Un problema de porcentajes con aplicación

Hace unas semanas propuse por Twitter un problema sobre porcentajes, que a continuación os copio:

En un pueblo hay dos colegios. En el primero, al 42% de los alumnos les gustan las matemáticas, mientras que en el segundo, esto solo ocurre para el 38% de los alumnos. En total, ¿a qué porcentaje de alumnos de ese pueblo le gustan las matemáticas?

Las matemáticas de la homeopatía

¿Alguno de mis lectores sabe de homeopatía? Bueno, yo no sé demasiado, pero sí que sé dónde aprender Qué es la Homeopatía de una forma racional.

La web que os he enlazado es una idea original de Rinze, autor de Las Penas del Agente Smith y FerFrias, autor de El Fondo del Asunto pero que se ha convertido en un proyecto común de los colaboradores y autores de Amazings.

Tan sólo os quiero rescatar una parte de la información que se puede encontrar allí sobre la homeopatía que está muy relacionada con las matemáticas.

La homeopatía clásica se define habitualmente como el sistema médico basado en el uso de cantidades diminutas (inifinitesimales) de sustancias que en grandes dosis producirían síntomas parecidos a los de la enfermedad que está siendo tratada.

y su origen se remonta al médico alemán Christian Friedrich Samuel Hahnemann. Según su procedimiento, la forma de preparar una dilución homeopática consistía en añadir a 1 ml de sustancia original, 99 ml de agua. Esto se conoce como 1 centesimal de Hahnemann (CH) y corresponde, si las matemáticas no me fallan, con una solución al 1%, es decir, .

Una dilución homeopática de 2CH se conseguiría añadiendo 1 ml de la dilución 1CH con 99 ml de agua. Matemáticamente, tendremos una solución de , es decir del 0'01%. Y así sucesivamente.

Cualquier matemático se dará cuenta que, por un proceso inductivo, una dilución de CH correspondería con una solución de , es decir, . Y claro todo el mundo (matemático) sabe que la sucesión tiende muy rápido a 0. Así que, por ejemplo un medicamento con una dilución de 12CH (que por lo visto es algo medio, es decir, ni mucho ni poco, en homeopatía) contiene una solución al 0,000000000001% o lo que es lo mismo, hay 1 molécula de principio activo por cada , es decir 1 entre 1 cuatrillón.

En fin, yo sólo sé un poco de Matemáticas y a ellas me remito para darme cuenta que esto de la homeopatía no parece que sea de por sí muy efectiva.

De todas formas, os remito a la web Qué es la Homeopatía y a los enlaces que en ella podréis encontrar, para que vosotros mismos os creéis (de crear) vuestra propia opinión, que es lo que nos hace seres racionales.

Tito Eliatron Dixit

PD: No soy muy amigo de participar en iniciativas de este tipo sobre las que, habitualmente, no sé más que la mayoría. Pero este es un caso especial por razones muy personales. Y porque con la lectura de la web referenciada y sus matemáticas, he aprendido y me he creado mi propia opinión.

RENFE ¿"timador" o "timado"? Porcentajes y descuentos

Pues sí, amiguitos, vamos a hablar de RENFE, pero no de su web (que eso es harina de otro cantarcostal), sino de los descuentos que ofrece en ella.

No, esto no es un post patrocinado (pero si RENFE lo estimara oportuno, uno está abierto a escuchar ofertas.... ¿no? pues nada, sigamos). Vamos a hablar de cómo renfe aplica ciertos descuentos y a darnos cuenta que no es del todo verdad lo que dice.

Vamos a centrarnos en viajes de larga distancia (un AVE Sevilla Madrid, por ejemplo) de ida y vuelta. Tal y como anuncian en su propia web el descuento es del 20%. Pero ¿cómo hacen este descuento?

Uno, ingenuo él, podría pensar que suman el importe del billete de ida y el del billete de vuelta y a esa suma le hacen el 20% de descuento. Lo cierto es que no suelen hacerlo así. En realidad te cobran íntegro el importe del viaje de Ida, y te hacen el 40% en el de vuelta. Yo supongo que esto lo harán por si alguien compra una Ida y, después, decide hacer la vuelta, pero bueno, que tampoco es que lo entienda mucho.

Pero dejémonos de zarandajas y pasemos a las matemáticas. En un principio, a un comprador incauto (o no tato) le podría parecer que ambos métodos son exactamente iguales. Craso error.

Para que ambos métodos arrojen el mismo resultado, el importe de la ida y de la vuelta deben ser iguales. En otro caso, no coinciden.

