La ¿prueba? del 9

Cuando era aún un proyecto de matemático y estaba en primaria (hace ya algunos años) mis profesores me enseñaron a hacer divisiones (¡sin usar calculadora!). ¿Cómo sabíamos si la división estaba bien hecha? Pues era fácil. Recurríamos a la prueba de la división, que consistía en multiplicar divisor por cociente, sumar el resto y comprobar que el resultado era el dividendo. Pero claro, cuando las divisiones eran con cifras con muchos dígitos (3, 4 o más) hacer la comprobación era un ejercicio peor y más tedioso que la división en sí. Por ello, alguna mente privilegiada tuvo la genial idea de inventar otra prueba mucho más simple y fácil de ralizar: La Prueba del Nueve. Y de ella vamos a hablar hoy, aunque quizás haya sorpresas, ya que hoy por hoy (y de hecho, ayer por ayer) ya no se explica.

Vamos a recordar la terminología básica de la división (por si alguien es algo dememoriado). Llamaremos Dividendo al número que queremos dividir; el divisor será el número entre el que queremos dividir; el cociente será el resultado sin decimales, y el resto será lo que sobra. La forma habitual de escribirlo (al menos en España) es la siguiente:

donde D representa al Dividendo, d al divisor, c el cociente y r el resto.

La prueba ordinaria (implícita en el concepto de división) consistía en comprobar que D=d·c+r. Pero claro, cuando dividendo, divisor eran números grandes, la tarea se complicaba. Hasta que nos enseñaban la Prueba del 9.

Esta fácil prueba consistía en lo siguiente. Hacemos dos aspas en el papel bien grandes. Cogemos el divisor y sumamos sus cifras y vamos restándole 9 hasta que el resultado sea un número entre 0 y 8; este resultado, que nosotros llamaremos d₉, lo escribimos en la parte superior del aspa. Repetimos el mismo proceso, pero partiendo ahora del cociente, obteníendose el número c₉ que lo escribiremos en la parte de abajo del aspa. En la parte izquierda escribiremos D₉, que es la misma operación aplicada al Dividendo. Finalmente, repetimos el proceso con el resto, obteniéndose r₉ y en la parte derecha del aspa escribimos d₉·c₉+r₉, y restando tantas veces el 9 como sea necesario hasta obtener un número menor que 9. Algo parecido a lo que veis en el dibujo de abajo:
Si la parte izquierda y derecha del aspa coincidían, nuestra división habrá pasado La Prueboa del 9. Pero es mejor que comprobéis en el siguiente ejemplo (si no lo véis bien, click para ampliar):


Parece que queda claro el mecanismo de esta prueba, pero... ¿porqué funciona? Pues esta prueba funciona, básicamente, por 3 motivos. El primero de ellos es matemático y se basa en la aritmética modular. Si a y a' tienen el mismo resto al dividir entre 9, es decir, a=a' (mod 9) y, análogamente, b=b' (mod 9), entonces a+b=a'+b' (mod 9) y a*b=a'*b' (mod 9). El segundo motivo es la facilidad con que se calcula el resto de dividir entre 9: sumar las cifras del número e ir restando 9 hasta que no se pueda más. En efecto, como cualquier potencia de 10 es un múltiplo de 9 más 1 (10=9+1; 100=99+1; 1000=999+1;...), entonces cualquier número (de 4 cifras para abreviar) puede escribirse como abcd=d+10c+100b+1000a, por lo tanto abcd (mod 9)= d+10c+100b+1000a (mod 9) = d+c+b+a (mod 9).

Cualquier lector un poco ducho en la materia comenzará a tener sospechas, y con razón. Todo lo que hemos hablado funciona en un único sentido: Si una igualdad es cierta, entonces también es cierta módulo 9. El problema es que al revés no funciona: hay muchos números que tienen el mismo resto módulo 9, con lo que La Prueba del 9 puede pasarse aun habiéndonos equivocado en las cuentas.

Como observaréis, he hablado de que esta prueba funcionaba por 3 motivos y sólo he planteado 2. El tercer y último motivo por el que la prueba funciona es que cuando nos equivocamos al hacer este tipo de cuentas, los errores son en una cifra; digamos que nos solemos equivocar por poco. Luego entonces, habría que ver cuándo falla La Prueba del 9. Es fácil darse cuenta que 2 número con 2 cifras intercambiadas tendrán el mismo resto módulo 9, por ejemplo 147 y 174. También si en un número sustituimos un 0 por un 9 o viceversa, como por ejemplo 191 y 101 (recordad que hacer resto módulo 9 es sumar las cifras e ir restando 9).

