lunes, 23 de febrero de 2015

Impares, impares everywhere

Es curioso cómo un simple comentario, una observación sin importancia, puede dar lugar a un problema curioso o, incluso a un artículo (éste, en concreto) de divulgación matemática.


Todo comenzó con el siguiente tuit en el que me mencionaban:
El reto estaba sobre la mesa. Mejor dicho, sobre el papel.

Sinceramente, al principio me pareció algo tonto, pero en cuanto me puse a hacer los primeros garabatos, me di cuenta que no era la cosa tan trivial como pintaba.

Probé con varios números: 9=1+3+5; 25=1+3+5+7+9; 33=9+11+13. Pero luego me di cuenta de que no es posible escribir ni el 3 ni el 5 ni el 7 ni el 11 como suma de impares consecutivos. Me resultó curioso que todos estos fueran primos. Así que pensé que algo tendría que ver con los divisores.

La clave final me la dio mi santa y venerable esposa (que lo mismo te hace una tarta de manzana estupenda, que te resuelve un problema de matemáticas): "¿te has dado cuenta que la suma de 3 impares consecutivos es múltiplo de 3?" y a partir de ahí, todo es muy sencillo.

Vamos a meternos en faena. En primer lugar vamos a demostrar lo siguiente:

La suma de los [;k;] primeros números pares es múltiplo de [;k;].

En efecto, los [;k;] primeros números pares son: [;2,\,4,\,\cdots\,2k;]. Por lo tanto
[;S=2+4+\cdots+2k=2(1+2+\cdots+k)=2\frac{k(k+1)}{2}=k(k+1);]

que, efectivamente, es múltiplo de [;k;].

Y ahora, sea [;N;] un número impar, que no sea primo. Entonces siempre lo podremos escribir como [;N=p\cdot q;] con [;p;] y [;q;] impares y, por ejemplo, [;p\le q;].

Vamos a comprobar que, en estas condiciones, [;N;] puede escribirse como suma de [;p;] impares consecutivos.

En efecto, supongamos que el primer impar de la lista es [;a;] (por lo que el último será [;a+2(p-1);]); entonces
[;N=a+(a+2)+\cdots+(a+2(p-1))=p\cdot a+(2+4+\cdots+(p-1))=;]
[;=p\cdot a+p(p-1)=p(a+p-1);]

pero recordemos que habíamos escrito [;N=p\cdot q;], por lo que debe ser [;q=a+p-1;]. Pero como [;p;] es impar, resulta que [;p-1;] es par (y está entre [;2;] y [;2(p-1);]). Así que [;q=a+p-1;] es uno de los números impares de la lista: [;\{a,\,a+2,\,\cdots,a+2(p-1)\};]; más concretamente, es el número central de esa lista (recordemos que hay un número impar, [;p;], en ella).

Así que nuestra factorización de [;N=p\cdot q;] con [;p\le q;], nos dice que [;N;] se puede escribir como suma de [;p;] impares consecutivos, de forma que [;q;] es el número central.

Por ejemplo, [;65=5\cdot13;], entonces [;65=9+11+13+14+15;].
Y el del tuit inicial: [;95=5\cdot19;], entonces [95=15+17+19+21+23].
Otro ejemplo más. [;105=7\cdot15=5\cdot21;], así que
  • [;105=9+11+13+15+17+19+21;]
  • [;105=17+19+21+23+25;].
Por cierto, de la relación [;q=a+p-1;], se deduce que es necesario que [;p\le q;].

¿Y qué ocurre con los números primos? Esta argumentación falla porque si [;N;] e s primo, la única forma de escribirlo como producto (de impares) es [;N=1\cdot N;], es decir, tomando [;p=1;] y [;q=N;]. Lo que nos diría que [;N;] lo podemos escribir como suma de [;p=1;] impar(es) consecutivo(s), siendo [;1=N;] el central. Obvio, ¿verdad?

Pero los matemáticos nos caracterizamos por ir siempre un poco más allá. ¿Qué pasa si [;N;] es un número par?

En este caso, todo funciona casi exactamente igual. El único cambio es que, si [;N;] es par , entonces siempre podremos escribirlo como [;N=p\cdot q;] con [;p\le q;], pero ahora, [;p;] será un número par. Ahora bien, como [;q=a+p-1;] y [;a;] queremos que sea impar, resulta que [;q;] también será par. Y esto obliga a que [;N;] sea múltiplo de 4, si no, no es posible.

Además, no es difícil comprobar que en tal caso, [;q;] será el número que está entre los 2 impares centrales de la suma.

Por ejemplo, [;28=2\cdot14;], luego [;28=13+15;].

Otro ejemplo. [;24=2\cdot 12=4\cdot 6;], entonces:
  • [;24=11+13;] 
  • [;24=3+5+7+9;] 

Como curiosidad, combinando ambos casos, se demuestra que
cualquier cuadrado perfecto es suma de los [;\sqrt{N};] primeros impares consecutivos

En el caso impar, [;N=(2k+1)^2;], con [;p=q=2k+1;]. Asi que podemos escribir [;N;] como [;\sqrt{N}=2k+1;] impares consecutivos. Pero como [;q=a+p-1;] y [;p=q;], entonces resulta que [;a=1;], es decir, el primer impar es 1.

En el caso par, [;N=(2k)^2=4k^2;]  es múltiplo de 4 siempre; además, podemos tomar, como antes, [;p=q=2k;] y, de nuevo, esto implica que [;a=1;].

Ejemplos:
  • [;36=6^2=1+3+5+7+9+11;]
  • [;49=7^2 =1+3+5+7+9+11+13;]
Tito Eliatron Dixit

PD: Esta entrada participa en la Edición 6.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Tito Eliatron Dixit.
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