Vamos a comprobarlo. Supongamos que es el importe del billete de ida y que es el importe del de vuelta. Por el primer método explicado (el de hacer un 20% a la suma) tendríamos que pagar , mientras que por el segundo método (nos hacen el 40% en el de vuelta) tendremos que pagar . Para ver cuándo coinciden, sólo hay que igualar y resolver: o lo que es lo mismo . Si ahora pasamos las al primer miembro y las al segundo, se obtiene que , que en definitiva se reduce a que .

Y aquí es donde está la trampa. En muchas ocasiones, es posible comprar billetes de Ida y Vuelta en la que los precios no coincidan (por elegir en unoTurista y en otro Preferente, o bien porque elegimos tarifas diferentes).

En estos casos, ¿qué conviene más? Si usamos el Método RENFE (40% en la vuelta) será más ventajoso siempre que , mientras que si da la casualidad que , nos convendría más que nos cobraran el método 1 (20% a la suma).

En efecto, si , entonces , o lo que es lo mismo, , de donde , es decir, si la Ida es más cara que la vuelta, el método RENFE es más caro que hacerte un 20% en ambos trayecto. Por tanto, podrías reclamarles ya que te estarían "timando" ¿no?

Así que mi consejo matemático de hoy es que, si después de intentarlo mucho, logras comprar billetes a través de la web de RENFE, procura que el viaje de Ida sea más barato que el viaje de Vuelta, ya que así RENFE te estará haciendo un descuento superior al 20%, por lo que tú serías ahora el "timador".

Para que luego digan que las Matemáticas no sirven para nada. Sirven para "timar" a la RENFE.

Tito Eliatron Dixit

PD aclaratoria: este artículo sólo pretende mostrar una curiosidad matemática relacionada con porcentajes. En ningún momento se pretende desprestigiar a RENFE, ya que, supongo, la forma que tienen de aplicar los descuentos será perfectamente legal y estará escrita en algún lugar de su web (aunque yo, torpe de mí, no lo encentre). El uso de la palabra "timar" se hace de forma entrecomillada para hacer constar lo anteriormente dicho.

PD2: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.

Matemáticas desde el Chiringuito: el IVA

Puf, perdonad el retraso en la publicación de esta ración semanal de chiringuito, pero el Tito Eliatron se ha llevado el Chiringuito a otro lugar... y claro, ha habido que desmontarlo y volverlo a montar, pero bueno, ya estamos aquí otra vez.

En esta semana, el dueño me comentó que había tenido un grave problema con un cliente, que le había puesto una hoja de reclamaciones y que no sabía cómo lo iba a solucionar.

Resulta, me comentó el dueño, que a principios de julio, con esto dela subida del IVA y todo lo demás, decidió hacer una promoción del día sin IVA (esto me suena de algo, pensé). Así que ese día hizo un descuento equivalente al 18% de IVA correspondiente.

Pero claro, llegó un cliente y le dijo que le estaba estafando, que esto era publicidad engañosa. Que a él le habían pasado una cuenta de 11'80€ (IVA incluido) y que había tenido que pagar 10€... y claro, un descuento de 1'80€ en su cuenta NO era un 18%, y que el descuento del 18% del IVA tenía que ser de 2'12€, y aún así, me estaba regalando 0,4 céntimos (literalmente).

El dueño se me echó a llorar diciéndome que una reclamación así haría que el año siguiente no le dieran la licencia de apertura (OH! NO, pensé) y que iba a ser la ruina suya y de su familia si no encontraba una forma de parar el asunto.

En seguida me eché a reir y, tras un rato haciéndole cuentas al dueño del chiringuito, le hice ver que era él mismo el que estaba siendo estafado por el cliente. Así que no tuvo más remedio que volver a invitarme por esta semana a cañas y sardinas.

¿Sabéis dónde estaba el error del cliente?

Tito Eliatron Dixit

Porcentajes y pendientes: el seno o la tangente

Cualquier persona que se haya sacado el carnet de conducir, o incluso alguien que circule por carretera y tenga un mínimo de curiosidad, sabrá perfectamente el significado de las señales de tráfico que abren este artículo. ¿Seguro que lo saben? ¿Y tú, lector, estás seguro de conocer el significado de esta señal?

Según la D.G.T. se trata de subida y bajada con fuerte pendiente respectivamente (la cifra indica la pendiente en porcentaje). Y ahora llega el punto central de este artículo ¿qué significa "pendiente"? o mejor dicho ¿cómo se calcula la pendiente?

Matemáticamente hablando (que para eso esto es un blog de matemáticas) la pendiente de una recta es la razón (cociente) que existe entre la distancia vertical recorrida y la distancia horizontal. Si pensamos en un triángulo como el de la imagen siguiente
la pendiente será p=v/c, o lo que es lo mismo, p=tan(α). De todas formas, es mucho más corriente, para cuestiones topográficas, expresar la pendiente de una carretera en forma de porcentaje. En este caso, la pendiente será p=(v/c)·100, y el número resultante se expresará en tanto por ciento. Y aquí es donde comienzan los problemas.