Por lo tanto esta prueba no es infalible. Hay divisiones mal hechas que superan La Prueba del 9, como por ejemplo: 1911:13=174 y resto 0 (comprobadlo vosotros mismos). En general, si una división está bien hecha, seguro que superará La Prueba del 9, pero si una división está mal hecha, puede que la pase o puede que no. Lo que también es cierto es que si una división no supera La Prueba del 9, entonces seguro que está mal hecha. Digamos que, en resumen, esta prueba sólo nos sirve para detectar si hemos dividido mal. Supongo que este es el motivo por el que se dejó de utilizar en las escuelas esta prueba en beneficio de la tradicional, que esta sí que es infalible.

Tito Eliatron Dixit.

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REFERENCIAS:

• Prueba del Nueve en Wikipedia.


• De la prueba del 9 (PDF, 36 Kb), artículo de Carlos Fernández, del IES Aramo de Oviedo.


• La prueba del 9 (PDF, 96 Kb), artículo de Pedro Rupín, de la web El Agujero.
• Tradición familiar

Aritmética modular y Semana Santa

¿Qué tiene que ver una festividad católica con la aritmética modular? ¿Por qué la Semana santa cambia tanto de fecha? Ambas preguntas están estréchamente relacionadas.

Comencemos con un poco de historia. La Semana Santa es una festividad católica que tiene como colofón el Domingo de Resurrección o Pascua de Resurrección, y es ese preciso día el que marca todas las festividades católicas con fecha variable. Pero olvidemos por unos momentos las reminiscencias religiosas y quedémonos con la cuestión en sí del cálculo de dicha fecha.

De todos es sabido que la Semana Santa va cambiando (y bastante) de fechas y esta fecha viene determinada por la de la Pascua (cristiana). Por tanto, la pregunta es ¿cómo se define esta pascua? Tras muchas discusiones y concilios en el seno de la Iglesia, finalmente fue Dionisio el Exiguo (en el año 525) quien consiguió unificar el cálculo de la pascua cristiana. Para ello hay que partir de ciertas premisas:

• La Pascua ha de caer en domingo.


• Este domingo ha de ser el siguiente a la primera luna llena de la primavera boreal. Si esta fecha cayese en domingo, la Pascua se trasladará al domingo siguiente para evitar la coincidencia con la Pascua judía.


• La luna pascual es aquella cuyo plenilunio tiene lugar en el equinoccio de primavera del hemisferio norte o inmediatamente después.


• Este equinoccio tiene lugar el 21 de marzo.


• Llamamos epacta a la edad lunar. En concreto nos interesa para este cálculo la epacta del año, es decir, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar. O dicho más fácilmente, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero del año cuya Pascua estamos calculando. Este número —como es lógico— varía entre 0 y 29.

En fin, mucha palabrería y nada de matemáticas hasta ahora. Como podréis suponer, el cálculo de la Pascua cristiana es ciertamente tedioso, a partir de dichas premisas y ha supuesto un gran problema.

Durante años han surgido diferentes métodos para calcular esta fecha, incluso durante el Renacimiento se extrajeron tablas de cálculo para la Pascua en función del número de oro φ. Hoy en día la fórmula más sencilla de calcular esta fecha es mediante la fórmula desarrollada por Gauss. Él, quien sino, propuso un sencillo algoritmo para el cálculo efectivo de esta fecha a través de la aritmética modular. Pero para ello necesitaremos ciertas variables.

Llamemos A al año para el que queramos calcular la Pascua. Llamemos M=24 y N=5 (dependiendo del siglo en el que esté A, los valores de M y N cambiarán, cf Wikipedia).

Sea a=A mod 19.
Sea b=A mod 4.
Sea c=A mod 7.
Sea d=19a+M mod 30.
Sea e=2b+4c+6d+N mod 7.

Entonces:

• Si d+e<10, entonces la Pascua será el día d+e+22 de Marzo.


• Si d+e>9, entonces la Pascua será el día d+e-9 de Abril


• Si la fecha obtenida es el 26 de Abril, entonces la Pascua se adelanta una semana y será el 19 de Abril.


• Si la fecha obtenida es el 25 de abril, con d=28, e=6 y a>10, entonces la Pascua se adelanta 1 semana y caerá en el 18 de abril.

