Moscas a cañonazos: raíces irracionalesde Fermat

La expresión matar moscas a cañonazos se utiliza cuando los medios usados para algún fin exceden con creces los límites de la racionalidad (para matar una mosca, basta con un matamoscas o incluso un periódico -de papel- enrollado). Pues bien, de esto mismo va esta minientrada: de racionalidad y de cañonazos.

En este blog ya hemos visto varias demostraciones de la irracionalidad de $\sqrt{2}$. En esta entrada vamos a centrarnos en la irracionalidad de $\sqrt[n]{2}$ para cualquier $n>2$. Y como no podía ser de otra forma, lo vamos a hacer a cañonazos.

Sobre la irracionalidad de e y algo más

En este blog ya hemos hablado mucho sobre la irracionalidad y trascendencia de números como y . Incluso esta misma semana hemos visto una demostración no demasiado complicada de la irracionalidad de debida a Lagrange.

En el presente artículo vamos a dar un método sencillo para probar la irracionalidad del número , un método que, en esencia, es muy conocido, pero ahora vamos a ofrecer una ligera variante que lo hace muy interesante para contarlo a alumnos de un primer curso de carreras científicas. Más aún, trataremos de aprovechar este método para demostrar de una forma similar la irracionalidad de otros números... incluido .

Lagrange y la raíz de 2

Es imposible encontrar un número entero que multiplicado por sí mismo dé 2. Tampoco se puede encontrar una fracción así, pues si simplificas la fracción hasta ser irreducible, el cuadrado de esta fracción será de nuevo irreducible y por lo tanto no puede ser igual al número entero 2.

Joseph Louis Lagrange en Lectures on Elementary Mathematics, On Arithmetic, pág 11.
Visto en Cute the Knot.

Por si alguien aún no se ha enterado, se trata de una muy curiosa demostración de la irracionalidad de (y, por extensión, de la de la raíz de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto).

Matemáticas y Lotería de Navidad: una relación imposible

Ya lo sabéis, ¿no? Hoy es el día de la Salud. Entre que al final no se acabó el mundo y que ayer no nos tocó el gordo de la lotería... (porque a ninguno de ustedes, amables y generosos lectores les habrá tocado ¿verdad?) hoy sólo nos queda congraciarnos de tener al menos salud.

Volviendo al tema central del blog, pero sin abandonar lo de la lotería, creo que todos sabemos que las matemáticas no son, precisamente, lo que más ayuda a vender Lotería de Navidad: que si la esperanza de ganancia es negativa, que si la probabilidad es muy baja (verdaderamente baja), que si hay muchos mitos... Vamos, que bien podríamos decir que a la Matemática no le gusta demasiado la Lotería de Navidad (ni las loterías en general). Pero... ¿ocurre lo mismo a la inversa? Más concretamente, ¿a la Lotería de Navidad (al menos la de este año) le gustarán las matemáticas? Vamos a descubrirlo en este post.

El origen de los números irracionales

No, no vamos a hablar de la gran mentira de los números, esa que dice que primero surgieron los números naturales por la necesidad de contar, luego los enteros por la necesidad de restar, etc... Hoy vamos a comentar el origen del término irracional para nombrar a aquellos números reales que no son racionales, es decir, números reales que no se pueden expresar como un cociente de números enteros.

Todo se remonta a la Grecia clásica, en particular, a la época pitagórica. Pitágoras nació en la isla de Samos, en el año 582 a.C. donde completó sus estudios para, posteriormente, crear su famosa escuela pitagórica en Crotona. Aunque más que una escuela, llegó a ser una especie de secta. Pero vamos a ser políticamente correctos y vamos a llamarlos organización. La organización pitagórica tenía como creencia fundamental que todas las cosas son, en esencia, números. O dicho de otro modo, que una vez definida una unidad todo lo que nos rodea es mensurable, es decir, que puede medirse a través de esta unidad. Pero para los pitagóricos el concepto de medir significaba que o bien era un número entero de veces la unidad, o bien un número entero de partes de la unidad (o una mezcla de ambas). En definitiva, cocientes de números enteros.

El pensamiento pitagórico se levanta sobre una estructura matemática racional: todo lo que se salga de su orden de pensamiento, escapa a la razón. Por ello esta escuela entró en crisis. El archiconocido Teorema de Pitágoras fue redescubierto por esta escuela de pensamiento, pero con él llégó el problema, pues como primera aplicación del teorema obtenemos un nuevo número √2. Y resulta que este número no es mensurable con respecto a la unidad.

