Para estudiar una serie, lo que se suele mirar es su sucesión de sumas parciales, es decir, vamos viendo cuál es la suma de los
Una vez hechas las presentaciones de los protagonistas, vamos a presentar el problema. Es evidente que
En el presente artículo vamos a demostrar este hecho y comprobaremos que se trata de uno de esos problemas que son muy sencillos de plantear, pero cuya solución es más complicada de lo que a priori se podría pensar.
En realidad, vamos a ver 3 demostraciones.
La primera demostración utiliza el Postulado de Bertrand, que asegura (en su formulación más débil) que si
donde el denominador
no es divisible entre
.
Supongamos, ahora, por reducción al absurdo, que
. Multiplicando la expresión anterior por
tendríamos que
tendría que estar en
(pues
y
serían números naturales). Pero esto entra en contradicción con el hecho de que
no es divisible entre
, con lo que nuestra hipótesis debe ser falsa.
Claro, esta demostración no es complicada, pero utiliza un resultado que es bastante potente como es el Postulado de Bertrand y que no todo el mundo tiene por qué conocer. Así que vamos a buscar otra prueba.
Vamos ahora con la segunda demostración. Para ello, vamos a fijarnos en los primeros números armónicos:
Si nos fijamos, vemos que todos son de la forma Impar/Par. Si esto fuese siempre cierto, en particular, demostraríamos que nunca puede ser natural. La demostración de este hecho se debe a Taeisinger y data de 1915.
Sea
Ahora bien, si
Resumiendo, en el numerador de la expresión de
Esta es la demostración original y tiene la particularidad que es posible generalizarla (y de hecho así lo hizo Kurshchak en 1918) para demostrar que
La tercera demostración... bueno, esa no os la voy a hacer. Os la dejo para que vosotros la intentéis y sería utilizar los mismos argumentos que la Primera demostración, pero utilizando potencias de 2 (como se hace en la segunda demostración) en lugar de números primos.
Tito Eliatron Dixit
PD1: Esta entrada participa en la Edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es High Ability Dimension.
PD2: Este problema lo conocí gracias a Nahuel Nehuen.
Referencias:
- StackExchange.
- The p-adic growth of harmonic sums (PDF), de Keith Conrad.
¿Por qué se le llama POSTULADO de Bertrand?
ResponderEliminarDebería haberse llamado CONJETURA de Bertrand cuando no estaba demostrado y TEOREMA de Bertrand una vez demostrado.