Matemáticas para dibujar caras

Sí señores. Las matemáticas, esa ciencia tan árida que apenas si tiene aplicaciones prácticas (modo ironic off), pueden tener una utilidad artística como hacedora (¿existe este palabro?) de caricaturas. Los chicos de Wolfram Alpha disponen de una galería de 138 personajes (y 142 imágenes) a los que han realizado caricaturas a través de las matemáticas, más concretamente, mediante ecuaciones paramétricas, en las que las variables dependientes son (las coordenadas planas tradicionales) que dependen de una tercera variable que se va moviendo.

No son congresos de matemáticas

No son congresos de matemáticas, ese cuerpo de conocimiento altamente especializado, sino congresos de matemáticos, esos individuos altamente caóticos que crean y conservan las matemáticas.

Oswald Veblen, ICM 1954.

La historia de un matemático y la muerte de Matusalén

Matusalén en la Catedral de Canterbury

Foto de Robert Scarth

La Biblia, es una inagotable fuente de datos que cualquier matemático no podría dejar da mirar, por simple curiosidad. Esto es lo que le ocurrió al geómetra ingles, Harold Scott MacDonald Coxeter, quien tras revisar algunos pasajes del Génesis, en el que se habla de Matusalén, planteó algunas cuestiones interesantes sobre la muerte de este longevo personaje. Vamos a ver qué se le ocurrió a este matemático.

2 zlotys por Banach

Ayer, cunaod me reencontré en mi trabajo con algunos de mis compañeros, uno de ellos me enseñó uno de los trofeos que había conseguido este verano. Se trata de una moneda de 2 zloty (la moneda local) con la efigie de un insigne matemático polaco... cuyo nombre aparece en todos los artículos que he escrito. Se trata de Stefan Banach.

Hertha Taussig Freitag: pensando por sí misma.

Por fin he encontrado una asignatura en la que no necesito memorizar, sino que puedo pensar las cosas por mí misma: las matemáticas

Herta Taussig Freitag.

Esta frase la pronunció una mujer que se dedicó a las matemáticas. Hasta aquí, nada del otro mundo. Sin embargo, esta frase se puede leer en su propio diario... cuando tenía 12 años, allá por 1920. Nacida en Viena, pronto se dio cuenta de su amor por las matemáticas. De hecho, al poco incluyó una segunda cita en su diario.

Callejero Matemático Español: especial RSME

Los antiguos seguidores de Tito Eliatron Dixit sabrán que hace ya algún año comencé a publicar una serie de entradas bajo el título Callejero Matemático Español. Pero hace ya casi dos años desde que salió la última entrega, el especial Newton.

Esta mañana, al ir a ver mi correo en la facultad, me encuentro con que me ha llegado el último número de La Gaceta de la RSME y cual es mi sorpresa cuando me encuentro con la imagen de portada que tenéis aquí al lado. Sí, señores, un magnífico montaje con las placas de algunas calles españolas dedicadas a matemáticos que de una forma u otra han tenido algo que ver con la RSME.

Algunas de estas calles, ya forman parte del particular callejero de este blog. Por ejemplo, en la primera entrega del callejero, ya tuvimos la oportunidad de conocer la calle Matemático Marzal de Valencia, mientras que la tercera entrega comenzó con la ovetense calle dedicada al matemático Pedrayes.

Con respecto a Lluis Santaló, en la segunda entrega hablamos de una calle dedicada a él en Barcelona, pero la placa que se reproduce aquí es de la calle que le dedican en Gerona:

Un buen chiste matemático

Un buen chiste matemático es mejor, y contiene mejor matemática, que una docena de artículos mediocres.

John E Littlewood, vía Pat's Blog

Mal que me pese (ya que en comparación con este matemático, mis artículos podrían entrar en esa docena), os dejo esta cita de Littlewood, inseparable compañero de Hardy y del que creían que era un pseudónimo.

En fin, yo por mi parte voy a intentar hacer buenos artículos y, si puedo, dejaros buenos chistes matemáticos en este nuevo curso que inauguramos.