Como este hecho ponía en serio peligro la filosofía pitagórica y dado que escapaba a su razón, decidieron darle el nombre de Irracional, además de ocultar este descubrimiento a la comunidad filosófico-científica de la época. De hecho, se cuenta que uno de los miembros de esta escuela, Hipaso de Metaponto, fue el que dio con una demostración de la irracionalidad del número √2 (consulta la prueba geométrica, muy similar a la realizada, presuntamente, por Hipaso). Sin embargo, parece ser que Hipaso no cumplió el voto de silencio que pesaba sobre la irracionalidad de √2, por lo que la hermandad pitagórica lo habría expulsado de la escuela y habrían erigido una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto. De hecho, la leyenda cuenta que los propios miembros de la hermandad pitagórica ahogaron a Hipaso.

En fin, que como habéis podido comprobar, incluso dentro de las matemáticas hay leyendas. Es más, hasta lo más irracional, puede deberse a un hecho completamente racional. E incluso se puede morir, como ya se ha visto otras veces, por un descubrimiento matemático.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN: Esta noticia ha llegado a portada de Meneame.net. Gracias por el meneo, nade.

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Fotografía del busto de Pitágoras extraída de Wikipedia.

Literatura Irracional: El Libro

Como ya muchos de cosotros sabréis, el blog El Espejo Lúdico inició un gran concurso de Literatura Irracional, que ya comenté antes aquí y en el que participé, en el que se pedían mini-relatos de forma que las palabras vayan teniendo el mismo número de letras que 3 de los más famosos números irracionales: π, φ y √2.

Ya hace algunas semanas conocimos a los ganadores del concurso. Aprovecho para dar la enhorabuena a los ganadores y a los merecedores de los accesit.

Pues bien, ahora llega Literatura Irracional: El Libro, en el que se recogen todos los relatos participantes en el concurso y que, gracias a la generosidad del autor de Espejo Lúdico, Juan Luis Roldán, es posible descargarlo de forma gratuita. Desde aquí quiero animaros a todos a conseguir un ejemplar y agradecer a Juan Luis por la idea, por la acogida del concurso y por todo el trabajo que ha llevado a cabo.

Tito Eliatron Dixit.

Gran Concurso de Literatura Irracional: Mis Relatos.

Ya hemos hablado en este blog sobre el Gran concurso de Literatura Irracional organizado por Espejo Lúdico.

Pues bien, una vez cerrado el plazo de envío, han hecho público los relatos presentados a concurso, muchos y muy buenos.

Yo, como no podía ser menos, también he aportado mi pequeños granito de arena y he participado con 2 mini-relatos en este concurso. Con el visto bueno de Juan Luis Roldán (autor del blog), os presento aquí mis aportaciones.

El primer relato fue presentado en la categoría RAÍZ (√2: 1 4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 9 5 4 8 8 1 6 ) y se trata del número VII (pág. 1). Más que un relato, es un pequeño poema libre sobre la fuerza de voluntad:

O todo o nada.
Ve a por todas.
Avanza si las fuerzas son adecuadas.
Nunca seas, guerrero, lágrimas o llanto.

El segundo de los relatos, no es completamente mío; se trata de una colaboración con un buen amigo que prefiere quedar en el anonimato (y así lo respeto). Esta vez, lo presentamos bajo la categoría PHI (φ: 1 6 1 8 3 3 9 8 8 7 4 9 8 9 4 8 4 8 2 4) y se trata del número LVII (pág. 6). Se trata de un relato, con ciertos toques de humor para adultos:

Y cópula y fornicio son muy necesaria práctica, deleites humanos nada incómodos. Puritano, ¿disientes? Come nísperos, cena sándwich de atún.

No sé si al final, alguno de los 2 estarán entre los ganadores o finalistas o lo que sea, pero desde luego ha sido un orgullo participar en este concurso.

Gracias a Juan Luis y a Espejo Lúdico.

Tito Eliatron Dixit.

Gran concurso de Literatura Irracional

Gracias a una entrada del blog juegosdeingenio.org, he llegado al Gran concurso de Literatura Irracional organizado por Espejo Lúdico.

Se trata de un concurso de microrrelatos basados en 3 de los más importantes números irracionales: π, φ (el número de oro) y √2. Las palabras de estos microrrelatos han de servir de regla nemotécnica para los dígitos de estos números. Al estilo del siguiente micropoema extraído del artículo de la Wikipedia sobre el número π:

Soy y seré a todos definible
mi nombre tengo que daros
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros

Desde este humilde blog, me gustaría animar a todos a participar en este concurso en el que yo ya he hecho mi pequeña aportación, que en su día pondré por aquí.

Tito Eliatron Dixit