Halloween matemático

Ya estamos en la noche de Halloween y aquí os dejo una viñeta cómica de los amigos de XKCD.




Aquí os dejo un intento de traducción:

Viñeta 1
- Bueno, ¿qué es lo que has hecho?
- Acabo de tallar una calabaza.

Viñeta 2
- ¿Qué? Preparándote contra los vándalos adolescentes, ¿no?
- ¡Cielos, no! Mi calabaza simplemente tiene dolor en el pecho. De hecho, voy a dejar una nota de advertencia para que no la destrocen.

Viñeta 3
- El nombre de mi calabaza es Harold. Se acaba de dar cuenta de que todo el tiempo que pasaba soñando despierto, ahora lo pasa preocupado. Más adelante, tratará de distraerse con tradiciones navideñas, pero no va a funcionar.

Viñeta 4
- Tallé y tallé y lo siguiente que recuerdo es que tenía dos calabazas.
- Te dije que no usaras el Axioma de Elección.

Para el que aún no haya pillado la gracia final, os recomiendo que os leáis el artículo que sobre La Paradoja de Banach-Tarski escribieron en Gaussianos. Sí, esa que dice que es posible cortar una esfera de forma que con las piezas resultantes puedas construir 2 esferas de idéntico tamaño a la original... y para ello hay que utilizar el Axioma de Elección.

En fin, que feliz, terrorífico y matemático Halloween.

Tito Eliatron Dixit

El segmento de puntos gordos o por qué π=2

No vamos a andarnos con rodeos. Hoy os voy a demostrar que π=2. Así, tal y como suena, contradiciendo a la Biblia, a Euler y a toda la Matemática clásica y moderna. Vamos allá.

Vamos a partir de un segmento de longitud 2. Vamos a suponer que el segmento es el intervalo que va del punto hasta ; para entendernor, el intervalo .

En el estado inicial, vamos a construir la semicircunferencia de centro el origen y de radio 1. La longitud de esta curva es, pues, .



En la primera iteración, vamos a construir 2 semicircunferencias. Divido el intervalo inicial en 2 subintervalos iguales. En el intervalo cosntruyo la semicircunferencia (superior) de centro y radio , mientras que en el intervalo construyo la semicircunferencia (vamos a hacerla inferior, que quedará más bonito) de centro y radio . Como se trata de 2 semicircunferencias, ambas de radio , la longitud de la curva formada por la unión de ambas circunferencias tiene longitud .



En la segunda iteración, cada uno de los intervalos anteriores, los vuelvo a dividir en 2, es decir, me quedo con los intervalos , , y . Sobre el Primero construyo la semicircunferencia superior, sobre el segundo la inferior, sobre el tercero la superior y sobre el cuarto la inferior. En total son 4 semicircunferencias de radio , por lo que la longitud de la unión de estas curvas será .



En la enésima iteración, tendremos subintervalos de igual amplitud y sobre ellos, construimos, alternativamente, las semicircunferencias superior e inferior. Así, en total habrá semicircunferencias de radio y la longitud de la curva resultante será .

En el límite, este proceso desemboca en el propio segmentoinicial , por lo tanto . Pero como cada , se deduce que .

Imponente, ¿verdad? Pues buscad algún error, que en este caso... no lo hay. Entonces... ¿qué es lo que falla? ¿Acaso nos han engañado y el verdadero valor de es 2?

No, ni mucho menos. Vamos a dar 2 (posibles) explicaciones a esta paradoja. La primera de ellas es la que da nombre al artículo, es fácil de entender aunque quizás no sea muy rigurosa; mientras que la segunda explicación es bastante más precisa y técnica pero difícil de entender.

Una posible forma de explicarlo es recurrir a los fractales. El problema es que en matemáticas las cosas no siempre son como parecen y, aunque parece que este proceso acaba desembocando el el propio segmento, la realidad es que el conjunto límite es esencialemente distinto. Se trataría de lo que yo mismo he llamado segmento de puntos gordos. Sería un conjunto de tipo fractal en la que la línea límite recorre el segmento pero de forma ondulada en cada uno de los puntos de la forma (con ). Estos puntos, que se conocen como racionales diádicos, tienen la propiedad de ser densos en el segmento, es decir, que casi casi lo llenan pero no del todo. Por lo tanto el límite no sería el segmento, sino un conjunto mucho más perverso.

ATENCIÓN, VA A COMENZAR UNA EXPLICACIÓN MUY TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

La segunda explicación, mucho más técnica y matemática, tiene que ver con la convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Si llamamos a la función que define la línea de semicircunferencias en la etapa , es fácil comprobar que incluso uniformemente, es decir, que como funciones, sí tienden al segmento. El problema es que la convergencia uniforme de funciones, no implica la convergencia uniforme de las derivadas. De hecho, en este caso, en cada etapa estamos introduciendo muchos puntos donde la función no es derivable: allí donde se unen 2 semicircunferencias, la tangente es completamente vertical, por lo que no puede ser derivable. ¿Y qué tiene que ver esto con la longitud? Pues resulta que para calcular la longitud de una curva en un intervalo tan sólo hay que calcular la siguiente integral: . Es decir, para poder hablar de longitudes, hay que poder hablar de derivadas. Y lo que no se tiene es un resultado que asegure que si uniformemente, entonces uniformemente, por lo tanto tampoco podemos esperar que , por mucho que haya convergencias uniformes de las .