Tito Eliatron Dixit

Paul Erdös entre los Santos Danzantes

Encontrarse con una imagen del matemático húngaro Paul Erdös en una procesión de santos bailando parece improbable, pero puede ocurrir en St. Gregory of Nissa, una iglesia episcopaliana de las laderas norte de Portrero Hill en San Francisco. Con este nombre y la estructura del edificio se puede esperar que esta iglesia tenga relación con la Europa del Este –un estructura octogonal (rotonda), tres grandes naves alrededor del altar con espacio para sentarse orientado hacia el norte. Alrededor del interior de la rotonda, las dos plantas por encima del nivel principal están dedicadas a una serie de murales que muestran una procesión de 90 gigantescos santos danzantes. Para los matemáticos, el más interesante de todos ellos es Paul Erdös, bailando entre Gandhi y Martín Lutero. Todos los santos tienen aureolas doradas al estilo bizantino, recordándonos la relevancia del nombre de la iglesia: San Gregorio de Nisa fue un obispo del siglo IV d.C. en Capadocia, una región actualmente situada en el centro de Turquía.


Erdös no es el único científico en los altares de iglesias episcopalianas en San Francisco: Albert Einstein tiene su propia vidriera en la Grace Catedral (sede del Obisopo Episcopaliano de California) en Nob Hill. Allí está, junto con su fórmula , en un gran ventanal inmediatamente a la izquierda según se entra a la catedral desde el nártex.



En St. Greory, hay más matemáticos además de Erdös. Hypatia, la filósofa y erudita griega del siglo IV d.C. también está allí (aunque en este caso no podríamos decir si la imagen se le parece). Actualmente, es bastante conocida al ser el prersonaje principal de la película Ágora, con Rachel Weisz en el papel de la líder de la legendaria Biblioteca de Alejandría. Según los folletos que acompañan a los murales, Hypatia fue martirizada a manos de mojes cristianos y está presente en esta iglesia por su sabiduría y valentía, testigo de la curiosidad intelectual e íntegro conocimiento, que están más cerca de Dios que las amenazadoras certezas del fundamentalismo. Por otro lado, de Erdös se dice que es un ángel matemático itinerante, constantemente viajando y trabajando con otros matemáticos para resolver problemas. También es descrito como una persona que vivía de forma muy sencilla, frase apoyada en el hecho de que todas sus pertenencias consistían en el contenido de una única maleta.

La lista de santos de St. Gregory puede considerarse como algo inusual. Las pequeñas biografías no se parecen a las típicas Vidas de los Santos y apenas tienen algo en común con las tradicionales hagiografías. Esta lista incluye muchos de los nombres esperados (Francisco de Asís, Santa Teresa de Jesús, Tomás de Aquino), por supuesto, pero también aparecen Shakespeare y Dante, Emily Dickinson y Fyodor Dostoievski, Charles Darwin y Lady Godiva (con su caballo), la Reina Elizabeth y la Reina Liliuokalanai, Ella Fitzgerald y John Coltrane (con su saxofón), César Chávez y Malcolm X, Martha Graham y la Madre Lucy Wright de los Shakers, William Blake y Caspar David Friedrich, la niña Anna Frank e Iqbal Masih, la arquitecto Julia Morgan, el naturalista John Muir, el Obispo Desmond Tutu, Juan XXIII y Eleanor Roosevelt. Y, además, hay otros nombres con conexiones matemáticas: Simone Weil (hermana de André Weil), Florence Nightingale (que fue estudiante de J. J. Syvestrer) y el estadístico del siglo XX W. Edwards Deming. Así que tenemos muchos santos a los que podemos admirar. Los murales son obra de Mark Dukes, un iconografista de San Francisco; el trabajo se completó en 2008. Existe un folleto ilustrado y descriptivo, en el que se dedica unas líneas a cada uno de los santos representados.

La iglesia se encuentra el el nº 500 de la calle De Haro, no muy lejos del centro de San Francisco, al sur del AT&T Park (estadio donde juegan los Gigantes de San Francisco) y cerca del nuevo campus de investigación biomédica de la Universidad de California, San Francisco. Los visitantes matemáticos pueden pensar que han visto todos los lugares turísticos obvios de esta popular ciudad, pero no han terminado de ver San Francisco hasta que no se hayan parado a contemplar el mural de Erdös, quizás con un pequeño desvío para ver a Einstein en cristal de colores.