Estamos habituados a que un porcentaje suele ser un valor entre 0 y 100, donde 100% representa el máximo posible. Pero en este caso y según esta definición, ¿qué significa una pendiente del 100%? ¿una recta vertical? No. Una pendiente del 100%, según la definición, es aquélla en donde la distancia vertical recorrida coincide con la distancia horizontal, en definitiva, una pendiente de 45º. ¿Y cómo se representa una recta vertical? Estrictamente hablando, en una recta vertical, la distancia horizontal es 0, mientras que la vertical es la que sea; por lo que p=100 v/0, y podemos entender que se corresponde con una pendiente ∞%.

Así que ya sabemos lo que significa, matemáticamente hablando, el numerito (en porcentaje) que aparece en las señales de grandes pendientes. Otra cosa es cómo se calcula es número, porque el método puede resultar complicado. Pensemos que para calcular una pendiente vamos a necesitar la distancia vertical y la horizontal, pero... ¿cómo calculamos la horizontal? ¿atravesamos el suelo? porque el porblema es que nosotros sólo podemos movernos por la carretera, es decir, por la hipotenusa del triángulo rectángulo.

Así que en la práctica (obviando la utilización de la moderna tecnología de los GPS, y aplicando métodos manuales) sólo podemos calcular la distancia verctical y la distancia total recorrida, es decir, en el triángulo rectángulo de antes (lo vuelvo a poner) sólo podremos conocer v y d. Por lo tanto, y repito de nuevo, en la práctica vamos a calcular la pendiente utilizando la fórmula p=v/d=sen(α).

Pero claro, esta forma de proceder provoca errores. Sin embargo, para ángulos pequeños, estos errores son también muy pequeños, dado que cerca del 0, el x y sen(x) son tremendamente parecidos, tanto que lim_x->0sen(x)/x=1. ¿Y cómo de pequeños han de ser los ángulos para que el error sea también pequeño? Pues aquí debajo os dejo una pequeña hoja de cálculo en la que tenéis los ángulos desde 0º a 90º, la pendiente (usando la tangente) y la aproximación (usando el seno).


Si no ves nada aquí arriba, consulta el Documento siguiendo el enlace anterior.

Como podéis comprobar, para ángulos de hasta 15º, el error cometido es menor que el 1%. De todas formas, en muy raras ocasiones nos vamos a encontrar con carreteras cuya pendiente sea superior al 20%, en este caso, estaríamos hablando de ángulos de unos 11º o 12º, por lo que el método del seno es una muy buena aproximación.

En resumen, en este artículo hemos aprendido qué es la pendiente de una recta (o carretera), qué significa el porcentaje que aparece en las señales de la DGT, así como el método más rápido para calcular la pendiente de una recta. También nos hemos dado cuenta de que una pendiente del 100% no significa una pendiente vertical, sino un ángulo de 45º (según la definición matemática de pendiente). Así que ya sabéis, incluso en la carretera hay matemáticas.

Tito Eliatron Dixit.

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REFERENCIAS:
Cálculo de la Pendiente, de la web Altimetrías de puertos de montaña.
Métodos de cálculo de la dificultad de un puerto de montaña, de la web Ciclistas Sierra Sur de Jaén.
Grade (Slope), artículo de Wikipedia en Inglés sobre la pendiente.


Imagen inicial editada de originales (descendente y ascendente) extraídos de la Wikipedia (contenido libre).
Resto de imágenes y material creados por el autor.

Matemáticas desde el Chiringuito: El empleado listillo

Hola a todos de nuevo. Este fin de semana ha sido bastante provechoso. De hecho he llegado a conocer al dueño del chiringuito y, gracias a mis habilidades con las matemáticas, me he ganado una ración de sardinitas con sus cañas diarias por ayudarle en un entuerto.

Resulta que el dueño contrató el lunes pasado a un nuevo camarero un tanto listillo. Convino con el dueño un sueldo fijo y, también, que éste aumentaría o disminuiría proporcionalmente a los precios de los refrescos del chiringuito al final de cada semana. En el momento de la firma, cada refresco costaba 1'20€.

El sábado, el camarero listillo (ya se le ha quedado el apodo), convenció al dueño, ante la presunta avalancha de clientes del fin de semana, de que subiera los precios de los refrescos a 1'50€. En un principio, eso supondría un aumento de sueldo para el camarero de un 25% al final de la semana, pero le convenció al dueño con la cantinela de los ingresos extras que iba a suponer de la venta de refrescos.

Cuando cerró el chiringuito este sábado y el dueño hizo cuentas, comprobó que las ventas de refrescos habían bajado considerablemente y que no le compensaba nada la subida de precios, por lo que el domingo decidió vovlerlos a dejar como estaban, es decir, a 1'20€. Así, el nuevo camarero no vería aumentado su sueldo.

