Kruskal ¿magia o matememáticas?

A continuación vais a ser todos vosotros partícipes de mis poderes mentales. En primer lugar elegid una palabra de entre las que componen la primera frase de esta entrada y poned el cursor encima. Contad el número de letras que tenga esa palabra y ahora avanzad tantas palabras como número hayáis obtenido. Por ejemplo, si elegís como palabra inicial "vais", que tiene cuatro letras, entonces la siguiente palabra a la que llegaréis será "vosotros". Volved a realizar el proceso tantas veces como sea necesario hasta llegar al final del primer párrafo, o lo más cerca del final que podáis llegar sin pasar al segundo. ¿Lo habéis hecho ya? Entonces estaréis justo AQUÍ.

Como dirían Trancas y Barrancas: ¡Brujeríaaaaaaaaa! Si no te lo crees, elige otra palabra y vuelve a realizar el proceso. ¿Dónde llegas? ¡Al mismo sitio! y lo que es peor, ¡por el mismo camino! Elijas la palabra que elijas, tarde o tenprano vas a seguir el camino de palabras en cursiva para llegar, irremediablemente, a la palabra final del primer párrafo.

En realidad, elijas el párrafo que elijas, de este artículo, blog, o de donde sea, si realizas este mismo proceso, siempre llegarás a la misma palabra final, que, eso sí, no siempre será la última del párrafo, pero da igual la palabra en la que comiences, que la del final (casi) siempre será la misma.

Como bien podréis imaginar, esto no es ni magia, ni brujería, ni poderes para-anormales. Se trata, como bien dijo Steffen Rohde², de un lema matemático, o mejor dicho, un principio probabilístico debido al matemático y físico estadounidense Martin D. Kruskal.

El truco consiste en que, como a lo mejor ya te has dado cuenta, cuando 2 series de este tipo coinciden en una palabra, a partir de ahí, las series son la misma. La cuestión es, pues, saber si tarde o temprano, todas las posibles series convergen (no en el sentido de serie matemática) en una misma palabra. La respuesta es que no tiene porqué. Pero la probabilidad de encontrar una palabra inicial que haga que la serie encontrada sea rara (es decir, que no encuentre a otra serie) tiende a cero a medida que el número total de palabras del párrafo tiende a infinito. Es decir, que mientras más grande sea el párrafo, más difícil será que seamos capaces de encontrar una palabra que haga que nuestro juego falle.

En realidad este truco con el párrafos y letras se conoce desde hace mucho tiempo en el mundo de la cartomagia o magia con cartas como La Cuenta Kruskal. Basta con asignar a cada carta su valor numérico (las figuras, también), poner todas las cartas en fila (o en forma de tabla, da igual), elegir una carta de inicio e ir avanzando tantas cartas como su valor marque, y así sucesivamente. En una baraja francesa (52 cartas) en la que se le asigna a la J el valor 11, a la Q el 12 y a la K el 13, la probabilidad de fallo es de, aproximadamente, 33%; sin embargo si asignamos a todas las figuras el valor 10, entonces la probabilidad de fallo se reduce al 29%; y, finalmente, si asignamos el valor 5 a cada figura, la probabilidad de fallo es de apenas un 16% (cf. referencia 3). Por cierto, que la probabilidad de fallo es, en realidad, la probabilidad de que se coloquen las cartas de tal forma, que sea posible encontrar al menos 1 carta inicial que no llegue a la carta final típica. Es decir, que en el primero de los casos, en 1 de cada 3 formas de colocar las cartas es posible encontrar un inicio que haga que el truco falle, mientras que en las otras 2 de cada 3, todas las cartas te llevarán irremediablemente al mismo final: tu Destino está escrito.

Como podréis comprobar, mientras más pequeños sean los valores numéricos, parece que más fácil será que el truco funcione, así que ya sabéis, o bien usad cartas de valores pequeños, o bien utilizad fragmentos de texto que contengan pocas palabras largas. Afortunadamente, parece que esto es mucho más sencillo.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Puedes encontrar una versión interactiva de este truco en la web Proceedings of the Organics Mathematics Workshop, haciendo que todas las figuras tengan valor 1.

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Referencias:

1. El principio de Kruskal, de La Hoja Volante, numero 12, mayo de 2007.
2. Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos (PDF, 244Kb), Venancio Álvarez, Pablo Fernández y M. Auxiliadora Márquez, Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española (volumen 5 (2002), no. 3, pp. 711-735.
3. The Kruskal count, Jeffrey C. Lagarias, Eric Rains, Robert J. Vanderbei, arXiv:math/0110143v1
4. El pricipio de Kruskal como acertijo y truco de magia, de Acertijos y más cosas
5. El principio de Kruskal, en Pseudoblog
6. El Rincón Matemágico (Enero 2008), Pedro Alegría, Divulgamat