La lista completa de santos y más información sobre el mural se puede encontrar en http://www.saintgregorys.org/worship/art_section/243/

Tito Eliatron Dixit

Nota de Tito Eliatron: El presente artículo es una traducción de un original de Gerald L. Alexanderson, quien amablemente me lo ha cedido para su publicación en este blog. Existe una versión del texto en inglés, no exactamente igual al original, en la web de la Mathematical Asociation of America.

Finalmente, me gustaría resaltar que encontrar científicos, artistas, escritores, músicos, etc... en iglesias episcopalianas, no es un hecho aislado, ya que para ellos son santos todas aquellas personas que han hecho aportaciones relevantes a la humanidad, ya sea desde el punto de vista espiritual (tradicionales santos católicos) como desde el punto de vista científico (véase Darwin, Einstein o el propio Erdös), artístico (Shakespeare o Dante), u otro tipo de aportaciones.

PD: Esta entrada forma parte de la Edición 2.1 del Carnaval de Matemáticas (Primer Aniversario), cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

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Créditos de las Imágenes:

La imagen exterior de St. Gregory of Nissa está extraída del Flickr de MarkPritchard y tienen Licencia Creative Commons.

Las imágenes de Paul Erdös Santo son obra de Leonard Klosinsky, quien, aunque se reserva todos los derechos sobre las mismas, las ha cedido amablemente para su uso exclusivo en este blog.

Teoría y realidad

La geometria fractal no distingue, a propósito, entre conjuntos matemáticos (la teoría) y objetos naturales (la realidad). Incomparablemente más afín al mundo físico que la geometría euclídea.

Benoït Mandelbrot, vía Geometría Fractal

Está claro que la cita de hoy debía ser un homenaje póstumo a Benoït Mandelbrot. Y ésta en particular me ha parecido muy adecuada, ya que describe muy bien la idiosincrasia de la geometría fractal: donde la teoría encuentra a la realidad. Muy en la línea de otra cita que ya publiqué hace tiempo y que titulé Peligro, fractales a la vista.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VII Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será El Máquina de Turing.

Benoït Mandelbrot 20/11/1924-14/10/2010

Recién encendía el ordenador he comnezado a leer lamentables rumores sobre la muerte, hoy 16 de Octubre el pasado jueves 14 de octubre, del matemático francés, y padre de la geometría fractal, Benoït Mandelbrot.

No sé si puede llamarse confirmación oficial, pero, mientras escribía estas líneas, he encontrado el obituario que de él han hecho en el New York Times, según el cual (y citando a su esposa Alliete como fuente), ha muerto a causa de un cáncer pancreático.

Como homenaje a uno de los grandes matemáticos (y científicos, en general) del siglo XX, os dejo con un par de vídeos de él. El primero de ellos es la última charla que pronunció en el TED con título Fractals and the art of roughness (Fractales y el arte de la rugosidad). La charla es en inglés, pero están disponibles los subtítulos en español.


El segundo vídeo es una entrevista con Eduard Punset en Redes emitida en 22 de febrero de 2007 (está disponible la transcripción de la entrevista en formato PDF).



Y no podría concluir este pequeño homenaje, sin mostraros el conjunto que lo hizo famoso.



D.E.P.

Tito Eliatron Dixit

Ingenio aplicado

No basta tener buen ingenio; lo principal es aplicarlo bien.

René Descartes, vía Todo Me Enlaza.

Acabo de rescatar de mi cuenta en delicious esta cita del matemático y filósofo francés Descartes. Desde luego en él se cumplen ambas premisas: hay ingenio y supo aplicarlo bien. Pero.. no sé, al menos en el mundillo de la investigación matemática, me da a mi que hay quien a pesar de no tener ingenio, es capaz de aplicar el de otros y llevarse él los méritos.

En fin, es sólo una reflexión que quería compartir con vosotros. Ahora el turno y los comentarios son vuestros.

Tito Eliatron Dixit

Ni grande ni pequeño

Así como los objetos más fáciles de ver no son los demasiado grandes ni los demasiado pequeños, también las ideas más fáciles en matemáticas no son las demasiado complejas ni las demasiado simples.

