de los complejos, es una extensión de los números reales para que la operación RADICAL (tomar raíz de índice cualquiera) tenga sentido. Básicamente, este cuerpo surge de partir de (R²,+), es decir, el plano con la suma habitual de vectores, e inventarse una operación, llamada producto (*), que cumple todas las propiedades de cuerpo. Este operación actúa de la siguiente forma: (a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc) Y si escribimos esta operación entre números complejos en su forma habitual, resulta que (a+bi)*(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i

incluir como número permitido la unidad imaginaria i=&radic-1 y trabajar con él, como si de una segunda coordenada se tratase.

Pero, ¿podríamos extender, de alguna forma, el concepto de número complejo alguna dimensión más? Realmente sí se puede. De hecho, podemos hablar de los Cuaterniones, que son a los Complejos, lo que éstos a los reales. Pero el problema que surge es que este conjunto NO tiene estructura de cuerpo. Y carece de ella, no por su propia definición, sino porque es imposible que la tenga, ya que allá por 1863, un tal Weierstrass probó un hecho interesante es el conocido como Teorema Final de la Aritmética, el cual afirma que para n≥3 es imposible dotar al grupo aditivo Rⁿ de una operación de producto (*) de modo que (Rⁿ,+,*) tenga estructura de cuerpo. En otras palabras, que por mucho que nos empeñemos, no vamos a poder encontrar una definición del producto que extienda al producto de números complejos y que cumpla todas las propiedades de Cuerpo anteriormente descritas.

Para concluir, vamos a volver un poco atrás, allá donde hablaba del

el cuerpo más pequeño que se puede encontrar...

Si nos olvidamos de las operaciones suma y producto estándar, el cuerpo más pequeño que se puede construir con números se suele llamar Z₂ y está formado por los 2 elementos neutros: {0,1}. Las operaciones suma y producto se definen como sigue:

• SUMA:
• 0+0=0
• 0+1=1+0=1
• 1+1=0
• PRODUCTO
• 0*0=0
• 0*1=1*0=0
• 1*1=1

Básicamente son las operaciones estándar, pero dentro de la Aritmética Modular, en donde, en este caso particular, 0=2=4=6=..., 1=3=5=7=...

En fin, que creo que ya nos hemos hartado de hablar de cuerpos. Si no te ha gustado el contenido de este artículo, al menos espero que hayas disfrutado con la imagen incial. Por cierto ¿has visto a la chica que hay tras la espiral?.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la Segunda Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Juan de Mairena [v.2.71828].

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Imagen extraída de la cuenta Flickr de Labregonet

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Cosas de profesores III: El origen de la palabra "pormenorizar"

Os pongo en situación. En una clase de álgebra básica, estaba yo explicando a mis alumnos cómo se calcula el rango de una matriz cualquiera. Como bien sabréis, para calcular el rango de una matriz, se pude recurrir, bien al método de Gauss, bien, si la matriz no es muy grande, por la propia definición: buscar menores (dentro de la matriz) distintos de cero.

Y aquí es donde viene la frase que se me escapó el año pasado:

Así que también podéis calcular el rango de una matriz, por menores. Y de aquí viene la palabra "pormenorizar".

Ni que decir tiene, que el origen de pormenorizar, no es éste ni mucho menos. Pero claro, en ese momento todos los alumnos intercambiaron miradas entre inocentes, enigmáticas y socarronas.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Si eres profesor, has soltado alguna perla como esta y no te importa compartirla, házmelo saber y aparecerá en futuras entregas de Cosas de Profesores. Incluso si eres alumno y has presenciado alguna ida de olla de tu profesor, compártelo con el mundo a través de Tito Eliatron Dixit.

Para contactar conmigo, puedes hacerlo escribiéndome a eliatron{AT}gmail.com.

¿Ángeles o Demonios?

Trasteando por internet, llegué a la página de una antigua compañera (no, ella no es la antigua) y me topé con esta pequeña discusión acerca del origen del Álgebra:

Dios: AHH! Álgebra. ¡Una de mis más maravillosas creaciones!
Demonio: ¿TU creación?

Desacuerdo sobre el origen del álgebra.

Y vosotros, ¿qué opináis? ¿es el álgebra una creación divina o demoníaca?

Tito Eliatron Dixit.