$\LaTeX$ en Tito Eliatron Dixit

Pues lo prometido es deuda.

Los que miréis el blog más allá de los artículos y hayáis bajado hasta abajo del todo del blog, habréis visto una imagencilla tal que esta:






Math Formula in Blogger

Pues bien, quiero anunciar que, por fin, he conseguido, de una forma muy sencilla, que en este blog se pueda escribir en $\LaTeX{}$. Y no sólo en las entradas, sino que también funciona en los comentarios. Y lo mejor de todo, es tremendamente sencillo.

Para escritura básica (sin integrales, ni sumatorios, ni grandes fracciones,...), basta con escribir el código $\LaTeX{}$ entre dólares (uno delante y otro detrás).

El código genera $a_1+a_2=\frac{1}{2}$.

Si quieres escribir con subíndices y superíndices, como por ejemplo sumatorios o integrales, o bien fracciones grandes, debes escribir tu código $\LaTeX{}$ entre 2 dólares (dos delante y dos detrás).

El código genera $$\int_{0}^{1}\frac{x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}dx=\frac{22-7\pi}{7}$$.

Para el que no esté muy familiarizado con la escritura en $\LaTeX{}$, podéis acudir a la página Ayuda:Usando TeX
de la Wikipedia, o bien, acudir a la magnífica página de información de $\LaTeX$ de Gaussianos, donde al final, nos ofrecen un par de enlaces de ayuda.

Todo esto en cuanto al uso de $\LaTeX$. Si lo que quieres es información de cómo instalar esta opción, no tienes más que acudir al blog WatchMath, donde lo explican fabulosamente en inglés. Si lo quieres en español, sólo tienes que crear un Gadget tipo HTML/JavaScript e incluir el siguiente código:

<script src="http://www.watchmath.com/cgi-bin/mathtex3.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">
replaceMath( document.body );</script>
<a href="http://www.watchmath.com">
<img src="http://www.watchmath.com/images/formula.png" alt="" width="100" /></a>
<a href="http://watchmath.com/vlog/?p=438">
Math Formula?</a>

y ahora, colocáis el Gadget donde queráis. Yo, por ejemplo, lo tengo en el Footer.

En fin, espero que os guste esta mejora. Si tenéis alguna duda, o bien tenéis algún problema, me lo decís en los comentarios.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Huelga decir que, si utilizáis código $\LaTeX$ en los comentarios, es altamente recomendable utilizar la opción Vista Previa para ver si el código $\LaTeX$ que habéis introducido es correcto.

Circunferencia

Una circuferencia es un punto que se busca a si mismo.

miguel
en un comentario de Linea Recta.

Quizás el comentario que más me llamó la atención en el mencionado post. Me gustó mucho esta definición, así que he decidido compartirla con todos.

¿Qué pensáis? ¿es acertada?

Tito Eliatron Dixit

Circled: dibujando circunferencias de un único trazo

¿Eres capaz de dibujar una circunferencia a mano alzada? Quizás me digas que sí. Pero... ¿y con el ratón de tu ordenador? supongo que ya irás cambiando de parecer, pero si aún eres de los que se cree capaz... ¿cuánto se parece a una circunferencia la línea que dibujas? Si quieres saberlo, puedes intentar jugar a Circled:

Este curioso juego consiste en dibujar las líneas más parecidas a una circunferencia que puedas con el ratón de tu ordenador, para lo que, si quieres, tienes la ayuda de un fondo de pantalla formado por varias circunferencias concéntricas y retículas. Después de dibujar tu línea, que no tiene que ser cerrada pero sí de un único trazo, el juego te dirá cuál es la circunferencia que mejor se ajusta a tu línea y en qué porcentaje. El objetivo del juego es ir superando niveles en los que te van exigiendo cada vez más y más perfección en los trazos geométricos.

Para mi gusto una buena forma de procrastinar, haciendo uso de las matemáticas.

Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada va a formar parte de la III Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Geometría Dinámica.