Bertrand Russell, visto en Mates y más

Ya hemos hablado de este personaje a colación de su Nobel en Literatura, pero creo que no había incluido nunca una cita suya. En este caso nos habla de las ideas matemáticas. Personalmente opino algo parecido: una buena idea, una idea brillante no puede ser tan simple que esté al alcance de cualquiera, ni tan compleja que, una vez desarrollada, no pueda ser comprendida más que por algún privilegiado. Digamos que un poco en la línea de esta otra cita de Paul Lockhart.

¿Y vosotros qué opináis?

Tito Eliatron Dixit

Matemáticas Puras vs Matemáticas Aplicadas

La competencia entre matemáticas puras y matemáticas aplicadas no existe en realidad. Hay matemáticas que hoy se dicen aplicadas pero cuyas aplicaciones no existían en el momento en el que la teoría fue formulada.

Yves Meyer, matemático francés experto en ondículas (wavelets)
visto en Inclassables Mathématiques, vía Les Chroniques d'Hyderâbâd

Me ha encantado esta cita porque afirma algo que yo siempre he pensado: que las Matemáticas van por delante de las aplicaciones. Pero la verdad es que me gustaría conocer vuestras impresiones.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la VI Edición del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión será el Blog de Sangakoo.

ACTUALIZACIÓN: Gracias a César Tomé de Experiencia Docet que me ha sugerido algunas correcciones a mi traducción del francés. Ahora sí que la cita queda en todo su esplendor.

La demostración se deja como ejercicio

El pasado 20 de mayo moría el matemático Walter Rudin. Probablemente, todo estudiante de matemáticas (y los que nos especializamos en el Análisis Matemático en particular) conocerá a este personaje gracias a 3 grandes libros suyos que si no han sido de cabecera, poco le han faltado.

De todas formas, cuando uno lee libros avanzados de matemáticas, sea del autor que sea, es muy fácil que, en vez de la demostración del Teorema que buscas, encuentres la frase que aparece en el título del artículo o similar:

The proof is left as an exercise / La demostración se deja como ejercicio
The proof is left to the interested reader / La demostración se deja para el lector interesado.

Pero... ¿cómo surgen estas frases? Los chicos de Abstruse Goose ya dieron con la solución y aquí os la dejo (pinchad en la imagen para agrandarla y ver el artículo original):



Traducción libre:

- Siempre he sospechado que así es como se escriben los textos matemáticos.
- Un punto en un espacio métrico se dice que es un punto de condensación de un subconjunto si cualquier entorno de contiene una cantidad no numerable de puntos de .
- Supongamos que, no numerable y sea el conjunto de todos los puntos de condensación de .
- TEOREMA: es perfecto y es a lo más numerable.
- DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA:
- Cariño, mira lo que llevo puesto.
- Fwap!
- !!!
- Se deja como ejercicio. (Maldita sea! Walter Rudin.... buena suerte!)

En fin, queda claro que el sexo está hasta en los libros matemáticos... aunque sea entre líneas.

Tito Eliatron Dixit

La didáctica de la Historia de las Matemáticas

Todos los tipos de Historia de las Matemáticas permiten una utilización didáctica: tanto la historia interna de la evolución de las ideas y de las teorías matemáticas, elaboradas por los matemáticos profesionales, como la Historia de las Matemáticas relacionadfa con la cultura y la sociedad del momento, o la historia de la construcción de los conceptos matemáticos anteriores o paralelos a las Matemáticas oficiales.

Paolo Boero, profesor de matemáticas de la Universidad de Génova
Vía La Historia de las Matemáticas como Recurso Didáctico,
por Santiago Gutiérrez Vázquez,
en La Gaceta de la RSME vol 13 nº2.

Lamentablemente, a lo largo de mis años como estudiante de Matemáticas, pocos (por no decir todos menos 1) profesores han sido los que han utilizado la Historia de las Matemáticas como recurso didáctico y motivacional. Es mi opinión, como profesor, que de vez en cuando hay que contar un poco acerca de cómo se han llegado a determinados conocimientos que ahora son fundamentales.

¿Y vosotros? ¿qué opináis?

Tito Eliatron Dixit

Cómo sumar los naturales y no morir en el intento

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas

Niels Henrik Abel

Ya los dijo Abel hace mucho tiempo, que esto de sumar infinitas cosas nos iba a traer problemas. Pero esto a Euler no le impidió hacer verdaderas maravillas con ellas.

