p>Una de las sucesiones numéricas más interesantes es la de los inversos de los naturales
![(1/n)_{n\in{\Bbb N}} [;(1/n)_{n\in{\Bbb N}};]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_udtCUqX08ZGu65cldejMez3Af5osAF7fXJseq5Oi7g0RYfA893nuXcvE11uNhlV57W1OTG6dLp0vgaWwwoRGKosq7BBXkO8LxcRA2UMmFilt7yq3PZ0h8SZPLGi6SFIn7Svt16fw=s0-d)
. La suma de todos estos número, la serie numérica, se conoce como
serie armónica y no es demasiado complicado (es un ejercicio de primero de carrera científica) comprobar que esta serie es divergente, es decir, que su suma es infinita.
Para estudiar una serie, lo que se suele
mirar es su sucesión de sumas parciales, es decir, vamos viendo cuál es la suma de los
![n [;n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sBxivmhjOXY2MoJosS-fObzogNyPFU-UyM-dPniJyaierLwOtRiAu4T9mUDZkZoJNRq1yZVzUkcHqIS8VmqZaBVVRsoM_y=s0-d)
primeros términos. En el caso de la serie armónica, esta suma parcial es
![H_n:=1+1/2+\cdots+1/n [;H_n:=1+1/2+\cdots+1/n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sOqVO2-ua0kX4yUhbkSkLp_itb9CZ_CV2trNKIYHe0DTi4ZgbksIK_6-v8ZefydNL2OtpGx9_dCYbNpT5ULT09qeOBuhfvi-FLOryg0lMq7bzXJXdYq4vqzvgPbw=s0-d)
y habitualmente se la conoce como el
enésimo número armónico.
Una vez hechas las presentaciones de los protagonistas, vamos a presentar el problema. Es evidente que
![H_1=1 [;H_1=1;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_uTpqVGYZl72SP4SQqSh3oL7Liob3zb7jhOUPbnC6USsjq4O1WjMIW-FGpcKQmNCSW9lE-lPPbtHhhJxS_9fDjURxQDe-B8tW0KGQ=s0-d)
, pero ¿habrá algún otro número natural
![n\ge2 [;n\ge2;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_smKldBL9WGZWlHMuPFE_ozxlgw0f_P55tIacYqYEu9jCRhkvpoSeCJBbilHMoKs_wMDIw1LukaD1mmYEH0KgH0zm1ik0rJWWOEsjkh=s0-d)
tal que
![H_n [;H_n;]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s9BIxUjmUc3afMnflt82uZeZDBhfEhncEsRu8mTxE4K0o6PhYCvxvFNloHG5XJUjO1B0sgBVcoP_XItN4LToBwiojiY2afGro=s0-d)
sea, de nuevo, un número natural? Os adelanto la respuesta:
NO.
En el presente artículo vamos a demostrar este hecho y comprobaremos que se trata de uno de esos problemas que son muy sencillos de plantear, pero cuya solución es más complicada de lo que
a priori se podría pensar.