Pero el listillo le dijo: "Usted subió de 1'20€ a 1'50€, con lo que mi sueldo debería aumentar un 25%. Pero como después volvió a bajar a 1'20€, ésto supondría una bajada de mi sueldo de un 20%. Por lo tanto si sube un 25% y baja un 20%, en total mi sueldo debe aumentar un 5%."

El dueño desconcertado ante estos cálculos no sabía qué hacer. Como yo estaba escuchando todo, le propuse que le libraría del listillo a cambio de una ración de sardinas y un par de cañas al día.

Hoy ya estoy degustando tan exq1uisito manjar veraniego junto con unos amigos. ¿Cómo lo hice?

Tito Eliatron Dixit

Ofertas: porcentajes y aritmética modular

¿Para qué voy a a prender matemáticas? si, total, no sirven para nada.

¿Cuántas veces habré oído esta frase a todo tipo de personas? Cuánta ignorancia! Si incluso este analfabetismo matemático tiene precio: 44.000 Libras por persona y año (en Reino Unido). Pero el motivo de esta entrada no es criticar, sino demostrar que las Matemáticas están a la orden del día, y más en época de crisis y rebajas.

Todo comenzó cuando una compañera, profesora de Matemáticas de Secundaria, me comentó el problema que les iba plantear a sus alumnos con respecto a los porcentajes:

En una tienda (llamémosla A) hay una oferta del tipo 3x2, mientras que en la tienda B hay un 30% de descuento en todos los artículos. ¿Dónde es mejor comprar?

Ajá! conque las Matemáticas no servían para nada, ¿eh?, aquí te quiero yo ver ahora. Parece un simple problema de cálculo de porcentajes y, de hecho, así estaba planteado. Lo que mi compañera no recordaba es que mi mente es demasiado truculenta para estas cuestiones y mi respuesta fue, evidentemente, DEPENDE.

¿Cómo que depende? diría alguien que no lee habitualmente este blog. Pues sí, DEPENDE.

En un principio, uno puede pensar que en la Tienda A, al haber una oferta 3x2, pagas 2 y te llevas 3, es decir, hacen de facto un descuento del 33'33%, mientras que la Tienda B sólo hace un descuento del 30%. Por lo tanto habría que ir a comprar a la Tienda A.

Pero mi razonamiento, y supongo que el tuyo también querido lector, es el siguiente. Todo lo anterior es perfectamente válido si uno quiere adquirir exactamente 3 (o un múltiplo de 3) artículos iguales, pues, en tal caso, sólo he de pagar 2 y mi descuento es, efectivamente, del 33'33%. Pero ¿qué ocurre si quiero adquirir exactamente 4 artículos? Esta situación hay que pensarla un poquito.

En la Tienda A, la del 3x2, harían la transacción de la siguiente manera: 3 artículos se beneficiarían de la oferta 3x2, mientras que el 4º habría que pagarlo individualmente. Por lo tanto, pagaré 3 artículos y me llevaré 4, por lo que el descuento efectivo será de un 25%. Mientras que en la Tienda B, cogerían los 4 artículos y harían un descuento del 30% sobre el total de ellos (o sobre cada uno de ellos), por lo que me sería más rentable comprar en la Tienda B. Por cierto, el mismo razonamiento es válido si quiero comprar un número de artículos que sea múltiplo de 3, +1, es decir, si el número de artículos es 1 (módulo 3).

¿Y si sólo quiero comprar 2 artículos? Bueno, en este caso dependerá de las necesidades de cada uno. Me explico. En la Tienda A es técnicamente imposible comprar 2 artículos, pues al pagar 2, automáticamente te regalan el 3º (vamos a suponer que las tiendas son totalmente lógicas y consecuentes), en definitiva, consigues un descuento del 33'33%, pero también te llevas un artículo de más (¿lo necesitarás algún día?). Sin embargo, en la Tienda B al comprar 2 artículos te siguen haciendo un descuento del 30% y no te obligan a llevarte un artículo de más. Así que, en este caso (caso en que quieras adquirir un número de artículos que sea igual a 2 módulo 3) dependerá de la naturaleza de lo que necesites comprar, porque... si es leche, por ejemplo, tarde o temprano necesitarías la 3ª botella, mientras que si son libros (a lo mejor quieres comprar 1 libro para ti y el mismo libro para un regalo) ¿para qué podrías querer 3 libros idénticos?.

En fin, que lo que en un principio era un simple problema sobre porcentajes, se acabó convirtiendo en una curiosa forma de introducir la aritmética modular a chicos de secundaria y de hacerles ver que las Matemáticas sirven para ayudar a la economía doméstica en tiempos de crisis