FIN DE LA EXPLICACIÓN TÉCNICA EN MATEMÁTICAS.

En resumen, que de una forma o de otras, en matemáticas, las cosas no son siempre como parecen ni parecen lo que en realidad son.

Tito Eliatron Dixit

PD: La falacia/paradoja original, sin solucionar, la encontré en el blog Disgresiones 3.0 gracias a un mensaje privado de @vientoblanko. Yo he modificado un poco la construcción original... más que nada para hacerla un poco más visual y bonita.

Un hecho destacable

Es un hecho destacable que una ciencia que empezó analizando juegos de azar acabe convirtiéndose en el más importante objeto del conocimiento humano

Pierre Simon Laplace.

Realmente no sé, a ciencia cierta, si la cita de Laplace se refiere a todas las Matemáticas o sólo a la Probabilidad. Seguramente, y dado el origen puramente geométrico de la matemática griega, se refiera a lo segundo, aunque tanto como llegar a ser el más importante objeto del conocimineto humano... no sé yo. Pero a las encuestas me remito.

¿Qué opináis vosotros?

Tito Eliatron Dixit

Por la espalda

Si a alguno de mis alumnos de éste o del año pasado, les pongo esta integral

seguro que el BUFFF!, o el, ¿OTRA? sería lo mínimo que saldría de sus bocas.

Pero los chicos de Saturday Morning Breakfast Cereal han dado con la forma óptima de plantear estos problemas:

Espero que estés disfrutando
=?
Si no respondes en 30 segundos, esto se acabará.

Mucho más motivador este planteamiento, dónde va a parar. Casi casi del mismo tipo que esta otra imagen de LukeSurl para aprender a representar gráficamente la tangente


En fin, que vosotros me diréis si no hay material docente suficiente como para hacer que las clases de matemáticas sean interesantes. Al menos para el género masculino, claro.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.

RENFE ¿"timador" o "timado"? Porcentajes y descuentos

Pues sí, amiguitos, vamos a hablar de RENFE, pero no de su web (que eso es harina de otro cantarcostal), sino de los descuentos que ofrece en ella.

No, esto no es un post patrocinado (pero si RENFE lo estimara oportuno, uno está abierto a escuchar ofertas.... ¿no? pues nada, sigamos). Vamos a hablar de cómo renfe aplica ciertos descuentos y a darnos cuenta que no es del todo verdad lo que dice.

Vamos a centrarnos en viajes de larga distancia (un AVE Sevilla Madrid, por ejemplo) de ida y vuelta. Tal y como anuncian en su propia web el descuento es del 20%. Pero ¿cómo hacen este descuento?

Uno, ingenuo él, podría pensar que suman el importe del billete de ida y el del billete de vuelta y a esa suma le hacen el 20% de descuento. Lo cierto es que no suelen hacerlo así. En realidad te cobran íntegro el importe del viaje de Ida, y te hacen el 40% en el de vuelta. Yo supongo que esto lo harán por si alguien compra una Ida y, después, decide hacer la vuelta, pero bueno, que tampoco es que lo entienda mucho.

Pero dejémonos de zarandajas y pasemos a las matemáticas. En un principio, a un comprador incauto (o no tato) le podría parecer que ambos métodos son exactamente iguales. Craso error.

Para que ambos métodos arrojen el mismo resultado, el importe de la ida y de la vuelta deben ser iguales. En otro caso, no coinciden.

Vamos a comprobarlo. Supongamos que es el importe del billete de ida y que es el importe del de vuelta. Por el primer método explicado (el de hacer un 20% a la suma) tendríamos que pagar , mientras que por el segundo método (nos hacen el 40% en el de vuelta) tendremos que pagar . Para ver cuándo coinciden, sólo hay que igualar y resolver: o lo que es lo mismo . Si ahora pasamos las al primer miembro y las al segundo, se obtiene que , que en definitiva se reduce a que .

Y aquí es donde está la trampa. En muchas ocasiones, es posible comprar billetes de Ida y Vuelta en la que los precios no coincidan (por elegir en unoTurista y en otro Preferente, o bien porque elegimos tarifas diferentes).

En estos casos, ¿qué conviene más? Si usamos el Método RENFE (40% en la vuelta) será más ventajoso siempre que , mientras que si da la casualidad que , nos convendría más que nos cobraran el método 1 (20% a la suma).

En efecto, si , entonces , o lo que es lo mismo, , de donde , es decir, si la Ida es más cara que la vuelta, el método RENFE es más caro que hacerte un 20% en ambos trayecto. Por tanto, podrías reclamarles ya que te estarían "timando" ¿no?

Así que mi consejo matemático de hoy es que, si después de intentarlo mucho, logras comprar billetes a través de la web de RENFE, procura que el viaje de Ida sea más barato que el viaje de Vuelta, ya que así RENFE te estará haciendo un descuento superior al 20%, por lo que tú serías ahora el "timador".

Para que luego digan que las Matemáticas no sirven para nada. Sirven para "timar" a la RENFE.

Tito Eliatron Dixit

PD aclaratoria: este artículo sólo pretende mostrar una curiosidad matemática relacionada con porcentajes. En ningún momento se pretende desprestigiar a RENFE, ya que, supongo, la forma que tienen de aplicar los descuentos será perfectamente legal y estará escrita en algún lugar de su web (aunque yo, torpe de mí, no lo encentre). El uso de la palabra "timar" se hace de forma entrecomillada para hacer constar lo anteriormente dicho.

PD2: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.