Veamos un ejemplo de cómo funciona, comprobando la Pascua para el presente año, es decir, con A=2009. En este caso:
a=2009 mod 19, es decir, a=14.
b=2009 mod 4, es decir, b=1.
c=2009 mod 7, es decir, c=0.
d=19a+M mod 30, en este caso, d=290 mod 30, es decir, d=20.
e=2b+4c+6d+N mod 7, en este caso, e=127 mod 7, es decir, e=1.
Como d+e=21>9, la Pascua será el día d+e-9=12 de Abril, que es, precisamente, el próximo Domingo.

En fin, en el artículo de la Wikipedia sobre cáluclo de la fecha de Pascua, en el que se basa esta entrada, podéis encontrar programas en diferentes lenguajes de programación para calcular estas fechas, así como más datos al respecto.

Tito Eliatron Dixit.

Ofertas: porcentajes y aritmética modular

¿Para qué voy a a prender matemáticas? si, total, no sirven para nada.

¿Cuántas veces habré oído esta frase a todo tipo de personas? Cuánta ignorancia! Si incluso este analfabetismo matemático tiene precio: 44.000 Libras por persona y año (en Reino Unido). Pero el motivo de esta entrada no es criticar, sino demostrar que las Matemáticas están a la orden del día, y más en época de crisis y rebajas.

Todo comenzó cuando una compañera, profesora de Matemáticas de Secundaria, me comentó el problema que les iba plantear a sus alumnos con respecto a los porcentajes:

En una tienda (llamémosla A) hay una oferta del tipo 3x2, mientras que en la tienda B hay un 30% de descuento en todos los artículos. ¿Dónde es mejor comprar?

Ajá! conque las Matemáticas no servían para nada, ¿eh?, aquí te quiero yo ver ahora. Parece un simple problema de cálculo de porcentajes y, de hecho, así estaba planteado. Lo que mi compañera no recordaba es que mi mente es demasiado truculenta para estas cuestiones y mi respuesta fue, evidentemente, DEPENDE.

¿Cómo que depende? diría alguien que no lee habitualmente este blog. Pues sí, DEPENDE.

En un principio, uno puede pensar que en la Tienda A, al haber una oferta 3x2, pagas 2 y te llevas 3, es decir, hacen de facto un descuento del 33'33%, mientras que la Tienda B sólo hace un descuento del 30%. Por lo tanto habría que ir a comprar a la Tienda A.

Pero mi razonamiento, y supongo que el tuyo también querido lector, es el siguiente. Todo lo anterior es perfectamente válido si uno quiere adquirir exactamente 3 (o un múltiplo de 3) artículos iguales, pues, en tal caso, sólo he de pagar 2 y mi descuento es, efectivamente, del 33'33%. Pero ¿qué ocurre si quiero adquirir exactamente 4 artículos? Esta situación hay que pensarla un poquito.

En la Tienda A, la del 3x2, harían la transacción de la siguiente manera: 3 artículos se beneficiarían de la oferta 3x2, mientras que el 4º habría que pagarlo individualmente. Por lo tanto, pagaré 3 artículos y me llevaré 4, por lo que el descuento efectivo será de un 25%. Mientras que en la Tienda B, cogerían los 4 artículos y harían un descuento del 30% sobre el total de ellos (o sobre cada uno de ellos), por lo que me sería más rentable comprar en la Tienda B. Por cierto, el mismo razonamiento es válido si quiero comprar un número de artículos que sea múltiplo de 3, +1, es decir, si el número de artículos es 1 (módulo 3).

¿Y si sólo quiero comprar 2 artículos? Bueno, en este caso dependerá de las necesidades de cada uno. Me explico. En la Tienda A es técnicamente imposible comprar 2 artículos, pues al pagar 2, automáticamente te regalan el 3º (vamos a suponer que las tiendas son totalmente lógicas y consecuentes), en definitiva, consigues un descuento del 33'33%, pero también te llevas un artículo de más (¿lo necesitarás algún día?). Sin embargo, en la Tienda B al comprar 2 artículos te siguen haciendo un descuento del 30% y no te obligan a llevarte un artículo de más. Así que, en este caso (caso en que quieras adquirir un número de artículos que sea igual a 2 módulo 3) dependerá de la naturaleza de lo que necesites comprar, porque... si es leche, por ejemplo, tarde o temprano necesitarías la 3ª botella, mientras que si son libros (a lo mejor quieres comprar 1 libro para ti y el mismo libro para un regalo) ¿para qué podrías querer 3 libros idénticos?.

En fin, que lo que en un principio era un simple problema sobre porcentajes, se acabó convirtiendo en una curiosa forma de introducir la aritmética modular a chicos de secundaria y de hacerles ver que las Matemáticas sirven para ayudar a la economía doméstica en tiempos de crisis