Si os pregunto cuánto vale la suma de todos los números naturales, probablemente casi todos me diréis que es infinito, y estaréis en lo cierto... siempre que sentemos las bases clásicas de las series infinitas.

Para sumar una serie infinita, lo que hacemos es ir viendo las sumas parciales, es decir, truncando la serie y quedándonos con una cantidad finita de términos. Cada vez, vamos añadiendo un nuevo término y así vamos obteniendo una sucesión de números cada vez más cercanos a la (presunta) suma, que será el límite de estas sumas parciales.

Esto es grosso modo el método clásico de sumación y, según éste, la serie de los números naturales es divergente, es decir, suma infinita. Pero Euler era de todo menos clásico, así que simplemente hizo algunas manipulaciones. Antes, se decidió calcular cuánto valía la suma de los naturales, pero alternando el signo, es decir, 1-2+3-4+5-6+.... para lo que hizo lo siguiente.

S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . .
S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . .
S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . .
S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
--------------------------------------------
4 S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

Por lo tanto, la suma anterior es S=1/4.

Esto no es demasiado extraño ni alejado de lo clásico ya que si desarrollamos en series de potencias la función 1/(1+x)^2 resulta que 1/(1+x)^2=1-2x+3x²-4x³+... y este desarrollo es válido cualquiera que sea el valor de x entre -1 y 1. En principio, el -1 debería estar excluido, epro si hacemos x=-1 en la expresión anterior, resulta que nos da, precisamente, que S=1-2+3-4+...=1/4.

Ahora estamos en disposición de sumar los números naturales, según la versión de Euler.

   z(s) = 1^-s + 2^-s + 3^-s + 4^-s + ...
2^-sz(s) = 2^-s + 4^-s + 6^-s + ...

Ahora, a la primera suma, le restamos 2 veces la segunda y obtenemos
(1-2·2^-s)z(s)=1^-s-2^-s+3^-s-4^-s+ ...
Finalmente, haciendo s=-1, se obtiene que
-3(1+2+3+4+...)=1-2+3-4+....
Y como ya habíamos visto que esta última suma era 1/4, resulta que
1+2+3+4+...=-1/12
Paradójico, ¿verdad? Pues lo mejor de todo es que todos estos cálculos se pueden hacer rigurosos, ya que la expresión z(s) que hemos utilizado es, en realidad, la función Zeta de Riemann que está perfectamente definida para todo número complejo s≠1. Así que, en el fondo, Euler no andaba muy desencaminado.

Pero es que la cosa no queda aquí, es que este cálculo dibaólico es el que justifica que la Teoría Bosónica de Cuerdas funcione en las 26 dimensiones que debe funcionar. Pero esto ya es harina de otro costal.

Sólo finalizar esta entrada con el peor chiste de matemáticas de mundo que dice lo siguiente:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice «¡Idiotas!» y les pone dos cervezas.

Pues bien, gracias a los cálculos que hemos realizado, y como bien apuntan en God Plays Dice, este chiste se puede mejorar de la siguiente forma:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar, uno de los cuales lleva ya una cerveza enla mano. El primero pide una cerveza. El segundo pide 2 cervezas, el tercero 3 y así sucesivamente. Así que el camarero coje la cerveza que traían y les quita, exactamente 1/12 de ella. Y todos los matemáticos se fueron contentos.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la III Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Geometría Dinámica.

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Referencias:
1-2+3-4+..., en la Wikipedia.
My Favorite Numbers, de John Baez.

Formas y contenido

Los matemáticos no estudian objetos, sino las relaciones entre ellos. Por lo tanto, son libres de reemplazar algunos de los objetos por otros, siempre que las relaciones no se hayan modificado. El contenido para ellos es irrelevante: están interesados en la forma.

Jules Henry Poincaré, vía MathDL.

Yo, en el fondo, pienso que es verdad. Da igual tratar con funciones, puntos, rectas o conjuntos. Todo es cuestión de las relaciones que haya entre ellos. ¿Estás de acuerdo?

Tito Eliatron Dixit.

12 teoremas de mujeres matemáticas: El Calendario

Hoy os traigo uno de esos curiosos calendarios que hay por internet. Se trata del Calendario 12 teoremas de mujeres matemáticas de 2010, de la magnífica web Theorem of the Day.