Cómo sumar los naturales y no morir en el intento

Las series divergentes son una invención del diablo. Usándolas se puede llegar a cualquier conclusión y es así cómo estas series han dado lugar a tantas falacias y paradojas

Niels Henrik Abel

Ya los dijo Abel hace mucho tiempo, que esto de sumar infinitas cosas nos iba a traer problemas. Pero esto a Euler no le impidió hacer verdaderas maravillas con ellas.

Si os pregunto cuánto vale la suma de todos los números naturales, probablemente casi todos me diréis que es infinito, y estaréis en lo cierto... siempre que sentemos las bases clásicas de las series infinitas.

Para sumar una serie infinita, lo que hacemos es ir viendo las sumas parciales, es decir, truncando la serie y quedándonos con una cantidad finita de términos. Cada vez, vamos añadiendo un nuevo término y así vamos obteniendo una sucesión de números cada vez más cercanos a la (presunta) suma, que será el límite de estas sumas parciales.

Esto es grosso modo el método clásico de sumación y, según éste, la serie de los números naturales es divergente, es decir, suma infinita. Pero Euler era de todo menos clásico, así que simplemente hizo algunas manipulaciones. Antes, se decidió calcular cuánto valía la suma de los naturales, pero alternando el signo, es decir, 1-2+3-4+5-6+.... para lo que hizo lo siguiente.

S = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . .
S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . .
S =   + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . .
S =       + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . .
--------------------------------------------
4 S = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . .

Por lo tanto, la suma anterior es S=1/4.

Esto no es demasiado extraño ni alejado de lo clásico ya que si desarrollamos en series de potencias la función 1/(1+x)^2 resulta que 1/(1+x)^2=1-2x+3x²-4x³+... y este desarrollo es válido cualquiera que sea el valor de x entre -1 y 1. En principio, el -1 debería estar excluido, epro si hacemos x=-1 en la expresión anterior, resulta que nos da, precisamente, que S=1-2+3-4+...=1/4.

Ahora estamos en disposición de sumar los números naturales, según la versión de Euler.

   z(s) = 1^-s + 2^-s + 3^-s + 4^-s + ...
2^-sz(s) = 2^-s + 4^-s + 6^-s + ...

Ahora, a la primera suma, le restamos 2 veces la segunda y obtenemos
(1-2·2^-s)z(s)=1^-s-2^-s+3^-s-4^-s+ ...
Finalmente, haciendo s=-1, se obtiene que
-3(1+2+3+4+...)=1-2+3-4+....
Y como ya habíamos visto que esta última suma era 1/4, resulta que
1+2+3+4+...=-1/12
Paradójico, ¿verdad? Pues lo mejor de todo es que todos estos cálculos se pueden hacer rigurosos, ya que la expresión z(s) que hemos utilizado es, en realidad, la función Zeta de Riemann que está perfectamente definida para todo número complejo s≠1. Así que, en el fondo, Euler no andaba muy desencaminado.

Pero es que la cosa no queda aquí, es que este cálculo dibaólico es el que justifica que la Teoría Bosónica de Cuerdas funcione en las 26 dimensiones que debe funcionar. Pero esto ya es harina de otro costal.

Sólo finalizar esta entrada con el peor chiste de matemáticas de mundo que dice lo siguiente:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice «¡Idiotas!» y les pone dos cervezas.

Pues bien, gracias a los cálculos que hemos realizado, y como bien apuntan en God Plays Dice, este chiste se puede mejorar de la siguiente forma:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar, uno de los cuales lleva ya una cerveza enla mano. El primero pide una cerveza. El segundo pide 2 cervezas, el tercero 3 y así sucesivamente. Así que el camarero coje la cerveza que traían y les quita, exactamente 1/12 de ella. Y todos los matemáticos se fueron contentos.

Tito Eliatron Dixit.

PD: Esta entrada va a formar parte de la III Edición del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión será el blog Geometría Dinámica.

---

Referencias:
1-2+3-4+..., en la Wikipedia.
My Favorite Numbers, de John Baez.