En palabras del propio autor de la web y del calendario (que, al parecer, es ya la tercera edición), este año abarca teoremas que comprenden todo un siglo, desde la clasificación de 4-politopos arquimedianos de Alicia Boole Stott en 1910 (tercera hija de George Boole, inventor del álgebra de Boole) , hasta los trabajos en dinámica de lanzamiento de monedas (coin-toss) publicado hace unos 3 años por Susan Holmes (junto con Persi Diaconis y Richard Montgomery).

Por meses, éstas son las mujeres elegidas:

• Enero: Vera Sós
• Febrero: Hazel Perfect
• Marzo: Annabelle McIver
• Abril: Jo Heath
• Mayo: Alicia Boole Stott (con links a trabajos de Irene Polo-Blanco)
• Junio: Jenny Baglivo
• Julio: Mireille Bousquet-Mélou
• Agosto: Shafi Goldwasser
• Septiembre: Cheryl Praeger
• Octubre: Fan Chung
• Noviembre: Susan Holmes
• Diciembre: Emmy Noether

En resumen un magnífico elenco de mujeres matemáticas que demuestran que los número no son sólo cosa de hombres.

Vía Blog de la Biblioteca de Matemáticas de la Universidad de Barcelona.

Tito Eliatron Dixit.

Matemáticas para repartir una pizza entre dos personas de forma justa

Imaginemos que vamos 2 personas a un italiano y pedimos una pizza. Cuando la trae el camarero, nos disponemos a partirla en 8 trozos. Para ello hacemos primero 2 cortes perpendiculares y luego otros 2 por las bisectrices de los cortes anteriores. Justo cuando vamos a empezar a comerla, nos damos cuenta que hemos hecho los cortes... pero no pasan por el centro, y claro, ahora hay trozos más grandes que otros. ¿Se podrá repartir la pizza de forma que cada uno de los 2 comensales coman exactamente la misma cantidad de pizza (sin volver a cortar, claro)?

Esta situación ya no es un problema gracias a los matemáticos Rick Mabry and Paul Deiermann, para quienes eso de calcular el área de cada trozo y sumar era demasiado aburrido y decidieron completar un problema tan común como este.

En primer lugar vamos a establecer las reglas del problema. Tenemos una pizza perfectamente circular a la que le hacemos cortes rectos que van de borde a borde de la pizza (cuerdas de la circunferencia), de forma que todos los cortes pasan por un punto (que vamos a suponer que no es el centro geométrico de la pizza), y, además, nos vamos a asegurar que los ángulos que forman los cortes son todos iguales.


Aunque todo esto pueda parecer una verdadera tomadura de pelo (matemáticamente hablando), la realidad es que el problema viene de antiguo, pues la primera vez que aparece es en 1967 cuando L. J. Upton (Mathematics Magazine 40 (5), p. 163) propone el problema para 4 cortes formando ángulos de 45º.

Pero vayamos a explorar un poco el problema. El caso más sencillo es cuando uno de los cortes pasa exactamente por el centro de la pizza, ya que así es muy fácil comprobar que en este caso, la pizza queda dividida de forma simétrica respecto de dicho corte, por lo que si comenzamos a comer cada uno de los 2 comensales de forma alternativa trozos adyacentes, al final cada uno tomará exactamente la mitad de la pizza, pues así si el primer comensal toma un trozo, el segundo comensal, comerá (en algún momento) el trozo simétrico.

Ahora bien, ¿qué ocurre si ningún corte pasa por el centro de la pizza? (sería el caso del dibujo anterior): esto empieza a ponerse algo serio.

El caso de 1 único corte es el más sencillo y no hace falta ni siquiera explicarlo. Para 2 cortes, podemos ver una demostración gráfica muy muy simple de que el que come el trozo que contenga el centro, comerá más:
En el dibujo se ve cómo los trozos con númetros iguales tienen la misma área, luego el que coma los trozos grises (el más grande de los cuales contiene el centro de la pizza), comerá más.

Para el caso de de 4 cortes, que fue el problema planteado por Upton en 1967, el desafío no duró demasiado, ya que en 1968 Michael Goldberg (y Robert Brennan y Hussein Demir, de forma independiente) lograron resolver el problema, e incluso generalizarlo para el caso en que haya un número par de cortes (cf. Mathematics Magazine 41 p.46).

El resultado de Goldberg nos dice que si se corta la pizza un número par de veces (mayor estricto que 2) de forma que todos los cortes pasen por un punto, que no sea el centro de la pizza y que, además, ningún corte pase por el centro, entonces si vamos tomando trozos adyacentes de forma alternativa, cda comensal comerá exactamente la mitad de la pizza.

Pero... ¿qué pasa si hacemos un número impar de cortes? ¿Ocurrirá lo mismo? En este caso las cosas se complican bastantes. El primer resultado al respecto data de 1994 cuando, de nuevo en Mathematics Magazine (vol 67, p.304), Larry Carter propone el problema para el caso de 3 cortes, indicando que la solución debe ser que el comensal que elija la parte con el centro comerá menos.

Tan complicado ha sido el problema, que no ha sido completamente resuelto hasta Mayo de 2009, cuando los matemáticos Mabry y Deiremann (citados al principio del artículo) publicaron el siguiente artículo: Of Cheese and Crust: A proof of the Pizza Conjecture and other tasty results, American Mathematical Monthly, 116 (5), pp.423-438 (esta revista no es cualquiera, en el área de matemáticas tiene un índice de impacto en 2008 de 0.361 y ocupa la posición 176 de entre las 215 revistas indexadas en el Journal of Citations Report).

En dicho artículo, utilizando grandes dotes de cálculo y técnicas de series algebraicas y funciones trigonométricas, logran completar el resultado. Así, consiguen demostrar que, en el caso de un número impar de cortes, ocurre lo siguiente:

• Si se realizan 3, 7, 11, 15, ..., 4n-1, ... cortes, y repartimos sectores adyacentes de forma alternativa, el comensal que coma el trozo que contenga el centro, comerá más que el otro (esto también es válido si se realizan exactamente 1 ó 2 cortes).
• Por el contrario, si se corta en 5, 9, 13, 17..., 4n+1, ... cortes, y hacemos el reparto habitual, entonces el comensal que tome la porción que contenga el centro comerá menos que el otro.

En resumen, que el dicho de El que parte y reparte, se lleva la mejor parte se pude hacer realid, siempre que sepas las matemáticas necesarias para comprender el Teorema del reparto equitativo de una pizza.

Sin embargo, éste no es el único problema que tratan Marbry y Deierman en su artículo, sino que estudian algunos porblemas relacionados como ¿Quién comerá más corteza? o ¿quien comerá más queso? o incluso qué ocurriría si en vez de una pizza tuviéramos un calzone.

Espero que, a partir de ahora, cuando vayáis a un italiano con vuestra pareja y pidáis una pizza, os acordéis que una vez, un bloguero matemático os contó el método para poder comer más que ella y parecer todo un caballero.

Tito Eliatron Dixit.

ACTUALIZACIÓN 17:00: Gracias a un comentario de emulenews en meneame.net, me he enterado que el artículo original de Mabry y Deiermann está disponible de forma gratuita The Pizza Conjecture y así os lo hago saber, por si queréis echarle un vistazo a los detalles técnicos (y no tan técnicos) que, en algún caso, puede resultar muy interesante para los no especialistas.

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Créditos:
Imagen inicial extraída del Flickr de akuban.
La segunda y tercera imagen son obra mía.

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Referencias:
The perfect way to slice a pizza, de New Scientist.
Mathematics Magazine vol 40 p.163, vol 41 p.46 y vol 67 p.304.
American Mathematical Monthly vol 116 (5) pp.423-438.

Lector avanzado

El lector avanzado que pase por alto partes que le parecen muy elementales podría perderse más que el lector menos avanzado que pase por alto partes que le parecen muy complejas.

George Polya,
Matemáticas y razonamiento plausible.
vía La Hoja Volante nº18

Me ha gustado mucho la reflexión de este gran matemático húngaro, ya que para poder comprender las matemáticas más complejas, debemos saber explicar las más simples. Y os dejo un ejemplo extremo: ¿seríamos capaces de enseñar a sumar a un niño?

Tito Eliatron Dixit.